Модель Джейнса – Каммингса

Иллюстрация модели Джейнса-Каммингса. Атом . в оптическом резонаторе показан красной точкой в ​​левом верхнем углу Энергетические уровни атома, которые связаны с модой поля внутри полости, показаны в кружке справа внизу. Переход между двумя состояниями вызывает эмиссию (поглощение) фотонов атомом в моду резонатора (выход из нее).

Модель Джейнса-Каммингса (иногда сокращенно JCM ) — теоретическая модель в квантовой оптике . Он описывает систему двухуровневого атома, взаимодействующего с квантованной модой оптического резонатора (или бозонного поля) при наличии или отсутствии света (в виде ванны электромагнитного излучения, способного вызывать спонтанное излучение и поглощение). ). Первоначально он был разработан для изучения взаимодействия атомов с квантованным электромагнитным полем с целью исследования явлений спонтанного излучения и поглощения фотонов в полости .

Модель Джейнса-Каммингса представляет большой интерес для атомной физики , квантовой оптики , физики твердого тела и квантовых информационных схем как экспериментально, так и теоретически. Он также имеет применение в когерентном управлении и квантовой обработке информации .

Историческое развитие

1963: Эдвин Джейнс и Фред Каммингс

Модель была первоначально разработана в статье Эдвина Джейнса и Фреда Каммингса в 1963 году для выяснения последствий полностью квантовомеханического рассмотрения поведения атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем . Чтобы упростить математику и обеспечить удобство вычислений, Джейнс и Каммингс ограничили свое внимание взаимодействием атома с одной модой квантового электромагнитного поля. (Более подробную математическую информацию см. ниже.)

Этот подход отличается от более раннего полуклассического метода, в котором квантовомеханически рассматривается только динамика атома, а поле, с которым он взаимодействует, предполагается, ведет себя в соответствии с классической электромагнитной теорией. Квантово-механическая трактовка поля в модели Джейнса – Каммингса обнаруживает ряд новых особенностей, в том числе:

• Существование осцилляций Раби между состояниями двухуровневой системы при ее взаимодействии с квантовым полем. Первоначально считалось, что это чисто квантово-механический эффект, хотя позже ему было дано полуклассическое объяснение с точки зрения линейной дисперсии и поглощения.
• Лестница квантованных уровней энергии, называемая лестницей Джейнса-Каммингса, которая нелинейно масштабируется по энергии как ${\sqrt {n}}$ где $n$ – общее число квантов в связанной системе. Это квантование энергий и нелинейное масштабирование имеют чисто квантовомеханическую природу.
• Коллапс и последующее возрождение вероятности обнаружить двухуровневую систему в заданном состоянии, когда поле изначально находится в когерентном состоянии . Коллапс имеет простое классическое объяснение, а возрождение можно объяснить только дискретностью энергетического спектра, обусловленной квантовой природой поля.

Для экспериментальной реализации динамики, предсказанной моделью Джейнса-Каммингса, требуется квантово-механический резонатор с очень высокой добротностью , чтобы переходы между состояниями в двухуровневой системе (обычно два энергетических подуровня в атоме) были очень связаны. сильно за счет взаимодействия атома с модой поля. Это одновременно подавляет любую связь между другими подуровнями в атоме и связь с другими модами поля и, таким образом, делает любые потери достаточно малыми, чтобы наблюдать динамику, предсказанную моделью Джейнса-Каммингса. Из-за сложности реализации такого устройства модель долгое время оставалась математической диковинкой. В 1985 году несколько групп, использовавших атомы Ридберга вместе с мазером в микроволновом резонаторе, продемонстрировали предсказанные осцилляции Раби. Однако, как отмечалось ранее, позже было обнаружено, что этот эффект имеет полуклассическое объяснение.

