Проблема Раби

Проблема Раби касается реакции атома на приложенное гармоническое электрическое поле с приложенной частотой атома , очень близкой к собственной частоте . Он представляет собой простой и общеразрешимый пример взаимодействия света с атомом и назван в честь Исидора Исаака Раби .

Классическая задача Раби

В классическом подходе задача Раби может быть представлена ​​решением ведомого затухающего гармонического осциллятора с электрической частью силы Лоренца в качестве движущего члена:

${\ddot {x}}_{a}+{\frac {2}{\tau _{0}}}{\dot {x}}_{a}+\omega _{a}^{2}x_{a}={\frac {e}{m}}E(t,\mathbf {r} _{a}),$

где предполагалось, что атом можно рассматривать как заряженную частицу (с зарядом е ), колеблющуюся вокруг своего положения равновесия вокруг нейтрального атома. Здесь x _a — его мгновенная величина колебаний, $\omega _{a}$ собственная частота колебаний и $\tau _{0}$ его естественная продолжительность жизни :

${\frac {2}{\tau _{0}}}={\frac {2e^{2}\omega _{a}^{2}}{3mc^{3}}},$

который был рассчитан на основе потерь энергии дипольного генератора из-за электромагнитного излучения.

Чтобы применить это к задаче Раби, предполагается, что электрическое поле E колеблется во времени и постоянно в пространстве:

$E=E_{0}[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}]=2E_{0}\cos \omega t,$

а x _a разлагается на часть u _a, синфазную с движущим полем E (соответствующую дисперсии), и часть v _a, находящуюся в противофазе (соответствующую поглощению):

$x_{a}=x_{0}(u_{a}\cos \omega t+v_{a}\sin \omega t).$

Здесь x ₀ предполагается постоянным, но u _a и v _a допускается изменение во времени. Однако если система очень близка к резонансу ( $\omega \approx \omega _{a}$), то эти значения будут медленно меняться во времени, и можно предположить, что ${\dot {u}}_{a}\ll \omega u_{a}$, ${\dot {v}}_{a}\ll \omega v_{a}$ и ${\ddot {u}}_{a}\ll \omega ^{2}u_{a}$, ${\ddot {v}}_{a}\ll \omega ^{2}v_{a}$.

С учетом этих предположений уравнения сил Лоренца для синфазной и противофазной частей можно переписать в виде

${\dot {u}}=-\delta v-{\frac {u}{T}},$

${\dot {v}}=\delta u-{\frac {v}{T}}+\kappa E_{0},$

где мы заменили естественное время жизни $\tau _{0}$ с более общим эффективным временем жизни T (которое может включать в себя другие взаимодействия, такие как столкновения) и опустили индекс a в пользу недавно определенной расстройки $\delta =\omega -\omega _{a}$, который одинаково хорошо служит для различения атомов разных резонансных частот. Наконец, константа

$\kappa \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {e}{m\omega x_{0}}}$

было определено.

Эти уравнения можно решить следующим образом:

$u(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (t-t')e^{-(t-t')/T},$

$v(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (t-t')e^{-(t-t')/T}.$

После того, как все переходные процессы исчезнут, стационарное решение принимает простую форму

$x_{a}(t)={\frac {e}{m}}E_{0}\left({\frac {e^{i\omega t}}{\omega _{a}^{2}-\omega ^{2}+2i\omega /T}}+{\text{c.c.}}\right),$

где «cc» означает комплексное сопряжение противоположного термина.

Двухуровневый атом

Полуклассический подход

См. Также: оптические уравнения Блоха.

Классическая проблема Раби дает некоторые основные результаты и простую для понимания картину проблемы, но для того, чтобы понять такие явления, как инверсия , спонтанное излучение и сдвиг Блоха-Зигерта полностью квантово-механическое , необходимо рассмотрение.

Самый простой подход - это приближение двухуровневого атома , в котором рассматриваются только два энергетических уровня рассматриваемого атома. В действительности не существует атома только с двумя энергетическими уровнями, но переход между, например, двумя сверхтонкими состояниями в атоме можно трактовать в первом приближении так, как если бы существовали только эти два уровня, предполагая, что привод не слишком далек от резонанса. .

Удобство двухуровневого атома состоит в том, что любая двухуровневая система развивается по существу так же, как и система со спином 1/2 , в соответствии с уравнениями Блоха , определяющими динамику вектора псевдоспина в электрическом поле:

${\dot {u}}=-\delta v,$

${\dot {v}}=\delta u+\kappa Ew,$

${\dot {w}}=-\kappa Ev,$

где мы сделали приближение вращающейся волны , выбрасывая члены с высокой угловой скоростью (и, следовательно, с небольшим влиянием на общую динамику спина в течение длительных периодов времени) и преобразуя его в набор координат, вращающихся с частотой $\omega$.

Здесь имеется явная аналогия между этими уравнениями и теми, которые определяли эволюцию синфазной и противофазной составляющих колебаний в классическом случае. Теперь, однако, есть третий член w , который можно интерпретировать как разницу населенностей между возбужденным и основным состоянием (изменяющуюся от -1, чтобы полностью представлять в основном состоянии, до +1, полностью в возбужденном состоянии). Имейте в виду, что для классического случая существовал непрерывный энергетический спектр, который мог занимать атомный осциллятор, тогда как для квантового случая (как мы предполагали) существуют только два возможных (собственных) состояния задачи.

Эти уравнения также можно записать в матричной форме:

${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\delta &0\\\delta &0&\kappa E\\0&-\kappa E&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}.$

Примечательно, что эти уравнения можно записать в виде векторного уравнения прецессии :

${\frac {d\mathbf {\rho } }{dt}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\rho } ,$

где $\mathbf {\rho } =(u,v,w)$ - вектор псевдоспина, а $\mathbf {\Omega } =(-\kappa E,0,\delta )$ действует как эффективный крутящий момент.

