Подход к расширению кластера

— Подход расширения кластеров это метод квантовой механики , который систематически усекает проблему иерархии ББГКИ , которая возникает при решении квантовой динамики взаимодействующих систем. Этот метод хорошо подходит для создания замкнутого набора численно вычисляемых уравнений, которые можно применять для анализа большого разнообразия задач многих тел и/или квантово-оптических задач. Например, он широко применяется в полупроводниковой квантовой оптике. и его можно применять для обобщения полупроводниковых уравнений Блоха и полупроводниковых уравнений люминесценции .

Фон

Квантовая теория по существу заменяет классически точные значения вероятностным распределением, которое может быть сформулировано с использованием, например, волновой функции , матрицы плотности или распределения в фазовом пространстве . Концептуально за каждой наблюдаемой измеряемой всегда, по крайней мере формально, стоит распределение вероятностей. Уже в 1889 году, задолго до того, как была сформулирована квантовая физика, Торвальд Н. Тиле предложил кумулянты , которые описывают вероятностные распределения с минимально возможным количеством величин; он назвал их полуинвариантами . Кумулянты образуют последовательность величин, таких как среднее значение , дисперсия , асимметрия , эксцесс и т. д., которые определяют распределение с большей точностью по мере использования большего количества кумулянтов.

Идея кумулянтов была преобразована в квантовую физику Фрицем Кёстером. и Герман Кюммель с целью изучения ядерных явлений многих тел. Позже Иржи Чижек и Йозеф Палдус расширили подход квантовой химии , чтобы описать явления многих тел в сложных атомах и молекулах. Эта работа заложила основу для подхода связанных кластеров , который в основном работает с волновыми функциями многих тел. Подход связанных кластеров — один из наиболее успешных методов решения квантовых состояний сложных молекул.

В твердых телах волновая функция многих тел имеет чрезвычайно сложную структуру, поэтому методы прямого решения волновой функции трудноразрешимы. Расширение кластера является вариантом подхода связанных кластеров. и он решает динамические уравнения корреляций вместо того, чтобы пытаться решить квантовую динамику аппроксимированной волновой функции или матрицы плотности. Он одинаково хорошо подходит для изучения свойств систем многих тел и квантово-оптических корреляций, что сделало его очень подходящим подходом для полупроводниковой квантовой оптики .

Как почти всегда в физике многих тел удобнее всего применять формализм второго квантования или квантовой оптике, для описания рассматриваемой физики . Например, световое поле затем описывается с помощью бозонов . операторов рождения и уничтожения ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }$ и ${\hat {B}}_{\mathbf {q} }$, соответственно, где $\hbar \mathbf {q}$ определяет импульс фотона . «Шляпа» закончилась $B$ означает операторный характер величины. Когда многочастичное состояние состоит из электронных возбуждений материи, оно полностью определяется фермионными операторами рождения и уничтожения. ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }$ и ${\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }$, соответственно, где $\hbar \mathbf {k}$ относится к импульсу частицы, а $\lambda$ — это некоторая внутренняя степень свободы , такая как спин или индекс зоны .

Классификация N -частиц вкладов

Когда система многих тел изучается вместе с ее квантово-оптическими свойствами, все измеримые значения ожидания могут быть выражены в форме значения ожидания N -частиц.

$\langle {\hat {N}}\rangle \equiv \langle {\hat {B}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {B}}_{K}^{\dagger }\ {\hat {a}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}^{\dagger }{\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}\cdots {\hat {a}}_{1}\ {\hat {B}}_{J}\cdots {\hat {B}}_{1}\rangle$

где $N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}$ и $N_{\hat {B}}=J+K$ а явные индексы импульса опущены ради краткости. Эти величины обычно упорядочены, что означает, что все операторы создания находятся в левой части, а все операторы уничтожения — в правой части ожидаемого значения. Несложно показать, что это математическое ожидание исчезает, если количество операторов рождения и уничтожения фермионов не равно.

Зная гамильтониан системы, можно использовать уравнение движения Гейзенберга для генерации динамики заданного объекта. $N$- оператор частиц. Однако многочастичные, а также квантово-оптические взаимодействия связывают $N$-количество частиц до $(N+1)$ожидаемые значения -частиц, известные как проблема иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (BBGKY) . С математической точки зрения все частицы взаимодействуют друг с другом, что приводит к структуре уравнения.

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\langle {\hat {N}}+1\rangle \right]$

где функциональный $T$ символизирует вклады без проблемы иерархии, а функционал для иерархической (Hi) связи обозначается $\mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]$. Поскольку все уровни ожидаемых значений могут быть отличными от нуля, вплоть до фактического числа частиц, это уравнение не может быть напрямую усечено без дальнейших соображений.

Рекурсивное определение кластеров

Схематическое изображение классификации на основе расширения кластеров. Полная корреляция состоит из синглетов, дублетов, триплетов и корреляций более высокого порядка, все из которых однозначно определяются подходом расширения кластеров. Каждая синяя сфера соответствует одному оператору частицы, а желтые кружки/эллипсы — корреляциям. Количество сфер в корреляции определяет номер кластера.