1987: Ремпе, Вальтер и Кляйн

Лишь в 1987 году Ремпе , Вальтер и Кляйн наконец смогли использовать одноатомный мазер, чтобы продемонстрировать возрождение вероятностей, предсказанных моделью. До этого исследовательские группы не могли создать экспериментальные установки, способные усилить связь атома с одной модой поля, одновременно подавляя другие моды. Экспериментально добротность резонатора должна быть достаточно высокой, чтобы считать динамику системы эквивалентной динамике одномодового поля. Эта успешная демонстрация динамики, которую можно было объяснить только с помощью квантово-механической модели поля, стимулировала дальнейшую разработку высококачественных резонаторов для использования в этом исследовании.

С появлением одноатомных мазеров появилась возможность исследовать взаимодействие одного атома (обычно ридберговского атома ) с одной резонансной модой электромагнитного поля в резонаторе с экспериментальной точки зрения. и изучить различные аспекты модели Джейнса – Каммингса.

Было обнаружено, что геометрию песочных часов можно использовать для максимизации объема, занимаемого модой, при одновременном сохранении высокой добротности, чтобы максимизировать силу связи и, таким образом, лучше аппроксимировать параметры модели. Для наблюдения сильной связи атома и поля на частотах видимого света могут быть полезны оптические моды типа песочных часов из-за их большого модового объема, который в конечном итоге совпадает с сильным полем внутри резонатора. Квантовая точка внутри нанополости фотонного кристалла также является многообещающей системой для наблюдения коллапса и возрождения циклов Раби на частотах видимого света.

Дальнейшие разработки

Многие недавние эксперименты были сосредоточены на применении модели к системам с потенциальным применением в квантовой обработке информации и когерентном управлении. Различные эксперименты продемонстрировали динамику модели Джейнса-Каммингса при взаимодействии квантовой точки с модами микрорезонатора, что потенциально позволяет применять ее в физической системе гораздо меньшего размера. Другие эксперименты были сосредоточены на демонстрации нелинейной природы лестницы энергетических уровней Джейнса-Каммингса путем прямого спектроскопического наблюдения. Эти эксперименты нашли прямое доказательство нелинейного поведения, предсказанного квантовой природой поля, как в сверхпроводящих цепях, содержащих « искусственный атом », соединенный с генератором очень высокого качества в виде сверхпроводящей цепи RLC , так и в коллекции ридберговских атомов, связанных своими спинами . В последнем случае роль двухуровневой системы играет наличие или отсутствие в ансамбле коллективного ридберговского возбуждения, а роль моды бозонного поля — общее число происходящих спиновых переворотов.

Теоретические работы расширили исходную модель, включив в нее эффекты диссипации и затухания, обычно с помощью феноменологического подхода. Предлагаемые расширения также включают включение нескольких мод квантового поля, позволяющих связываться с дополнительными энергетическими уровнями внутри атома или присутствие нескольких атомов, взаимодействующих с одним и тем же полем. Также была предпринята некоторая попытка выйти за рамки так называемого приближения вращающейся волны, которое обычно используется (см. математический вывод ниже) . Связь одной моды квантового поля с несколькими ( $N>1$) подсистемы с двумя состояниями (эквивалентные спинам выше 1/2) известны как модель Дике или модель Тэвиса – Каммингса . Например, это применимо к высококачественному резонансному резонатору, содержащему несколько одинаковых атомов с переходами вблизи резонанса резонатора, или к резонатору, соединенному с несколькими квантовыми точками в сверхпроводящей цепи. Это сводится к модели Джейнса – Каммингса для случая $N=1$.

Модель дает возможность реализовать несколько экзотических теоретических возможностей в экспериментальных условиях. Например, стало понятно, что в периоды коллапса осцилляций Раби система атом-резонатор существует в состоянии квантовой суперпозиции в макроскопическом масштабе. Такое состояние иногда называют « котом Шрёдингера », поскольку оно позволяет исследовать нелогичные эффекты проявления квантовой запутанности в макроскопических системах. Его также можно использовать для моделирования того, как квантовая информация передается в квантовом поле.

