Уравнения Максвелла – Блоха.

Уравнения Максвелла -Блоха , также называемые оптическими уравнениями Блоха. ^{[ 1 ]} описывают динамику квантовой системы с двумя состояниями, взаимодействующей с электромагнитной модой оптического резонатора. Они аналогичны (но вовсе не эквивалентны) уравнениям Блоха , описывающим движение магнитного момента ядра в электромагнитном поле. Уравнения могут быть выведены либо полуклассическим методом , либо с полностью квантованным полем при определенных приближениях.

Полуклассическая формулировка

Вывод полуклассических оптических уравнений Блоха почти идентичен решению квантовой системы с двумя состояниями (см. обсуждение там). Однако обычно эти уравнения приводят к форме матрицы плотности. Систему, с которой мы имеем дело, можно описать волновой функцией:

\psi =c_{g}\psi _{g}+c_{e}\psi _{e}

\left|c_{g}\right|^{2}+\left|c_{e}\right|^{2}=1

Матрица плотности

\rho ={\begin{bmatrix}\rho _{ee}&\rho _{eg}\\\rho _{ge}&\rho _{gg}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{e}c_{e}^{*}&c_{e}c_{g}^{*}\\c_{g}c_{e}^{*}&c_{g}c_{g}^{*}\end{bmatrix}}

(Возможны и другие соглашения; это соответствует выводу Меткалфа (1999)). ^{[ 2 ]} Теперь можно решить уравнение движения Гейзенберга или перевести результаты решения уравнения Шредингера в форму матрицы плотности. Приходим к следующим уравнениям, включая спонтанное излучение:

{\frac {d\rho _{gg}}{dt}}=\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg}-\Omega {\bar {\rho }}_{ge})

{\frac {d\rho _{ee}}{dt}}=-\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega {\bar {\rho }}_{ge}-\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg})

{\frac {d{\bar {\rho }}_{ge}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\delta \right){\bar {\rho }}_{ge}+{\frac {i}{2}}\Omega ^{*}(\rho _{ee}-\rho _{gg})

{\frac {d{\bar {\rho }}_{eg}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}-i\delta \right){\bar {\rho }}_{eg}+{\frac {i}{2}}\Omega (\rho _{gg}-\rho _{ee})

При выводе этих формул определим ${\bar {\rho }}_{ge}\equiv \rho _{ge}e^{-i\delta t}$ и ${\bar {\rho }}_{eg}\equiv \rho _{eg}e^{i\delta t}$ . Также явно предполагалось, что спонтанное излучение описывается экспоненциальным спадом коэффициента $\rho _{eg}(t)$ с константой распада ${\frac {\gamma }{2}}$ . $\Omega$ — частота Раби , которая

\Omega ={\vec {d_{g,e}}}\cdot {\vec {E_{0}}}/\hbar

,

и $\delta =\omega -\omega _{0}$ представляет собой отстройку и измеряет, насколько далеко частота света, $\omega$ , это из перехода, $\omega _{0}$ . Здесь, ${\vec {d}}_{g,e}$ – дипольный момент перехода для $g\rightarrow e$ переход и ${\vec {E}}_{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}$ – векторная электрического поля амплитуда с учетом поляризации (в смысле ${\vec {E}}={\frac {\vec {E_{0}}}{2}}e^{-i\omega t}+c.c.$ ).

Вывод из квантовой электродинамики полости

Начиная с гамильтониана Джейнса – Каммингса при когерентном движении.

H=\omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }e^{-i\omega _{l}t}-ae^{i\omega _{l}t})

где $a$ – опускающий оператор поля полости, а $\sigma ={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)$ — атомный оператор опускания, записанный как комбинация матриц Паули . Временную зависимость можно устранить, преобразовав волновую функцию по закону $|\psi \rangle \rightarrow \operatorname {e} ^{-i\omega _{l}t\left(a^{\dagger }a+\sigma ^{\dagger }\sigma \right)}|\psi \rangle$ , что приводит к преобразованному гамильтониану

H=\Delta _{c}a^{\dagger }a+\Delta _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }-a)

где $\Delta _{i}=\omega _{i}-\omega _{l}$ . В нынешнем виде гамильтониан имеет четыре члена. Первые два — это собственная энергия атома (или другой двухуровневой системы) и поля. Третий член - это энергосберегающий член взаимодействия, позволяющий полости и атому обмениваться населенностью и когерентностью. Одни только эти три члена порождают лестницу одетых состояний Джейнса-Каммингса и связанный с ней ангармонизм в энергетическом спектре. Последний член моделирует связь между модой резонатора и классическим полем, т.е. лазером. Сила привода $J$ выражается через мощность, передаваемую через пустой двусторонний резонатор, как $J={\sqrt {2P(\Delta _{c}^{2}+\kappa ^{2})/(\omega _{c}\kappa )}}$ , где $2\kappa$ – ширина линии полости. Это выявляет решающий момент, касающийся роли диссипации в работе лазера или другого устройства CQED ; Диссипация — это средство, с помощью которого система (связанный атом/полость) взаимодействует с окружающей средой. С этой целью диссипация учитывается путем постановки проблемы в терминах основного уравнения, где последние два члена имеют форму Линдблада.