Проблема иерархии может быть систематически решена после выявления коррелирующих кластеров. Простейшие определения следуют после рекурсивной идентификации кластеров. На самом низком уровне находится класс одночастичных значений математического ожидания (синглетов), которые обозначаются символами $\langle 1\rangle$. Любое двухчастичное математическое ожидание $\langle 2\rangle$ может быть аппроксимировано факторизацией $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle$ который содержит формальную сумму по всем возможным произведениям одночастичных математических ожиданий. В более общем смысле, $\langle 1\rangle$ определяет синглеты и $\langle N\rangle _{\mathrm {S} }$ является синглетной факторизацией $N$-математическое ожидание частицы. Физически синглетная факторизация среди фермионов дает приближение Хартри-Фока , тогда как для бозонов она дает классическое приближение , в котором бозонные операторы формально заменяются когерентной амплитудой, т. е. ${\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle$. Синглетная факторизация представляет собой первый уровень представления расширения кластера.

Коррелирующая часть $\langle 2\rangle$ тогда разница между фактическими $\langle 2\rangle$ и синглетная факторизация $\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$. Более математически можно найти

$\langle 2\rangle =\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }+\Delta \langle 2\rangle$

где $\Delta$ вклад обозначает коррелированную часть, т.е. $\Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }$. Следующие уровни идентификации следуют рекурсивно. применяя

${\begin{aligned}\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\&\quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{aligned}}$

где каждый термин продукта представляет одну факторизацию символически и неявно включает сумму по всем факторизациям в пределах идентифицированного класса терминов. Чисто коррелированная часть обозначается $\Delta \langle N\rangle$. Отсюда и двухчастичные корреляции $\Delta \langle 2\rangle$ определяют дублеты, а трехчастичные корреляции $\Delta \langle 3\rangle$ называются тройками.

Поскольку эта идентификация применяется рекурсивно, можно напрямую определить, какие корреляции появляются в проблеме иерархии. Затем определяется квантовая динамика корреляций, что дает

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,,$

где факторизации создают нелинейную связь $\mathrm {NL} \left[\cdots \right]$ среди кластеров. Очевидно, что введение кластеров не может устранить проблему иерархии прямого подхода, поскольку иерархические вклады остаются в динамике. Это свойство и появление нелинейных членов, по-видимому, предполагают осложнения для применимости подхода расширения кластеров.

Однако основным отличием от подхода с прямым математическым ожиданием является то, что как многочастичные, так и квантово-оптические взаимодействия порождают корреляции последовательно. В некоторых соответствующих задачах действительно возникает ситуация, когда только кластеры низшего порядка изначально не исчезают, в то время как кластеры более высокого порядка растут медленно. В этой ситуации можно отказаться от иерархической связи, $\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]$, на уровне, превышающем $C$-кластеры частиц. В результате уравнения становятся замкнутыми и остается рассчитывать динамику только с точностью до $C$-корреляции частиц для объяснения соответствующих свойств системы. С $C$ обычно намного меньше общего числа частиц, подход с расширением кластеров дает прагматичную и систематическую схему решения для исследований многих тел и квантовой оптики.

Расширения

Помимо описания квантовой динамики, естественно можно применить подход разложения кластеров для представления квантовых распределений. Одна из возможностей — представить квантовые флуктуации квантованной световой моды. ${\hat {B}}$ в терминах кластеров, что дает представление о расширении кластера. В качестве альтернативы их можно выразить в терминах представления математического ожидания. $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$. В этом случае соединение с $\langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle$ к матрице плотности уникальна, но может привести к численному расхождению ряда. Эту проблему можно решить, введя преобразование расширения кластера (CET). которое представляет распределение в терминах гауссовой , определяемой синглетно-дублетными вкладами, умноженными на полином, определенный кластерами более высокого порядка. Оказывается, эта формулировка обеспечивает исключительную сходимость преобразований от представления к представлению.

Эта вполне математическая задача имеет прямое физическое приложение. Можно применить преобразование расширения кластера, чтобы надежно спроецировать классическое измерение в квантово-оптическое измерение. Это свойство во многом основано на способности CET описывать любое распределение в форме, в которой гауссиан умножается на полиномиальный коэффициент. Этот метод уже используется для доступа и получения квантово-оптической спектроскопии на основе набора классических спектроскопических измерений, которые могут быть выполнены с использованием высококачественных лазеров .

См. также

• Иерархия ББГКИ
• Квантово-оптическая спектроскопия
• Полупроводниковые уравнения Блоха
• Уравнения люминесценции полупроводников

Дальнейшее чтение

• Кира, М.; Кох, SW (2011). Полупроводниковая квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097 .
• Шавитт, И.; Бартлетт, Р.Дж. (2009). Методы многих тел в химии и физике: MBPT и теория связанных кластеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521818322 .