Уравнения Блоха

О волновой функции частицы в периодическом потенциале см. теорему Блоха .

В физике и химии, особенно в ядерном магнитном резонансе (ЯМР), магнитно-резонансной томографии (МРТ) и электронном спиновом резонансе (ЭПР), уравнения Блоха представляют собой набор макроскопических уравнений, которые используются для расчета ядерной намагниченности M = ( M _x , My ₎ , M _z как функция времени, когда времена релаксации T ₁ и T ₂ присутствуют . Это феноменологические уравнения, которые были введены Феликсом Блохом в 1946 году. Иногда их называют уравнениями движения ядерной намагниченности. Они аналогичны уравнениям Максвелла–Блоха .

В лабораторной (стационарной) системе отсчёта

Под действием внешнего поля B вектор намагниченности M релаксирует к равновесной конфигурации, прецессируя вокруг магнитного поля.

Пусть M ( t ) = ( M _x ( t ), My _y ( t ), M _z ( t )) — ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха будут выглядеть так:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

где γ — гиромагнитное отношение , а B ( t ) = ( B _x ( t ), B _y ( t ), B ₀ + Δ B _z (t)) — магнитное поле, испытываемое ядрами. - компонента z магнитного поля B иногда состоит из двух слагаемых:

• единица, B ₀ , постоянна во времени,
• другой, Δ B _z (t), может зависеть от времени. Он присутствует в магнитно-резонансной томографии и помогает в пространственном декодировании сигнала ЯМР.

M ( t ) × B ( t ) является векторным произведением этих двух векторов. M ₀ — стационарная ядерная намагниченность (т.е., например, при t → ∞); это в направлении z .

Физический фон

Без релаксации (то есть как T ₁ , так и T ₂ → ∞) приведенные выше уравнения упрощаются до:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}$

или в векторной записи:

${\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)$

уравнение ларморовской прецессии ядерной намагниченности M во внешнем магнитном поле B. Это

Условия релаксации,

$\left(-{\frac {M_{x}}{T_{2}}},-{\frac {M_{y}}{T_{2}}},-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}\right)$

представляют собой установленный физический процесс поперечной и продольной релаксации ядерной намагниченности M .

Как макроскопические уравнения

Основная статья: Магнитный резонанс (квантовая механика)

Эти уравнения не микроскопичны : они не описывают уравнение движения отдельных ядерных магнитных моментов. Они управляются и описываются законами квантовой механики .

Уравнения Блоха макроскопичны : они описывают уравнения движения макроскопической ядерной намагниченности, которые можно получить суммированием всех ядерных магнитных моментов в образце.

Альтернативные формы

Открытие скобок векторного произведения в уравнениях Блоха приводит к:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{y}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{y}(t)\right)-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{z}(t)B_{x}(t)-M_{x}(t)B_{z}(t)\right)-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma \left(M_{x}(t)B_{y}(t)-M_{y}(t)B_{x}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

Приведенная выше форма еще больше упрощается, если предположить, что

$M_{xy}=M_{x}+iM_{y}{\text{ and }}B_{xy}=B_{x}+iB_{y}\,$

где я знак равно √ -1 . После некоторой алгебры получаем:

${\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}$.

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M_{xy}(t){\overline {B_{xy}(t)}}-{\overline {M_{xy}}}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}}$

где

${\overline {M_{xy}}}=M_{x}-iM_{y}$.

является комплексно-сопряженным M _xy . Действительная и мнимая части M _xy соответствуют M _x и My _y соответственно. M _xy иногда называют поперечной ядерной намагниченностью .

Матричная форма

Уравнения Блоха можно переписать в матрично-векторной записи:

${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)$

Во вращающейся системе отсчета

Во вращающейся системе отсчета легче понять поведение ядерной намагниченности M . Это мотивация:

Решение уравнений Блоха с T ₁ , T ₂ → ∞

Предположим, что:

• при t = 0 поперечная ядерная намагниченность M _xy (0) испытывает постоянное магнитное поле B ( t ) = (0, 0, B ₀ );
• B ₀ является положительным;
• продольных и поперечных релаксаций нет (т. е. Т ₁ и Т ₂ → ∞).