Математическая формулировка 1

Гамильтониан, описывающий всю систему, $${\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}$$ состоит из гамильтониана свободного поля, гамильтониана атомного возбуждения и гамильтониана взаимодействия Джейнса – Каммингса: $${\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{field}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}$$

Здесь для удобства энергия вакуумного поля положена равной $0$.

Для получения гамильтониана взаимодействия JCM поле квантованного излучения считается состоящим из одной бозонной моды с оператором поля ${\hat {E}}=E_{\text{ZPF}}\left({\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)$, где операторы ${\hat {a}}^{\dagger }$ и ${\hat {a}}$ бозонов — операторы рождения и уничтожения и $\omega _{c}$ – угловая частота моды. С другой стороны, двухуровневый атом эквивалентен половинке спина , состояние которой можно описать с помощью трехмерного вектора Блоха . (Следует понимать, что «двухуровневый атом» здесь — это не настоящий атом со спином, а скорее типичная двухуровневая квантовая система, гильбертово пространство которой изоморфно половине спина.) Атом связан с полем через его поляризационный оператор ${\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}$. Операторы ${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ и ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ — операторы поднятия и опускания атома. Оператор ${\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|$ — оператор атомной инверсии, а $\omega _{a}$ – частота атомного перехода.

Гамильтониан Джейнса – Каммингса 1

Переход от картины Шредингера к картине взаимодействия (также известной как вращающаяся рамка), определяемой выбором ${\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}$, мы получаем $${\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).$$

Этот гамильтониан содержит как быстро $(\omega _{c}+\omega _{a})$ и медленно $(\omega _{c}-\omega _{a})$ колебательные компоненты. Чтобы получить разрешимую модель, необходимо использовать быстро осциллирующие члены, вращающиеся в противоположных направлениях: $(\omega _{c}+\omega _{a})$, игнорируются. Это называется приближением вращающейся волны , и оно справедливо, поскольку быстро осциллирующий член связывает состояния со сравнительно большой разницей энергий: Когда разница в энергии намного больше, чем связь, смешивание этих состояний будет небольшим, или, другими словами, связь ответственна за очень небольшой перенос населения между состояниями. Таким образом, преобразуя обратно в картину Шредингера, гамильтониан JCM записывается как $${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).$$

собственные состояния

Возможно и часто очень полезно записать гамильтониан полной системы как сумму двух коммутирующих частей: $${\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{\text{I}}+{\hat {H}}_{\text{II}},$$ где $${\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{I}}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{\text{II}}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}$$ с $\delta =\omega _{a}-\omega _{c}$ называется расстройкой (частотой) между полем и двухуровневой системой.

Собственные состояния ${\hat {H}}_{I}$, имеющие форму тензорного произведения, легко решаются и обозначаются $|n+1,g\rangle ,|n,e\rangle$, где $n\in \mathbb {N}$ обозначает количество квантов излучения в моде.

Как говорится $|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle$ и $|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle$ вырождены относительно ${\hat {H}}_{I}$ для всех $n$, достаточно диагонализировать ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ в подпространствах $\operatorname {span} \{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}$. Матричные элементы ${\hat {H}}_{\text{JC}}$ в этом подпространстве, ${H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,$ читать $$H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}$$

Для данного $n$, собственные значения энергии $H^{(n)}$ являются $$E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),$$ где ${\textstyle \Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}}$ — частота Раби для конкретного параметра расстройки. Собственные состояния $|n,\pm \rangle$ связанные с собственными значениями энергии, имеют вид $$|n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle$$ $$|n,-\rangle =\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle -\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle$$ где угол $\alpha _{n}$ определяется через $$\alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).$$

