Преобразование Боголюбова

В теоретической физике , преобразование Боголюбова также известное как преобразование Боголюбова-Валатина , было независимо разработано в 1958 году Николаем Боголюбовым и Джоном Джорджем Валатиным для поиска решений теории БКШ в однородной системе. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Преобразование Боголюбова является изоморфизмом либо канонической алгебры коммутационных отношений , либо канонической алгебры антикоммутационных отношений . Это индуцирует автоэквивалентность соответствующих представлений. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов , что дает стационарные решения соответствующего уравнения Шредингера . Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру , излучения Хокинга , излучения Дэвиса-Фуллинга (модель движущегося зеркала), эффектов спаривания в ядерной физике и многих других тем.

Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов с соответствующим преобразованием функции состояния. Таким образом, собственные значения оператора, рассчитанные с помощью диагонализированного гамильтониана преобразованной функции состояния, такие же, как и раньше.

Пример одиночной бозонной моды

Рассмотрим каноническое соотношение коммутации операторов бозонов рождения и уничтожения в базисе гармонического осциллятора

\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.

Определите новую пару операторов

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },

{\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},

для комплексных чисел u и v , где последнее является эрмитовым сопряжением первого.

Преобразование Боголюбова — это каноническое преобразование, отображающее операторы ${\hat {a}}$ и ${\hat {a}}^{\dagger }$ к ${\hat {b}}$ и ${\hat {b}}^{\dagger }$ . Чтобы найти условия на константы u и v, при которых преобразование является каноническим, вычисляется коммутатор, а именно:

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].

Тогда очевидно, что $|u|^{2}-|v|^{2}=1$ – условие, при котором преобразование является каноническим.

Поскольку форма этого условия наводит на мысль о гиперболическом тождестве

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,

константы $u$ и $v$ можно легко параметризовать как

u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,

v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.

Это интерпретируется как линейное симплектическое преобразование фазового пространства . По сравнению с разложением Блоха – Мессии два угла $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ соответствуют ортогональным симплектическим преобразованиям (т.е. вращениям) и фактору сжатия $r$ соответствует диагональному преобразованию.

Приложения

Наиболее известное применение принадлежит самому Николаю Боголюбову в контексте сверхтекучести . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Другие приложения включают гамильтонианы и возбуждения в теории антиферромагнетизма . ^{[ 5 ]} При расчете квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени определение вакуума меняется, и возможно преобразование Боголюбова между этими различными вакуумами. Это используется при выводе излучения Хокинга . Преобразования Боголюбова также широко используются в квантовой оптике, особенно при работе с гауссовыми унитарными элементами (такими как светоделители, фазовращатели и операции сжатия).

Фермионный режим

Для антикоммутационных соотношений

\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,

преобразование Боголюбова ограничено $uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1$ . Поэтому единственной нетривиальной возможностью является $u=0,|v|=1,$ соответствующий обмену частица-античастица (или обмену частица-дырка в системах многих тел) с возможным учетом фазового сдвига. Таким образом, для одной частицы преобразование может быть реализовано только (1) для фермиона Дирака , где частица и античастица различны (в отличие от майорановского фермиона или кирального фермиона ), или (2) для мультифермионных систем, в в котором существует более одного типа фермионов.

Приложения

Наиболее заметное заявление снова принадлежит самому Николаю Боголюбову, на этот раз в отношении БКШ сверхпроводимости . теории ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Необходимость преобразования Боголюбова становится очевидной, поскольку в приближении среднего поля гамильтониан системы в обоих случаях может быть записан как сумма билинейных членов исходных операторов рождения и разрушения, включающих конечные $\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle$ терминов, т.е. необходимо выйти за рамки обычного метода Хартри–Фока . среднего поля В частности, в гамильтоновском формализме Боголюбова–де Жена со сверхпроводящим спаривающим членом, таким как $\Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}$ , операторы преобразования Боголюбова $b,b^{\dagger }$ аннигилировать и создавать квазичастицы (каждая из которых имеет четко определенные энергию, импульс и спин, но находится в квантовой суперпозиции состояния электрона и дырки) и иметь коэффициенты $u$ и $v$ задается собственными векторами матрицы Боголюбова–де Жена. Также в ядерной физике этот метод применим, поскольку может описывать «энергию спаривания» нуклонов в тяжелом элементе. ^{[ 9 ]}

Многомодовый пример

Рассматриваемое гильбертово пространство оснащено этими операторами и в дальнейшем описывает квантовый гармонический осциллятор более высокой размерности (обычно бесконечномерный).

