Полупроводниковые уравнения Блоха

Полупроводниковые ​ Блоха уравнения (сокращенно SBE) описывают оптический отклик полупроводников , возбуждаемых классическими источниками когерентного света, такими как лазеры . Они основаны на полной квантовой теории и образуют замкнутую систему интегро-дифференциальных уравнений квантовой динамики микроскопической поляризации и носителей заряда распределения . СБЭ названы в честь структурной аналогии оптических уравнений Блоха , описывающих динамику возбуждения в двухуровневом атоме, взаимодействующем с классическим электромагнитным полем . В качестве основной сложности, выходящей за рамки атомного подхода, SBE должны учитывать взаимодействия многих тел, возникающие в результате кулоновской силы между зарядами и связи между колебаниями решетки и электронами.

Фон

Оптический отклик полупроводника будет следующим, если можно определить его макроскопическую поляризацию. $\mathbf {P}$ как функция электрического поля $\mathbf {E}$ это возбуждает это. Связь между $\mathbf {P}$ и микроскопическая поляризация $P_{\mathbf {k} }$ дается

$\mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\operatorname {c.c.} \;,$

где сумма включает кристаллические импульсы $\hbar {\mathbf {k} }$ всех соответствующих электронных состояний. В полупроводниковой оптике обычно возбуждаются переходы между валентной зоной и зоной проводимости . В связи с этим, $\mathbf {d}$ – дипольный матричный элемент между зоной проводимости и валентной зоной, $P_{\mathbf {k} }$ определяет соответствующую амплитуду перехода.

Вывод SBE начинается с гамильтониана системы , который полностью включает свободные частицы , кулоновское взаимодействие , дипольное взаимодействие между классическими световыми и электронными состояниями, а также фононные вклады. Как почти всегда в физике многих тел удобнее всего применять , формализм вторичного квантования после соответствующего гамильтониана системы ${\hat {H}}_{\mathrm {System} }$ идентифицирован. Затем можно вывести квантовую динамику соответствующих наблюдаемых. ${\hat {\mathcal {O}}}$ используя уравнение движения Гейзенберга

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {System} }]_{-}\rangle \;.$

Из-за взаимодействия многих тел внутри ${\hat {H}}_{\mathrm {System} }$, динамика наблюдаемого ${\hat {\mathcal {O}}}$ пары с новыми наблюдаемыми, и структура уравнения не может быть замкнутой. Это хорошо известная проблема иерархии BBGKY , которую можно систематически решать с помощью различных методов, таких как подход расширения кластера .

На уровне оператора микроскопическая поляризация определяется средним значением для одного электронного перехода между валентной зоной и зоной проводимости. При втором квантовании электроны зоны проводимости определяются фермионными операторами рождения и уничтожения. ${\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }$ и ${\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}$, соответственно. Аналогичная идентификация, т.е. ${\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }$ и ${\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}$, сделан для электронов валентной зоны. Соответствующий электронный межзонный переход тогда принимает вид

$P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,$

которые описывают амплитуды перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону ( $P_{\mathbf {k} }^{\star }$ срок) или наоборот ( $P_{\mathbf {k} }$ срок). В то же время распределение электронов следует из

$f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.$

Также удобно следить за распределением электронных вакансий, т. е дырок .

$f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }\rangle$

которые остаются в валентной зоне из-за процессов оптического возбуждения.

Основная структура МСП

Квантовая динамика оптических возбуждений дает интегро-дифференциальные уравнения , составляющие СБЭ

Полупроводниковые уравнения Блоха

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }={\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }-\left[1-f_{\mathbf {k} }^{e}(t)-f_{\mathbf {k} }^{h}(t)\right]\Omega _{\mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {scatter} }\,,$

$\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {scatter} }\,,$

$\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {scatter} }\;.$

Они содержат перенормированную энергию Раби.

$\Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}$

а также перенормированная энергия носителей

${\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,$

где $\varepsilon _{\mathbf {k} }$ соответствует энергии свободных электронно-дырочных пар и $V_{\mathbf {k} }$ - кулоновский матричный элемент, заданный здесь через вектор несущей волны $\mathbf {k}$.

Символически обозначаемый $\left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }$ вклад возникает из-за иерархической связи из-за взаимодействий многих тел. Концептуально, $P_{\mathbf {k} }$, $f_{\mathbf {k} }^{e}$, и $f_{\mathbf {k} }^{h}$ представляют собой одночастичные средние значения, тогда как иерархическая связь возникает из двухчастичных корреляций, таких как корреляции плотности поляризации или корреляции поляризации-фононов. Физически эти двухчастичные корреляции приводят к нескольким нетривиальным эффектам, таким как экранирование кулоновского взаимодействия, рассеяние больцмановского типа. $f_{\mathbf {k} }^{e}$ и $f_{\mathbf {k} }^{h}$ в сторону распределения Ферми-Дирака , дефазировки, вызванной возбуждением, и дальнейшей перенормировки энергий за счет корреляций.

Все эти корреляционные эффекты можно систематически учитывать, решая также динамику двухчастичных корреляций. На этом уровне сложности можно использовать SBE для прогнозирования оптического отклика полупроводников без феноменологических параметров, что дает SBE очень высокую степень предсказуемости. Действительно, можно использовать SBE для прогнозирования подходящих конструкций лазеров на основе точных знаний, которые они дают о спектре усиления полупроводника . Можно даже использовать SBE, чтобы вывести существование корреляций, таких как связанные экситоны, на основе количественных измерений.

Представленные СБЭ сформулированы в импульсном пространстве, поскольку импульс кристалла носителя следует из $\hbar \mathbf {k}$. Эквивалентный набор уравнений также можно сформулировать в позиционном пространстве. Однако, в частности, корреляционные вычисления гораздо проще выполнять в импульсном пространстве.