Динамика картины Шрёдингера

Теперь можно получить динамику общего состояния, расширив его до отмеченных собственных состояний. Мы рассматриваем суперпозицию числовых состояний как начальное состояние поля: ${\textstyle |\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }}$, и предположим, что атом в возбужденном состоянии инжектируется в поле. Начальное состояние системы $$|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n,e\rangle }=\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].$$

Поскольку $|n,\pm \rangle$ — стационарные состояния системы поле-атом, то вектор состояния за времена $t>0$ просто дано $$|\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }+\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right].$$

Осцилляции Раби можно легко увидеть в функциях sin и cos вектора состояния. Разные периоды происходят для разных числовых состояний фотонов. То, что наблюдается в эксперименте, представляет собой сумму многих периодических функций, которые могут колебаться в очень широких пределах и разрушительно суммироваться до нуля в какой-то момент времени, но снова станут отличными от нуля в более поздние моменты. Конечность этого момента вытекает как раз из дискретности аргументов периодичности. Если бы амплитуда поля была непрерывной, возрождение никогда бы не произошло за конечное время.

Динамика картины Гейзенберга

В обозначениях Гейзенберга можно напрямую определить унитарный оператор эволюции из гамильтониана: $${\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}$$ где оператор ${\hat {\varphi }}$ определяется как $${\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4$$ и $g$ дается $$g={\frac {\Omega }{\hbar }}$$

Унитарность ${\hat {U}}$ гарантируется тождествами $${\begin{aligned}{\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},\\\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},\end{aligned}}$$ и их эрмитовых сопряжений.

С помощью унитарного оператора эволюции можно рассчитать временную эволюцию состояния системы, описываемой ее матрицей плотности ${\hat {\rho }}(t)$, а оттуда — математическое ожидание любой наблюдаемой, учитывая начальное состояние: $${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)$$ $$\langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]$$

Начальное состояние системы обозначается ${\hat {\rho }}(0)$ и ${\hat {\Theta }}$ — оператор, обозначающий наблюдаемую.

Математическая формулировка 2

Для простоты иллюстрации рассмотрим взаимодействие двух энергетических подуровней атома с квантованным электромагнитным полем. Поведение любой другой системы с двумя состояниями, связанной с бозонным полем, будет изоморфно этой динамике. В этом случае гамильтониан для системы атом-поле имеет вид: $${\hat {H}}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}+{\hat {H}}_{AF}$$ Где мы ввели следующие определения:

• ${\hat {H}}_{A}=E_{g}|g\rangle \langle g|+E_{e}|e\rangle \langle e|$ – гамильтониан атома, где буквы $e,g$ используются для обозначения возбужденного и основного состояния соответственно. Установка нуля энергии на энергию основного состояния атома упрощает это до ${\hat {H}}_{A}=E_{e}|e\rangle \langle e|=\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|$ где $\omega _{eg}$ – резонансная частота переходов между подуровнями атома.
• ${\hat {H}}_{F}=\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \omega _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }+{\frac {1}{2}}\right)$ – гамильтониан квантованного электромагнитного поля. Обратите внимание на бесконечную сумму по всем возможным волновым векторам. $\mathbf {k}$ и два возможных состояния ортогональной поляризации $\lambda$. Операторы ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }$ и ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }$ — операторы рождения и уничтожения фотонов для каждой индексированной моды поля. Простота модели Джейнса – Каммингса обусловлена ​​подавлением этой общей суммы за счет рассмотрения только одной моды поля, что позволяет нам записать ${\textstyle {\hat {H}}_{F}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)}$ где индекс $c$ указывает на то, что мы рассматриваем только резонансный режим резонатора.
• ${\hat {H}}_{AF}=-{\hat {\mathbf {d} }}\cdot {\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )$ – гамильтониан дипольного взаимодействия атома с полем (здесь $\mathbf {R}$ – положение атома). Оператор электрического поля квантованного электромагнитного поля имеет вид $${\hat {\mathbf {E} }}(\mathbf {R} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\right)$$ и дипольный оператор имеет вид ${\hat {\mathbf {d} }}={\hat {\sigma }}_{+}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle +{\hat {\sigma }}_{-}\langle g|{\hat {\mathbf {d} }}|e\rangle$. Параметр $\mathbf {R} =\mathbf {0}$ и дать определение $$\hbar g_{\mathbf {k} ,\lambda }=i{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{\mathbf {k} }}{V}}}\langle e|{\hat {\mathbf {d} }}|g\rangle \cdot \mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda },$$ где $\mathbf {u} _{\mathbf {k} ,\lambda }$s — ортонормированные моды поля, мы можем написать $${\hat {H}}_{AF}=-\sum _{\mathbf {k} ,\lambda }\hbar \left(g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }-g_{\mathbf {k} ,\lambda }{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }^{\dagger }+g_{\mathbf {k} ,\lambda }^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\lambda }\right),$$ где ${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ и ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ — операторы повышения и понижения, действующие в $\{|e\rangle ,|g\rangle \}$ подпространство атома. Применение модели Джейнса – Каммингса позволяет подавить эту сумму и ограничить внимание одной модой поля. Таким образом, гамильтониан атомного поля принимает вид: ${\hat {H}}_{AF}=\hbar \left[\left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)+\left(-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}\right)\right]$.