Тогда уравнения Блоха упрощаются до:

${\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}=-i\gamma M_{xy}(t)B_{0}$,

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=0$.

Это два (несвязанных) линейных дифференциальных уравнения . Их решение:

$M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{0}t}$,

$M_{z}(t)=M_{0}={\text{const}}\,$.

Таким образом, поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω ₀ = γ B ₀ по часовой стрелке (это связано с отрицательным знаком в показателе степени).Продольная намагниченность M _z остается постоянной во времени. Именно так поперечная намагниченность выглядит для наблюдателя в лабораторной системе отсчета (то есть для неподвижного наблюдателя ).

M _xy ( t ) переводится в наблюдаемые величины x ₍ t ) и My _t ( M ) следующим образом: Поскольку

$M_{xy}(t)=M_{xy}(0)e^{-i\gamma B_{z0}t}=M_{xy}(0)\left[\cos(\omega _{0}t)-i\sin(\omega _{0}t)\right]$

затем

$M_{x}(t)={\text{Re}}\left(M_{xy}(t)\right)=M_{xy}(0)\cos(\omega _{0}t)$,

$M_{y}(t)={\text{Im}}\left(M_{xy}(t)\right)=-M_{xy}(0)\sin(\omega _{0}t)$,

где Re( z ) и Im( z ) — функции, возвращающие действительную и мнимую часть комплексного числа z . В этом расчете предполагалось, что M _xy (0) – действительное число.

Преобразование во вращающуюся систему отсчета

Таков вывод предыдущего раздела: в постоянном магнитном поле B ₀ вдоль оси z поперечная намагниченность M _xy вращается вокруг этой оси по часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ . Если бы наблюдатель вращался вокруг одной оси по часовой стрелке с угловой частотой Ω, M _xy, ему казалось бы, что он вращается с угловой частотой ω ₀ - Ω. В частности, если бы наблюдатель вращался вокруг одной оси впо часовой стрелке с угловой частотой ω ₀ , поперечная намагниченность M _xy будет казаться ему или ей стационарной.

Математически это можно выразить следующим образом:

• Пусть ( x , y , z ) декартова система координат лабораторной ( или стационарной ) системы отсчета , и
• ( x ′, y ′, z ′) = ( x ′, y ′, z ) — декартова система координат, вращающаяся вокруг оси z лабораторной системы отсчета с угловой частотой Ω. Это называется вращающейся системой отсчета . Физические переменные в этой системе отсчета будут обозначаться штрихом.

Очевидно:

$M_{z}'(t)=M_{z}(t)\,$.

Что такое M _xy ′( t )? Выразив аргумент в начале этого раздела математически:

$M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)\,$.

Уравнение движения поперечной намагниченности во вращающейся системе отсчета

Какое уравнение движения M _xy ′( t )?

${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}={\frac {d\left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)}{dt}}=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)=e^{+i\Omega t}{\frac {dM_{xy}(t)}{dt}}+i\Omega M_{xy}'(t)$

Замените уравнение Блоха в лабораторной системе отсчета:

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=e^{+i\Omega t}\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{xy}(t)}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=\left[-i\gamma \left(M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}(t)e^{+i\Omega t}\right)-{\frac {M_{xy}(t)e^{+i\Omega t}}{T_{2}}}\right]+i\Omega M_{xy}'(t)\\&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)B_{z}(t)-M_{z}(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Но по предположению предыдущего раздела: B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ + Δ B _z ( t ) и M _z ( t ) = M _z ′ ( t ). Подставив в уравнение выше:

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}&=-i\gamma \left(M_{xy}'(t)(B_{0}+\Delta B_{z}(t))-M_{z}'(t)B_{xy}'(t)\right)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=-i\gamma B_{0}M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)+i\Omega M_{xy}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\&=i(\Omega -\omega _{0})M_{xy}'(t)-i\gamma \Delta B_{z}(t)M_{xy}'(t)+i\gamma B_{xy}'(t)M_{z}'(t)-{\frac {M_{xy}'(t)}{T_{2}}}\\\end{aligned}}$

Вот что означают члены в правой части этого уравнения:

• i (Ω - ω ₀ ) M _xy ′( t ) — ларморовский член в системе отсчета, вращающейся с угловой частотой Ω. Обратите внимание, что оно становится нулевым, когда Ω = ω ₀ .
• Член - i γ Δ B _z ( t ) M _xy ′( t ) описывает влияние неоднородности магнитного поля (выраженное Δ B _z ( t )) на поперечную ядерную намагниченность; он используется для объяснения T ₂ ^* . Этот термин также лежит в основе МРТ : он генерируется системой градиентных катушек.
• i γ ′ B _xy ′( t ) M _z ( t ) описывает влияние радиочастотного поля ( фактор B _xy ( t )) на ядерную намагниченность. Пример см. ниже.
• - M _xy ′( t )/ T ₂ описывает потерю когерентности поперечной намагниченности.