{\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]+2\kappa \left(a\rho a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a\rho +\rho a^{\dagger }a\right)\right)+2\gamma \left(\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{\dagger }\sigma \rho +\rho \sigma ^{\dagger }\sigma \right)\right)

Уравнения движения для математических ожиданий операторов можно вывести из основного уравнения по формулам $\langle O\rangle =\operatorname {tr} \left(O\rho \right)$ и $\langle {\dot {O}}\rangle =\operatorname {tr} \left(O{\dot {\rho }}\right)$ . Уравнения движения для $\langle a\rangle$ , $\langle \sigma \rangle$ , и $\langle \sigma _{z}\rangle$ , поле полости, атомная когерентность и атомная инверсия соответственно равны

{\frac {d}{dt}}\langle a\rangle =i\left(-\Delta _{c}\langle a\rangle -ig\langle \sigma \rangle -iJ\right)-\kappa \langle a\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle \sigma \rangle =i\left(-\Delta _{a}\langle \sigma \rangle -ig\langle a\sigma _{z}\rangle \right)-\gamma \langle \sigma \rangle

{\frac {d}{dt}}\langle \sigma _{z}\rangle =-2g\left(\langle a^{\dagger }\sigma \rangle +\langle a\sigma ^{\dagger }\rangle \right)-2\gamma \langle \sigma _{z}\rangle -2\gamma

На этом этапе мы создали три бесконечной лестницы связанных уравнений. Как видно из третьего уравнения, необходимы корреляции более высокого порядка. Дифференциальное уравнение временной эволюции $\langle a^{\dagger }\sigma \rangle$ будет содержать средние значения произведений операторов более высокого порядка, что приводит к бесконечному набору связанных уравнений. Мы эвристически делаем приближение, согласно которому математическое ожидание произведения операторов равно произведению математического ожидания отдельных операторов. Это похоже на предположение, что операторы некоррелированы, и является хорошим приближением в классическом пределе. Оказывается, полученные уравнения дают правильное качественное поведение даже в режиме однократного возбуждения. Дополнительно для упрощения уравнений сделаем следующие замены

\langle a\rangle =(\gamma /{\sqrt {2}}g)x

\langle \sigma \rangle =-p/{\sqrt {2}}

\langle \sigma _{z}\rangle =-D

\Theta =\Delta _{c}/\kappa

C=g^{2}/2\kappa \gamma

y={\sqrt {2}}gJ/\kappa \gamma

\Delta =\Delta _{a}/\gamma

И уравнения Максвелла–Блоха можно записать в их окончательном виде

{\dot {x}}=\kappa \left(-2Cp+y-(i\Theta +1)x\right)

{\dot {p}}=\gamma \left(-(1+i\Delta )p+xD\right)

{\dot {D}}=\gamma \left(2(1-D)-(x^{*}p+xp^{*})\right)

Применение: взаимодействие атома и лазера.

В рамках дипольного приближения и приближения вращающихся волн динамика атомной матрицы плотности при взаимодействии с лазерным полем описывается оптическим уравнением Блоха, эффект которого можно разделить на две части: ^{[ 3 ]} оптическая дипольная сила и сила рассеяния. ^{[ 4 ]}

См. также

Ссылки

^ Арекки, Ф.; Бонифачо, Р. (1965). «Теория оптических мазерных усилителей». Журнал IEEE по квантовой электронике . 1 (4): 169–178. дои : 10.1109/JQE.1965.1072212 . ISSN 0018-9197 .
^ Меткалф, Гарольд. Лазерное охлаждение и захват Springer, 1999, стр. 24-
^ Рой, Ричард (2017). «Квантовые газы иттербия и лития: гетероядерные молекулы и бозе-фермиевские сверхтекучие смеси» (PDF) . Исследования ультрахолодных атомов и молекул в Вашингтонском университете .
^ Фут, Кристофер (2005). Атомная физика . Издательство Оксфордского университета. стр. 137 , 198–199.

[ArecchiBonifacio1965-1] Арекки, Ф.; Бонифачо, Р. (1965). «Теория оптических мазерных усилителей». Журнал IEEE по квантовой электронике . 1 (4): 169–178. дои : 10.1109/JQE.1965.1072212 . ISSN 0018-9197 .

[metcalf-2] Меткалф, Гарольд. Лазерное охлаждение и захват Springer, 1999, стр. 24-

[3] Рой, Ричард (2017). «Квантовые газы иттербия и лития: гетероядерные молекулы и бозе-фермиевские сверхтекучие смеси» (PDF) . Исследования ультрахолодных атомов и молекул в Вашингтонском университете .

[4] Фут, Кристофер (2005). Атомная физика . Издательство Оксфордского университета. стр. 137 , 198–199.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]