Вращающаяся система отсчета и приближение вращающейся волны

Далее анализ можно упростить, выполнив пассивное преобразование в так называемый «совращающийся» кадр. Для этого воспользуемся картинкой взаимодействия . Брать ${\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}$. Тогда гамильтониан взаимодействия принимает вид: $${\hat {H}}_{AF}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar \left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)$$ Предположим теперь, что резонансная частота резонатора находится вблизи частоты перехода атома, т. е. полагаем $|\omega _{eg}-\omega _{c}|\ll \omega _{eg}+\omega _{c}$. При этом условии экспоненциальные члены, колеблющиеся с частотой $\omega _{eg}-\omega _{c}\simeq 0$ почти резонансны, в то время как другие экспоненциальные члены колеблются с частотой $\omega _{eg}+\omega _{c}\simeq 2\omega _{c}$ почти антирезонансны. В то время $\tau ={\frac {2\pi }{\Delta }},\Delta \equiv \omega _{eg}-\omega _{c}$ что резонансным членам требуется совершить одно полное колебание, а антирезонансным членам — множество полных циклов. Поскольку за каждый полный цикл ${\frac {2\pi }{2\omega _{c}}}\ll \tau$ В случае антирезонансных колебаний суммарный эффект быстро колеблющихся антирезонансных членов стремится в среднем к 0 для временных масштабов, в которых мы хотим анализировать резонансное поведение. Таким образом, мы можем вообще пренебречь антирезонансными членами, поскольку их ценность ничтожна по сравнению со ценностью почти резонансных членов. Это приближение известно как приближение вращающейся волны и соответствует интуитивному пониманию того, что энергия должна сохраняться. Тогда гамильтониан взаимодействия (приняв $g_{c}$ быть реальным для простоты):

$${\hat {H}}_{AF}(t)=-\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)$$

Имея это приближение в руках (и поглощая отрицательный знак в $g_{c}$), мы можем вернуться к картине Шрёдингера:

$${\hat {H}}_{AF}=e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}(t)e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)$$

Гамильтониан Джейнса-Каммингса 2

Используя результаты, полученные в последних двух разделах, мы можем теперь записать полный гамильтониан Джейнса-Каммингса: $${\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)$$ Постоянный член ${\frac {1}{2}}\hbar \omega _{c}$ представляет собой нулевую энергию поля. Это не будет способствовать динамике, поэтому им можно пренебречь, дав: $${\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)$$