Толкование и последствия

Характеристический линейный спектр поглощения $\alpha (E)$ объемного GaAs с использованием двухзонного SBE. Затухание поляризации аппроксимируется константой затухания $\hbar \gamma =0.13\,\mathrm {meV}$ и $\alpha (E)$ вычисляется как функция энергии фотонов поля накачки $E$. Энергия сдвинута относительно энергии запрещенной зоны $E_{\mathrm {gap} }=1.490\,\mathrm {meV}$ и полупроводник изначально невозбужден. Из-за небольшой используемой константы дефазировки несколько экситонных резонансов появляются значительно ниже энергии запрещенной зоны. Для наглядности величины резонансов высоких энергий умножены на 5.

The $P_{\mathbf {k} }$ динамический показывает структуру, в которой отдельный человек $P_{\mathbf {k} }$ связан со всеми другими микроскопическими поляризациями из-за кулоновского взаимодействия $V_{\mathbf {k} }$. Следовательно, амплитуда перехода $P_{\mathbf {k} }$ коллективно модифицируется наличием других амплитуд перехода. Только если установить $V_{\mathbf {k} }$ до нуля, внутри каждого из них обнаруживаются изолированные переходы. ${\mathbf {k} }$ состояние, которое следует точно такой же динамике, как предсказывают оптические уравнения Блоха . Следовательно, уже кулоновское взаимодействие между $P_{\mathbf {k} }$ производит новый твердотельный эффект по сравнению с оптическими переходами в простых атомах.

Концептуально, $P_{\mathbf {k} }$ — это всего лишь амплитуда перехода для возбуждения электрона из валентной зоны в зону проводимости. В то же время однородная часть $P_{\mathbf {k} }$ динамика дает проблему собственных значений , которая может быть выражена через обобщенное уравнение Ванье . Собственные состояния уравнения Ванье аналогичны связанным решениям водородной задачи квантовой механики. Их часто называют экситонными растворами, и они формально описывают кулоновское связывание противоположно заряженными электронами и дырками.

Однако настоящий экситон представляет собой настоящую двухчастичную корреляцию, поскольку тогда должна быть корреляция между одним электроном и другой дыркой. Поэтому появление экситонных резонансов в поляризации не означает наличия экситонов, поскольку $P_{\mathbf {k} }$ – амплитуда одночастичного перехода. Экситонные резонансы являются прямым следствием кулоновской связи между всеми возможными переходами в системе. Другими словами, сами одночастичные переходы находятся под влиянием кулоновского взаимодействия, что позволяет обнаружить экситонный резонанс в оптическом отклике даже при отсутствии истинных экситонов.

Поэтому оптические резонансы часто принято называть экситонными, а не экситонными резонансами. Реальную роль экситонов в оптическом отклике можно определить только путем количественных изменений, вызывающих сдвиг ширины линии и энергии экситонных резонансов.

Решения уравнения Ванье дают ценную информацию об основных свойствах оптического отклика полупроводника. В частности, можно решить стационарные решения SBE для аналитического прогнозирования спектра оптического поглощения с помощью так называемой формулы Эллиотта . В этой форме можно убедиться, что невозбужденный полупроводник демонстрирует несколько резонансов экситонного поглощения, значительно ниже фундаментальной энергии запрещенной зоны. Очевидно, что такая ситуация не может быть зондирующей экситоны, поскольку исходная система многих тел изначально не содержит электронов и дырок. Более того, зондирование в принципе можно проводить настолько мягко, что электронно-дырочные пары практически не возбуждаются. Этот мысленный эксперимент хорошо иллюстрирует, почему можно обнаружить экситонные резонансы, не имея экситонов в системе, и все это благодаря кулоновской связи между амплитудами перехода.

Расширения

SBE особенно полезны при решении проблемы распространения света через полупроводниковую структуру. В этом случае необходимо решать СБЭ вместе с уравнениями Максвелла, обусловленными оптической поляризацией. Этот самосогласованный набор называется Максвеллом – SBE и часто применяется для анализа современных экспериментов и моделирования конструкций устройств.

На этом уровне SBE предоставляют чрезвычайно универсальный метод, который описывает как линейные, так и нелинейные явления, такие как экситонные эффекты, эффекты распространения, эффекты полупроводниковых микрорезонаторов , четырехволновое смешение , поляритоны в полупроводниковых микрорезонаторах, спектроскопия усиления и так далее. Можно также обобщить SBE, включив возбуждение терагерцовыми (ТГц) полями. которые обычно резонансны с внутризонными переходами. Можно также квантовать световое поле и исследовать возникающие в результате квантово-оптические эффекты. В этой ситуации SBE становятся связанными с уравнениями люминесценции полупроводников .

См. также

• Поглощение
• Уравнения люминесценции полупроводников
• Формула Эллиотта
• Квантово-оптическая спектроскопия
• Оптические уравнения Блоха
• Уравнение Ванье
• Усилевая спектроскопия полупроводников
• Теория полупроводникового лазера
• Нелинейная теория полупроводниковых лазеров

Дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон . ISBN  978-0-03-083993-1 .
• Шах, Дж. (1999). Сверхбыстрая спектроскопия полупроводников и полупроводниковых наноструктур (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3-540-64226-8 .
• Киттель, К. (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Всемирная научная. ISBN  978-0471415268 .
• Хауг, Х.; Кох, SW (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников (5-е изд.). Всемирная научная. ISBN  978-9812838841 .
• Клингширн, CF (2006). Полупроводниковая оптика . Бег. ISBN  978-3540383451 .
• Кира, М.; Кох, SW (2011). Полупроводниковая квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097 .