Преобразование Гольштейна – Примакова

В квантовой механике преобразование Гольштейна -Примакова представляет собой отображение операторов бозонов рождения и уничтожения в спина операторы , эффективно усекая их бесконечномерное пространство Фока до конечномерных подпространств.

Одним из важных аспектов квантовой механики является появление (в общем) некоммутирующих операторов , которые представляют наблюдаемые величины, которые можно измерить. Стандартным примером набора таких операторов являются три компонента операторов углового момента , которые имеют решающее значение во многих квантовых системах. Эти операторы сложны, и хотелось бы найти более простое представление, которое можно использовать для построения приближенных расчетных схем.

Трансформация была разработана в 1940 году Теодором Гольштейном , в то время аспирантом, и Генри Примаков . Этот метод нашел широкое применение и получил распространение во многих различных направлениях.

Существует тесная связь с другими методами бозонного отображения операторных алгебр: в частности, с (неэрмитовым) методом Дайсона – Малеева. техника и в меньшей степени карта Йордана-Швингера . Более того, существует тесная связь с теорией (обобщенных) когерентных состояний в алгебрах Ли .

Описание

Основную идею можно проиллюстрировать на базовом примере спиновых операторов квантовой механики.

Для любого набора правосторонних ортогональных осей определите компоненты этого векторного оператора как $S_{x}$, $S_{y}$ и $S_{z}$, которые являются взаимно некоммутирующими , т. е. $\left[S_{x},S_{y}\right]=i\hbar S_{z}$ и его циклические перестановки.

Чтобы однозначно определить состояния спина, можно диагонализовать любой набор коммутирующих операторов. Обычно используются операторы Казимира SU(2) $S^{2}$ и $S_{z}$, что приводит к состояния с квантовыми числами $\left|s,m_{s}\right\rangle$,

$S^{2}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)\left|s,m_{s}\right\rangle ,$

$S_{z}\left|s,m_{s}\right\rangle =\hbar m_{s}\left|s,m_{s}\right\rangle .$

Квантовое число проекции $m_{s}$ принимает все значения $(-s,-s+1,\ldots ,s-1,s)$.

Рассмотрим одну частицу со спином s (т. е. рассмотрим одно неприводимое представление SU(2)). Теперь возьмем состояние с максимальной проекцией $\left|s,m_{s}=+s\right\rangle$, экстремальное весовое состояние как вакуум для набора бозонных операторов, и каждое последующее состояние с меньшим проекционным квантовым числом как бозонное возбуждение предыдущего,

$\left|s,s-n\right\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle _{B}~.$

Тогда каждый дополнительный бозон соответствует уменьшению ħ в проекции спина. Таким образом, операторы повышения и понижения спина $S_{+}=S_{x}+iS_{y}$ и $S_{-}=S_{x}-iS_{y}$, так что $[S_{+},S_{-}]=2\hbar S_{z}$, соответствуют (в смысле, подробно описанном ниже) бозонным операторам уничтожения и рождения соответственно. Точные отношения между операторами должны быть выбраны так, чтобы обеспечить правильные коммутационные соотношения для операторов спина, чтобы они действовали в конечномерном пространстве, в отличие от исходного пространства Фока.

Результирующее преобразование Гольштейна – Примакова можно записать как

$S_{+}=\hbar {\sqrt {2s}}{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}\,a~,\qquad S_{-}=\hbar {\sqrt {2s}}a^{\dagger }\,{\sqrt {1-{\frac {a^{\dagger }a}{2s}}}}~,\qquad S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.$

Преобразование особенно полезно в случае, когда s велико, когда квадратные корни можно разложить в ряд Тейлора , чтобы получить разложение по убывающим степеням s .

В качестве альтернативы расширению Тейлора в последнее время был достигнут прогресс. с возобновлением серии, которая сделала возможными выражения, полиномиальные по бозонным операторам, но при этом математически точные (в физическом подпространстве). Первый метод развивает метод возобновления это точно для спина $s=1/2$, в то время как последний использует разложение в ряд Ньютона (конечная разность) с идентичным результатом, как показано ниже.

$S_{+}^{(1/2)}=\hbar {\sqrt {2s}}\left[1+\left({\sqrt {1-{\frac {1}{2s}}}}-1\right)a^{\dagger }a\right]a,\qquad S_{-}^{(1/2)}=(S_{+}^{(1/2)})^{\dagger },\qquad S_{z}^{(1/2)}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~.$

Хотя приведенное выше выражение не является точным для спинов выше 1/2, оно является улучшением по сравнению с рядом Тейлора. Точные выражения также существуют для более высоких спинов и включают $2s+1$ условия. Очень похоже на приведенный выше результат и для выражений более высоких спинов. $S_{+}=S_{-}^{\dagger }$ и поэтому возобновление является эрмитовым.

Существует также неэрмитовский Дайсона–Малеева ( Фримена Дайсона вариант реализации и С.В. Малеева) J , связанный с вышеизложенным и справедливый для всех спинов:

$J_{+}=\hbar \,a~,\qquad J_{-}=S_{-}~{\sqrt {2s-a^{\dagger }a}}=\hbar a^{\dagger }\,(2s-a^{\dagger }a)~,\qquad J_{z}=S_{z}=\hbar (s-a^{\dagger }a)~,$

удовлетворяющие одним и тем же коммутационным соотношениям и характеризующиеся одним и тем же инвариантом Казимира.

Эту технику можно распространить на алгебру Витта . которая является бесцентровой алгеброй Вирасоро .

См. также

• Спиновая волна
• Преобразование Джордана – Вигнера
• Преобразование Джордана – Швингера
• Преобразование Боголюбова–Валатина.
• Небольшая трансформация