Основное состояние соответствующего гамильтониана аннулируется всеми операторами аннигиляции:

\forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.

Все возбужденные состояния получаются как линейные комбинации основного состояния, возбуждаемого некоторыми операторами рождения :

\prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .

Можно переопределить операторы рождения и уничтожения с помощью линейного переопределения:

a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),

где коэффициенты $u_{ij},v_{ij}$ должны удовлетворять определенным правилам, чтобы гарантировать, что операторы уничтожения и операторы создания $a_{i}^{\prime \dagger }$ , определенные эрмитовым сопряженным уравнением, имеют одинаковые коммутаторы для бозонов и антикоммутаторов для фермионов.

Приведенное выше уравнение определяет преобразование операторов Боголюбова.

Основное государство уничтожено всеми $a'_{i}$ отличается от исходного основного состояния $|0\rangle$ , и их можно рассматривать как преобразования Боголюбова друг друга с использованием соответствия оператор-состояние. Их также можно определить как сжатые когерентные состояния . Волновая функция БКШ является примером сжатого когерентного состояния фермионов. ^{[ 10 ]}

Описание единой матрицы

Поскольку преобразования Боголюбова представляют собой линейную рекомбинацию операторов, их удобнее и понятнее записывать в терминах матричных преобразований. Если пара аннигиляторов $(a,b)$ трансформировать как

{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}

где $U$ это $2\times 2$ матрица. Тогда естественно

{\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}

Для фермионных операторов требование коммутационных соотношений выражается в двух требованиях к виду матрицы $U$

U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}

и

|u|^{2}+|v|^{2}=1

Для бозонных операторов коммутационные соотношения требуют

U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}

и

|u|^{2}-|v|^{2}=1

Эти условия можно единообразно записать как

U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }

где

\Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

где $\Gamma _{\pm }$ применимо к фермионам и бозонам соответственно.

Диагонализация квадратичного гамильтониана с использованием матричного описания

Преобразование Боголюбова позволяет диагонализировать квадратичный гамильтониан

{\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}

просто диагонализуя матрицу $\Gamma _{\pm }H$ . В обозначениях выше важно различать оператор ${\hat {H}}$ и числовая матрица $H$ . В этом факте можно убедиться, переписав ${\hat {H}}$ как

{\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}

и $\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D$ тогда и только тогда, когда $U$ диагонализирует $\Gamma _{\pm }H$ , то есть $U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D$ .

Ниже перечислены полезные свойства преобразований Боголюбова.

	Бозон	Фермионы
Матрица трансформации	$U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{}&u^{}\end{pmatrix}}$	$U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{}&u^{}\end{pmatrix}}$
Матрица обратного преобразования	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{}&-v\\-v^{}&u\end{pmatrix}}$	$U^{-1}={\begin{pmatrix}u^{}&-v\\v^{}&u\end{pmatrix}}$
Гамма	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$	$\Gamma ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Диагонализация	$U(\Gamma H)U^{-1}=\Gamma D$	$UHU^{-1}=D$