Затем определите так называемый числовой оператор : $${\hat {N}}=|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}$$. Рассмотрим коммутатор этого оператора с гамильтонианом атомного поля: $${\begin{aligned}\left[{\hat {H}}_{AF},{\hat {N}}\right]&=\hbar g_{c}\left(\left[{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]\right)\\&=\hbar g_{c}\left({\hat {a}}_{c}\left[{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c},{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\left[{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger },{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=\hbar g_{c}\left(-{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}-{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=0\end{aligned}}$$

Таким образом, числовой оператор коммутирует с гамильтонианом атомного поля. Собственные состояния числового оператора являются основой тензорного произведения состояний . $\left\{|g,0\rangle ;|e,0\rangle ,|g,1\rangle ;\cdots ;|e,n-1\rangle ,|g,n\rangle \right\}$ где штаты $\left\{|n\rangle \right\}$ поля - это те, у которых есть определенное количество $n$ фотонов. Оператор номера ${\hat {N}}$ подсчитывает общее количество $n$ квантов в системе атом-поле.

В этом базисе собственных состояний ${\hat {N}}$ (полное число состояний), гамильтониан принимает блочно-диагональную структуру: $${\hat {H}}_{JC}={\begin{bmatrix}H_{0}&0&0&0&\cdots &\cdots &\cdots \\0&{\hat {H}}_{1}&0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&{\hat {H}}_{2}&0&\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&{\hat {H}}_{n}&0&\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{bmatrix}}$$

За исключением скаляра $H_{0}$, каждый ${\hat {H}}_{n}$ на диагонали само по себе является $2\times 2$ матрица формы; $${\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}\hbar \omega _{c}(n-1)+\hbar \omega _{eg}&\langle e,n-1|{\hat {H}}_{JC}|g,n\rangle \\\langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle &n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}$$

Теперь, используя соотношение: $$\langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle =\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}|e,n-1\rangle +\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}|e,n-1\rangle ={\sqrt {n}}\hbar g_{c}$$

Получаем ту часть гамильтониана, которая действует в n ^й подпространство как: $${\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}$$

Перемещая энергию из $|e\rangle$ к $|g\rangle$ с количеством ${\frac {1}{2}}\hbar \Delta$, мы можем получить $${\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \\\end{bmatrix}}=n\hbar \omega _{c}{\hat {I}}^{(n)}-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\hbar \Omega {\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}$$

где мы определили $2g_{c}=\Omega$ как частота Раби системы, и $\Delta =\omega _{c}-\omega _{eg}$ является так называемая «расстройка» между частотами резонатора и атомного перехода. Мы также определили операторы: $${\begin{aligned}{\hat {I}}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|-\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle g,n\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle e,n-1\right|.\\[-1ex]\,\end{aligned}}$$

быть тождественным оператором, а операторы Паули x и z в гильбертовом пространстве n ^й энергетический уровень системы атом-поле. Это просто $2\times 2$ Гамильтониан имеет ту же форму, что и в задаче Раби . Диагонализация энергии дает собственные значения и собственные состояния : $${\begin{aligned}E_{n,\pm }&=\left(n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}\\|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}$$ Где угол $\theta _{n}$ определяется соотношением $\tan \theta _{n}=-{\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{\Delta }}$.

Вакуумные колебания Раби

Рассмотрим атом, входящий в полость первоначально в возбужденном состоянии, тогда как полость первоначально находится в вакууме . Более того, предполагается, что угловую частоту моды можно аппроксимировать частотой атомного перехода, включив $\Delta \approx 0$. Тогда состояние системы атом-поле как функция времени будет: $$|\psi (t)\rangle =\cos \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|e,0\rangle -i\sin \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|g,1\rangle$$

Таким образом, вероятности обнаружить систему в основном или возбужденном состояниях после взаимодействия с полостью в течение времени $t$ являются: $${\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,0|\psi (t)\rangle |^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\P_{g}(t)&=|\langle g,1|\psi (t)\rangle |^{2}=\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

Таким образом, амплитуда вероятности обнаружить атом в любом состоянии колеблется. Это квантовомеханическое объяснение явления вакуумных осцилляций Раби . В этом случае в системе атом-поле был только один квант, уносимый первоначально возбужденным атомом. В общем, осцилляции Раби, связанные с системой атом-поле $n$ кванты будут иметь частоту $\Omega _{n}={\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{2}}$. Как объясняется ниже, этот дискретный спектр частот является основной причиной вероятностей коллапсов и последующих возрождений в модели.