Как и ранее, задача Раби решается в предположении, что электрическое поле E является колебательным с постоянной величиной E ₀ : $E=E_{0}(e^{i\omega t}+{\text{c.c.}})$. В этом случае решение можно найти, применив два последовательных вращения к приведенному выше матричному уравнению вида

${\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \chi &0&\sin \chi \\0&1&0\\-\sin \chi &0&\cos \chi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}$

и

${\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \Omega t&\sin \Omega t\\0&-\sin \Omega t&\cos \Omega t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u''\\v''\\w''\end{bmatrix}},$

где

$\tan \chi ={\frac {\delta }{\kappa E_{0}}},$

$\Omega (\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}}}.$

Здесь частота $\Omega (\delta )$ известна как обобщенная частота Раби , которая дает скорость прецессии вектора псевдоспина вокруг преобразованной u оси (задаваемой первым преобразованием координат выше). Например, если электрическое поле (или лазер ) находится в точном резонансе (таком, что $\delta =0$), то вектор псевдоспина будет прецессировать вокруг оси u со скоростью $\kappa E_{0}$. Если этот (резонансный) импульс облучать совокупность атомов, изначально находящихся в основном состоянии ( w = −1), в течение времени $\Delta t=\pi /\kappa E_{0}$, то после импульса все атомы теперь будут находиться в возбужденном состоянии ( w = +1) из-за $\pi$ (или 180°) поворот вокруг оси u . Это известно как $\pi$-импульсный и имеет результат полной инверсии.

Общий результат дается выражением

${\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}&-{\frac {\delta }{\Omega }}\sin {\Omega t}&-{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)\\{\frac {\delta }{\Omega }}\sin \Omega t&\cos \Omega t&{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin \Omega t\\{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)&-{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin {\Omega t}&{\frac {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{bmatrix}}.$

Выражение для инверсии w можно значительно упростить, если предположить, что атом изначально находится в основном состоянии ( w ₀ = −1) с u ₀ = v ₀ = 0, и в этом случае

$w(t;\delta )=-1+{\frac {2(\kappa E_{0})^{2}}{(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right).$

Задача Раби в нестационарной теории возмущений

В квантовом подходе периодическую движущую силу можно рассматривать как периодическое возмущение, и, следовательно, задачу можно решить с помощью теории возмущений, зависящей от времени, с

$H(t)=H^{0}+H^{1}(t),$

где $H^{0}$ - независимый от времени гамильтониан, который дает исходные собственные состояния, и $H^{1}(t)$ – возмущение, зависящее от времени. Предположим, во время $t$, мы можем расширить состояние как

$\phi (t)=\sum _{n}d_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ,$

где $|n\rangle$ представляет собственные состояния невозмущенных состояний. Для невозмущенной системы $d_{n}(t)=d_{n}(0)$ является константой.Теперь давайте посчитаем $d_{n}(t)$ при периодическом возмущении $H^{1}(t)=H^{1}e^{-i\omega t}$. Применяющий оператор $i\hbar \partial /\partial t-H^{0}-H^{1}$ в обе части предыдущего уравнения, мы можем получить

$0=\sum _{n}[i\hbar {\dot {d}}_{n}-H^{1}e^{-i\omega t}d_{n}]e^{-iE_{n}^{0}t/\hbar }|n\rangle ,$

а затем умножьте обе части уравнения на $\langle m|e^{iE_{m}^{0}t/\hbar }$:

$i\hbar {\dot {d}}_{m}=\sum _{n}\langle m|H^{1}|n\rangle e^{i(\omega _{mn}-\omega )t}d_{n}.$

Когда частота возбуждения находится в резонансе между двумя состояниями $|m\rangle$ и $|n\rangle$, то есть $\omega =\omega _{mn}$, она становится задачей нормального режима двухуровневой системы, и легко найти, что

$d_{m,n}(t)=d_{m,n,+}(0)e^{i\Omega t}+d_{m,n,-}(0)e^{-i\Omega t},$

где $\Omega ={\frac {\langle m|H^{1}|n\rangle }{\hbar }}.$

Возможность находиться в состоянии m в момент времени t равна

$P_{m}=d_{m}(t)^{*}d_{m}(t)=d_{m,-}^{2}(0)+d_{m,+}^{2}(0)+2d_{m,-}(0)d_{m,+}(0)\cos(2\Omega t).$

Стоимость $d_{m,\pm }(0)$ зависит от начального состояния системы.

Точное решение системы со спином 1/2 в осциллирующем магнитном поле решено Раби (1937). Из их работы видно, что частота колебаний Раби пропорциональна величине магнитного поля колебаний.

Подход квантовой теории поля

В подходе Блоха поле не квантуется, и ни возникающая в результате когерентность, ни резонанс не объяснены должным образом.

Нужна работа для подхода QFT в основном используется модель Джейнса – Каммингса .

См. также

• Цикл Раби
• Частота Раби
• Вакуумные колебания Раби

Ссылки

• Аллен, Л; Эберли, Дж. Х. (1987). Оптический резонанс и двухуровневые атомы . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-65533-8 . OCLC   17233252 .

• Раби, II (15 апреля 1937 г.). «Квантование пространства во вращающемся магнитном поле». Физический обзор . 51 (8). Американское физическое общество (APS): 652–654. Бибкод : 1937PhRv...51..652R . дои : 10.1103/physrev.51.652 . ISSN   0031-899X .