См. также

Ссылки

^ Валатин, Дж. Г. (март 1958 г.). «Комментарии к теории сверхпроводимости». Иль Нуово Чименто . 7 (6): 843–857. Бибкод : 1958NCim....7..843V . дои : 10.1007/bf02745589 . S2CID 123486856 .
^ Боголюбов Н. Н. (март 1958 г.). «О новом методе в теории сверхпроводимости». Иль Нуово Чименто . 7 (6): 794–805. Бибкод : 1958NCim....7..794B . дои : 10.1007/bf02745585 . S2CID 120718745 .
^ N. N. Bogoliubov: On the theory of superfluidity , J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).
^ Боголюбов [так в оригинале], Н. «К теории сверхтекучести» (PDF) . Достижения физических наук . Физический институт им. Лебедева . Проверено 27 апреля 2017 г.
^ Jump up to: ^а ^б См., например, учебник Чарльза Киттеля : Квантовая теория твердого тела , Нью-Йорк, Уайли, 1987.
^ Боболюбов Н.Н. (1 января 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости. I». Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 7 (1): 41–46.
^ Боголюбов Н. Н. (июль 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости III» (PDF) . Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 34 (7): 51–55. Архивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2020 г. Проверено 27 апреля 2017 г.
^ Боголюбов Н.Н.; Толмачев В.В.; Ширков Д.В. (ноябрь 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Fortschritte der Physik . 6 (11–12): 605–682. Бибкод : 1958ФорФ...6..605Б . дои : 10.1002/prop.19580061102 .
^ Струтинский В.М. (апрель 1967 г.). «Оболочечные эффекты в ядерных массах и энергиях деформации». Ядерная физика А . 95 (2): 420–442. Бибкод : 1967НуФА..95..420С . дои : 10.1016/0375-9474(67)90510-6 .
^ Свозил, К. (24 декабря 1990 г.). «Сжатые фермионные состояния». Письма о физических отзывах . 65 (26). Американское физическое общество (APS): 3341–3343. Бибкод : 1990PhRvL..65.3341S . дои : 10.1103/physrevlett.65.3341 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10042844 .

Дальнейшее чтение

Вся эта тема и множество ее конкретных применений рассматриваются в следующих учебниках:

Блезо, Ж.-П.; Рипка, Г. (1985). Квантовая теория конечных систем . МТИ Пресс. ISBN 0-262-02214-1 .
Феттер, А.; Валецка, Дж. (2003). Квантовая теория многочастичных систем . Дувр. ISBN 0-486-42827-3 .
Киттель, Ч. (1987). Квантовая теория твердого тела . Уайли. ISBN 0-471-62412-8 .
Вагнер, М. (1986). Унитарные преобразования в физике твердого тела . Эльзевир Наука. ISBN 0-444-86975-1 .

[1] Валатин, Дж. Г. (март 1958 г.). «Комментарии к теории сверхпроводимости». Иль Нуово Чименто . 7 (6): 843–857. Бибкод : 1958NCim....7..843V . дои : 10.1007/bf02745589 . S2CID 123486856 .

[2] Боголюбов Н. Н. (март 1958 г.). «О новом методе в теории сверхпроводимости». Иль Нуово Чименто . 7 (6): 794–805. Бибкод : 1958NCim....7..794B . дои : 10.1007/bf02745585 . S2CID 120718745 .

[3] N. N. Bogoliubov: On the theory of superfluidity , J. Phys. (USSR), 11, p. 23 (1947), (Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 11, p. 77 (1947)).

[4] Боголюбов [так в оригинале], Н. «К теории сверхтекучести» (PDF) . Достижения физических наук . Физический институт им. Лебедева . Проверено 27 апреля 2017 г.

[Kittel-5] Jump up to: ^а ^б См., например, учебник Чарльза Киттеля : Квантовая теория твердого тела , Нью-Йорк, Уайли, 1987.

[NMTS1-6] Боболюбов Н.Н. (1 января 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости. I». Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 7 (1): 41–46.

[NMTS3-7] Боголюбов Н. Н. (июль 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости III» (PDF) . Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 34 (7): 51–55. Архивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2020 г. Проверено 27 апреля 2017 г.

[BTS-8] Боголюбов Н.Н.; Толмачев В.В.; Ширков Д.В. (ноябрь 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Fortschritte der Physik . 6 (11–12): 605–682. Бибкод : 1958ФорФ...6..605Б . дои : 10.1002/prop.19580061102 .

[9] Струтинский В.М. (апрель 1967 г.). «Оболочечные эффекты в ядерных массах и энергиях деформации». Ядерная физика А . 95 (2): 420–442. Бибкод : 1967НуФА..95..420С . дои : 10.1016/0375-9474(67)90510-6 .

[10] Свозил, К. (24 декабря 1990 г.). «Сжатые фермионные состояния». Письма о физических отзывах . 65 (26). Американское физическое общество (APS): 3341–3343. Бибкод : 1990PhRvL..65.3341S . дои : 10.1103/physrevlett.65.3341 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 10042844 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]