Лестница Джейнса-Каммингса

Как было показано в предыдущем подразделе, если начальное состояние системы атом-резонатор $|e,n-1\rangle$ или $|g,n\rangle$, как и в случае, когда атом первоначально находится в определенном состоянии (основном или возбужденном) и входит в полость, содержащую известное число фотонов, то состояние системы атом-полость в более поздние моменты времени становится суперпозицией новых собственных состояний атома -система полостей: $${\begin{aligned}|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}$$

Это изменение собственных состояний из-за изменения гамильтониана, вызванного взаимодействием атома и поля, иногда называют «одеванием» атома, а новые собственные состояния называются « одетыми состояниями» . Разница в энергии между одетыми состояниями равна: $$\delta E=E_{+}-E_{-}=\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}$$ Особый интерес представляет случай, когда частота резонатора идеально резонансна с частотой перехода атома, поэтому $\omega _{eg}=\omega _{c}\implies \Delta =0$. В резонансном случае одетыми состояниями являются: $$|n,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|g,n\rangle \mp |e,n-1\rangle \right)$$

С разницей в энергии $\delta E={\sqrt {n}}\hbar \Omega$. Таким образом, взаимодействие атома с полем расщепляет вырождение состояний $|e,n-1\rangle$ и $|g,n\rangle$ к ${\sqrt {n}}\hbar \Omega$. Эта нелинейная иерархия энергетических уровней масштабируется как ${\sqrt {n}}$ известна как лестница Джейнса-Каммингса. Этот эффект нелинейного расщепления является чисто квантовомеханическим и не может быть объяснен какой-либо полуклассической моделью.

Крах и возрождение вероятностей

Рассмотрим атом, первоначально находящийся в основном состоянии, взаимодействующий с полевой модой, изначально подготовленной в когерентном состоянии , поэтому начальное состояние системы атом-поле таково: $$|\psi (0)\rangle =|g,\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|g,n\rangle$$

Для простоты возьмем резонансный случай ( $\Delta =0$), то гамильтониан для n ^й числовое подпространство: $${\hat {H}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\hat {I}}^{(n)}+{\frac {\hbar {\sqrt {n}}\Omega }{2}}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}$$

Используя это, временная эволюция системы атом-поле будет следующей: $${\begin{aligned}|\psi (t)\rangle &=e^{-i{\hat {H}}_{n}t/\hbar }|\psi (0)\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {I}}^{(n)}-i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}\right)|g,n\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|g,n\rangle -i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|e,n-1\rangle \right)\end{aligned}}$$ Не обращайте внимания ни на один из постоянных факторов ${\frac {\hbar \omega _{c}}{2}}{\hat {I}}^{(n)}$ ни ${\hat {H}}_{0}$ вносят вклад в динамику за пределами общей фазы, поскольку они представляют энергию нулевой точки. В этом случае вероятность обнаружить атом, перешедший в возбужденное состояние, в более позднее время $t$ является: $${\begin{aligned}P_{e}(t)=\left|\langle e|\psi (t)\rangle \right|^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-|\alpha |^{2}}}{n!}}|\alpha |^{2n}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}(\Omega _{n}t)\\{}\end{aligned}}$$ Где мы определили $\langle n\rangle =|\alpha |^{2}$ быть средним числом фотонов в когерентном состоянии. Если среднее число фотонов велико, то, поскольку статистика когерентного состояния является пуассоновской, мы имеем, что отношение дисперсии к среднему равно $\langle (\Delta n)^{2}\rangle /\langle n\rangle ^{2}\simeq 1/\langle n\rangle$. Используя этот результат и расширяя $\Omega _{n}$ вокруг $\langle n\rangle$ к наименьшему неисчезающему порядку в $n$ дает: $$\Omega _{n}\simeq {\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {\langle n\rangle }}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n-\langle n\rangle }{\langle n\rangle }}\right)$$ Вставка этого в сумму дает сложное произведение экспонент: $$P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {e^{-\langle n\rangle }}{4}}\cdot \left(e^{-i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left(-{\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]+e^{i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left({\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]\right)$$