Аналогично, уравнение движения M _z во вращающейся системе отсчета имеет вид:

${\frac {dM_{z}'(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}(t)}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}(t)\right)-{\frac {M_{z}-M_{0}}{T_{1}}}$

Независимая от времени форма уравнений во вращающейся системе отсчета

Когда внешнее поле имеет вид:

$B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t$

$B_{y}(t)=-B_{1}\sin \omega t$

$B_{z}(t)=B_{0}$,

Мы определяем:

$\epsilon :=\gamma B_{1}$ и $\Delta :=\gamma B_{0}-\omega$ ,

и получим (в матрично-векторной записи):

${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &-\epsilon \\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\-\epsilon &-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)$

Простые решения

Релаксация поперечной ядерной намагниченности M _xy

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направлении B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• РФ нет, то есть B _xy ' = 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения поперечной ядерной намагниченности M _xy '( t ) упрощается до:

${\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=-{\frac {M_{xy}'}{T_{2}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение есть

$M_{xy}'(t)=M_{xy}'(0)e^{-t/T_{2}}$.

где M _xy '(0) — поперечная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что когда вращающаяся система отсчета вращается точно с ларморовской частотой (в этом и заключается физический смысл сделанного выше предположения Ω = ω ₀ ), вектор поперечной ядерной намагниченности M _xy ( t ) оказывается стационарным.

Релаксация продольной ядерной намагниченности M _z

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направлении B _z ′( t ) = B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• РФ нет, то есть B _xy ' = 0.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .

Тогда во вращающейся системе отсчета уравнение движения продольной ядерной намагниченности M _z ( t ) упрощается до:

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=-{\frac {M_{z}(t)-M_{z,\mathrm {eq} }}{T_{1}}}$

Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и его решение есть

$M_{z}(t)=M_{z,\mathrm {eq} }-[M_{z,\mathrm {eq} }-M_{z}(0)]e^{-t/T_{1}}$

где M _z (0) — продольная ядерная намагниченность во вращающейся системе отсчета в момент времени t = 0. Это начальное условие для дифференциального уравнения.

Радиочастотные импульсы 90 и 180°

Предположим, что:

• Ядерная намагниченность подвергается воздействию постоянного внешнего магнитного поля в z направлении B _z ′( t ) знак равно B _z ( t ) = B ₀ . Таким образом, ω ₀ = γ B ₀ и Δ B _z ( t ) = 0.
• При t РЧ-импульс постоянной амплитуды и частоты ω ₀ = 0 подается . То есть B' _xy ( t ) = B' _xy является постоянным. Длительность этого импульса равна τ.
• Вращающаяся система отсчета вращается с угловой частотой Ω = ω ₀ .
• Т ₁ и Т ₂ → ∞. Практически это означает, что τ ≪ T ₁ и T ₂ .

Тогда для 0 ≤ t ≤ τ:

${\begin{aligned}{\frac {dM_{xy}'(t)}{dt}}=i\gamma B_{xy}'M_{z}(t)\end{aligned}}$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=i{\frac {\gamma }{2}}\left(M'_{xy}(t){\overline {B'_{xy}}}-{\overline {M'_{xy}}}(t)B'_{xy}\right)$

См. также

• Уравнение Блоха-Торри представляет собой обобщение уравнений Блоха, которое включает дополнительные члены, обусловленные переносом намагниченности путем диффузии.

Дальнейшее чтение

• Чарльз Киттель , Введение в физику твердого тела , John Wiley & Sons, 8-е издание (2004 г.), ISBN   978-0-471-41526-8 . Глава 13 посвящена магнитному резонансу.