График вероятности найти систему в возбужденном состоянии как функция безразмерного параметра $gt$ для системы со средним числом фотонов $\langle n\rangle =25$. Обратите внимание на первоначальный коллапс в течение короткого времени, за которым последовало возрождение в более длительные периоды времени. Такое поведение объясняется дискретным спектром частот, вызванным квантованием поля.

Для «малых» периодов времени, таких, что ${\frac {\Omega t}{2}}\ll {\sqrt {\langle n\rangle }}$, внутренняя экспонента внутри двойной экспоненты в последнем члене может быть расширена до второго порядка, чтобы получить:

$$P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos \left[{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t\right]e^{-\Omega ^{2}t^{2}/8}$$

Этот результат показывает, что вероятность занятия возбужденного состояния колеблется с эффективной частотой ${\textstyle \Omega _{\text{eff}}={\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega }$. Он также показывает, что он должен затухать в течение характерного времени: $$\tau _{c}={\frac {\sqrt {2}}{\Omega }}$$

Коллапс можно легко понять как следствие деструктивной интерференции между различными частотными компонентами, поскольку они дефазируются и со временем начинают деструктивно взаимодействовать. Однако тот факт, что частоты имеют дискретный спектр, приводит к другому интересному результату в более длительном временном режиме; в этом случае периодическая природа медленно меняющейся двойной экспоненты предсказывает, что во времени также должно произойти возрождение вероятности: $$\tau _{r}={\frac {4\pi }{\Omega }}{\sqrt {\langle n\rangle }}.$$

Возрождение вероятности происходит из-за перефазировки различных дискретных частот. Если бы поле было классическим, частоты имели бы непрерывный спектр, и такая перефазировка никогда не могла бы произойти за конечное время.

График вероятности обнаружить, что атом, первоначально находившийся в основном состоянии, перешел в возбужденное состояние после взаимодействия с полостью, подготовленной в когерентном состоянии, в зависимости от безединичного параметра $gt=\Omega t/2$ показано справа. Обратите внимание на первоначальный коллапс, за которым последовало явное оживление в более длительные периоды времени.

Коллапсы и возрождения квантовых колебаний

Этот график квантовых колебаний атомной инверсии - для квадратичного масштабированного параметра расстройки $a=(\delta /2g)^{2}=40$, где $\delta$ – параметр расстройки – построен на основе формул, полученных А.А. Карацубой и Е.А. Карацубой.

См. также

• Модель Бойлера – Леггетта
• Модель Джейнса – Каммингса – Хаббарда
• Это проблема
• Спонтанное излучение
• Вакуумные колебания Раби

Дальнейшее чтение

• Берман, PR; Малёвский, В.С. (2011). Основы лазерной спектроскопии и квантовой оптики . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14056-8 .
• Джерри, CC; Найт, Польша (2005). Введение в квантовую оптику . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-52735-Х .
• Скалли, Миссури; Зубайри, М.С. (1997). Квантовая оптика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43595-1 .
• Фогель, В.; Уэлш, генеральный директор (2006). Квантовая оптика (3-е изд.). Вайли-ВЧ. ISBN  978-3-527-40507-7 .
• Уоллс, DF; Милберн, Дж.Дж. (1995). Квантовая оптика . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-58831-0 .