Магнитный резонанс (квантовая механика)

В квантовой механике магнитный резонанс — это резонансный эффект, который может возникнуть, когда магнитный диполь подвергается воздействию статического магнитного поля и возмущается другим, колеблющимся электромагнитным полем . Благодаря статическому полю диполь может принимать ряд дискретных собственных состояний энергии в зависимости от значения его углового момента (азимутального) квантового числа . Затем колеблющееся поле может заставить диполь переходить между своими энергетическими состояниями с определенной вероятностью и с определенной скоростью. поля Общая вероятность перехода будет зависеть от частоты , а скорость — от его амплитуды . Когда частота этого поля приводит к максимально возможной вероятности перехода между двумя состояниями, достигается магнитный резонанс. В этом случае энергия фотонов, составляющих осциллирующее поле, соответствует разнице энергий между указанными состояниями. Если на диполь воздействовать полем, колеблющимся далеко от резонанса, переход маловероятен. Это аналогично другим резонансным эффектам, например, принудительному гармонический осциллятор . Периодический , а скорость, с которой это происходит , переход между различными состояниями называется циклом Раби называется частотой Раби . Частоту Раби не следует путать с собственной частотой поля. Поскольку многие виды атомных ядер могут вести себя как магнитный диполь, этот метод резонанса является основой ядерного магнитного резонанса , включая ядерную магнитно-резонансную томографию и спектроскопию ядерного магнитного резонанса .

Квантово-механическое объяснение

В качестве магнитного диполя, используя спин ${\tfrac {1}{2}}$ такая система, как протон; в соответствии с квантовомеханическим состоянием системы, обозначаемым $|\Psi (t)\rangle$, возникший под действием унитарного оператора $e^{-i{{\hat {H}}t}/\hbar }$; результат подчиняется уравнению Шрёдингера :

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$

Состояния с определенной энергией развиваются во времени с фазой $e^{-iEt/\hbar }$, ( $|\Psi (t)\rangle =|\Psi (0)\rangle e^{-iEt/\hbar }$) где E – энергия состояния, так как вероятность нахождения системы в состоянии $|\langle x|\Psi (t)\rangle |^{2}$ = $|\langle x|\Psi (0)\rangle |^{2}$ не зависит от времени. Такие состояния называются стационарными состояниями , поэтому, если система подготовлена ​​в стационарном состоянии (т. е. в одном из собственных состояний гамильтонового оператора ), то P ( t ) = 1, т. е. она остается в этом состоянии неопределенно долго. Это справедливо только для изолированных систем. Когда система, находящаяся в стационарном состоянии, возмущается, ее состояние меняется, поэтому оно больше не является собственным состоянием полного гамильтониана системы. То же самое явление происходит в магнитном резонансе для спина ${\tfrac {1}{2}}$ система в магнитном поле.

Гамильтониан магнитного диполя $\mathbf {m}$ (связанный со вращением ${\tfrac {1}{2}}$ частица) в магнитном поле $\mathbf {B_{0}} =B_{0}{\hat {z}}$ является:

${\hat {H}}=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B_{0}} =-{\tfrac {\hbar }{2}}\gamma \sigma _{z}B_{0}=-{\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Здесь $\omega _{0}:=\gamma B_{0}$ – частота ларморовской прецессии диполя для $\mathbf {B_{0}}$ магнитное поле и $\sigma _{z}$ это z матрица Паули . Таким образом, собственные значения ${\hat {H}}$ являются $-{\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}$ и ${\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}$. Если система возмущена слабым магнитным полем $\mathbf {B_{1}}$, вращающийся против часовой стрелки в плоскости xy (нормально к $\mathbf {B_{0}}$) с угловой частотой $\omega$, так что $\mathbf {B_{1}} ={\hat {i}}B_{1}\cos {\omega t}-{\hat {j}}B_{1}\sin {\omega t}$ , затем ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ не являются собственными состояниями гамильтониана, который преобразуется в

${\hat {H}}=\gamma {\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}e^{i\omega t}\\B_{1}e^{-i\omega t}&-B_{0}\end{pmatrix}}.$

Неудобно иметь дело с гамильтонианом, зависящим от времени. Сделать ${\hat {H}}$ независимая от времени требует новой системы отсчета, вращающейся с $\mathbf {B_{1}}$, т.е. оператор вращения ${\hat {R}}(t)$ на $|\Psi (t)\rangle$, что равнозначно изменению базиса в гильбертовом пространстве . Используя это в уравнении Шредингера, гамильтониан становится:

${\hat {H^{\prime }}}={\hat {R}}(t){\hat {H}}{\hat {R}}(t)^{\dagger }+{\tfrac {\hbar }{2}}\omega \sigma _{z}$

Письмо ${\hat {R}}(t)$ в основе $\sigma _{z}$ как-

${\hat {R}}(t)={\begin{pmatrix}e^{-i{\omega }t/2}&0\\0&e^{i{\omega }t/2}\end{pmatrix}}$

Используя эту форму гамильтониана, новый базис находится :

График амплитуды вероятности переворота спина при резонансе

График амплитуды вероятности спин-флипа в отсутствие резонанса

${\hat {H^{\prime }}}={\tfrac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}\Delta \omega &-\omega _{1}\\-\omega _{1}&-\Delta \omega \end{pmatrix}}$ где $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ и $\omega _{1}=\gamma B_{1}$

Этот гамильтониан в точности подобен гамильтониану двухсостоянной системы с невозмущенными энергиями. ${\tfrac {\hbar }{2}}\Delta \omega$ и $-{\tfrac {\hbar }{2}}\Delta \omega$ с возмущением, выражаемым ${\tfrac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-\omega _{1}\\-\omega _{1}&0\end{pmatrix}}$; Согласно осцилляции Раби , начиная с ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ состояние, диполь параллельно $\mathbf {B_{0}}$ с энергией $-{\tfrac {\hbar }{2}}\omega _{0}$, вероятность того, что он перейдет в ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ состояние (т.е. оно перевернется)

$P_{12}={\frac {|\omega _{1}^{2}|}{|\Delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}|}}\sin ^{2}[{\sqrt {\omega _{1}^{2}+\Delta \omega ^{2}}}t/2]$

Теперь рассмотрим $\omega =\omega _{0}$, то есть $\mathbf {B_{1}}$ поле колеблется с той же скоростью, с которой диполь подвергается воздействию $\mathbf {B_{0}}$ поле делает. Это случай резонанса . Тогда в определенные моменты времени, а именно $t={\frac {(2n+1)\pi }{\sqrt {\omega _{1}^{2}+\Delta \omega ^{2}}}}$, диполь перевернется и перейдет в другое собственное энергетическое состояние. ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ со 100% вероятностью. Когда $\omega \not =\omega _{0}$, вероятность изменения энергетического состояния мала. Поэтому условие резонанса можно использовать, например, для измерения магнитного момента диполя или магнитного поля в точке пространства.

Особый случай для показа приложений

Особый случай возникает, когда система колеблется между двумя нестабильными уровнями, имеющими одинаковое время жизни. $\tau$. Если атомы возбуждаются в первое состояние с постоянной, скажем, n/времени, некоторые из них распадаются, а остальные имеют вероятность $P_{12}$ для перехода во второе состояние, поэтому за интервал времени между t и ( t + dt ) количество атомов, которые перепрыгивают во второе состояние из первого, равно $n(1-e^{-t/\tau })P_{12}dt$, поэтому в момент времени t количество атомов во втором состоянии равно

График скорости затухания с изменением однородного магнитного поля $B_{0}$

График полуширины кривой Лоренца с изменением $B_{1}$

$dN=n.e^{-t/\tau }.(1-e^{-t/\tau })P_{12}dt$

= $n.e^{-t/\tau }.P_{12}dt$

Скорость распада из состояния два зависит от количества атомов, собранных в этом состоянии из всех предыдущих интервалов, поэтому количество атомов в состоянии 2 равно ${\textstyle \int _{-\infty }^{0}ne^{-t/\tau }P_{12}\ dt}$; Скорость распада атомов из второго состояния пропорциональна количеству атомов, находящихся в этом состоянии, а константа пропорциональности является константой распада. $\lambda$ . Проведя интегрирование скорости распада атомов из состояния два, получим как:

$(n/2)\omega ^{2}/(\delta \omega ^{2}+\omega _{1}^{2}+1/\tau ^{2})$

Из этого выражения можно извлечь много интересных моментов, например

• Переменное однородное магнитное поле $B_{0}$ так что $\omega _{0}$ в $\delta \omega$ создает кривую Лоренца (см. Распределение Коши – Лоренца ), обнаруживая пик этой кривой, абсцисса дает ее $\omega _{0}$, так что сейчас $\omega$ (угловая частота вращения $\mathbf {B} _{1}$ = $\gamma$ $(B_{0})_{\text{max}}$, поэтому по известному значению $\omega$ и $(B_{0})_{\text{max}}$, гиромагнитное отношение $\gamma$ диполя можно измерить; с помощью этого метода мы можем измерить ядерный спин , при котором все электронные спины сбалансированы. Правильное измерение ядерного магнитного момента помогает понять характер ядерной силы.
• Если $\gamma$ известно, варьируя $\omega$, значение $B_{0}$ можно получить. Этот метод измерения достаточно точен для использования в чувствительных магнитометрах. Используя этот метод, можно получить величину магнитного поля, действующего на конкретный узел решетки со стороны его окружения внутри кристалла.
• Измерив полуширину кривой, d = ${\sqrt {\omega _{1}^{2}+1/\tau ^{2}}}$, для нескольких значений $\omega _{1}$ (т.е. из $B_{1}$), мы можем построить график зависимости d от $\omega _{1}$, и экстраполировав эту линию на $\omega _{1}$, время жизни нестабильных состояний можно получить из перехвата.

метод Лави

Смотрите также: эксперимент Штерна-Герлаха.

Аппарат, предложенный и использованный Лави

Существование спинового углового момента электронов было обнаружено экспериментально экспериментом Штерна-Герлаха . В этой работе пучок нейтральных атомов с одним электроном в валентной оболочке , не несущих орбитального момента (с точки зрения квантовой механики), пропускался через неоднородное магнитное поле. Этот процесс не был приблизительным из-за небольшого угла отклонения, что приводило к значительной неопределенности в измеренном значении расщепленного луча.

Метод Лави был лучше, чем метод Штерна-Герлаха. Как показано на рисунке, источник излучает пучок нейтральных атомов, имеющих спиновый угловой момент $\hbar /2$. Луч проходит через серию из трех выровненных магнитов. Магнит 1 создает неоднородное магнитное поле с высоким градиентом. ${\frac {\partial B}{\partial z}}$ (как в случае Штерна – Герлаха), поэтому атомы, имеющие спин «вверх» (с $S_{z}=\hbar /2$) будет отклоняться вниз (путь 1), т.е. в область меньшего магнитного поля B, чтобы минимизировать энергию. Атомы со спином «вниз» $S_{z}=-\hbar /2$) аналогично отклонится вверх (путь 2). Лучи проходят через щель 1, чтобы уменьшить любое воздействие источника за ее пределами. Магнит 2 создает однородное магнитное поле только в вертикальном направлении, не применяя никакой силы к атомному пучку, а магнит 3 фактически является перевернутым магнитом 1. В области между полюсами магнита 3 атомы, имеющие спин «вверх», получают толчок вверх, и атомы имеющие вращение «вниз» ощущают толчок вниз, поэтому их путь остается 1 и 2 соответственно. Эти лучи проходят через вторую щель S2, достигают детектора и детектируются.

Если горизонтальное вращающееся поле $B_{1}$, угловая частота вращения $\omega _{1}$ применяется в области между полюсами магнита 2, создаваемого колебательным током в круговых катушках, тогда существует вероятность перехода атомов через нее из одного спинового состояния в другое ( $S_{z}=+\hbar /2->-\hbar /2$ и наоборот), когда $\omega _{1}$ = $\omega _{p}$, Ларморова частота прецессии магнитного момента в B. Атомы, которые переходят от вращения «вверх» к направлению «вниз», будут испытывать направленную вниз силу при прохождении через магнит 3 и будут следовать по пути 1'. Точно так же атомы, спин которых меняется с «нисходящего» на «восходящий», будут следовать по пути 2', и эти атомы не достигнут детектора, что приведет к минимуму счетчика детекторов. Если угловая частота $\omega _{1}$ из $B_{1}$ изменяется непрерывно, то будет получен минимум тока детектора (когда $\omega _{1}$ = $\omega _{p}$). Из этого известного значения $\omega _{1}$( $=geB/{2\hbar }$, где g — это « Ланде g -фактор »), получается «g-фактор Ланде», который позволит получить правильное значение магнитного момента $\mu ~(=gq\hbar /{4m})$. Этот эксперимент, проведенный Исидором Исааком Раби, более чувствителен и точен по сравнению с экспериментом Штерна-Герлаха.

Соответствие между классическими и квантовомеханическими объяснениями

Смотрите также: Ядерный_магнитный резонанс § Теория ядерного магнитного резонанса

См. Также: уравнения Блоха.

Спиновый угловой момент позволяет объяснить явления магнитного резонанса с помощью классической физики. Если смотреть из системы отсчета, прикрепленной к вращающемуся полю, кажется, что магнитный диполь прецессирует вокруг чистого магнитного поля. $(\Delta \omega {\hat {z}}-\omega _{1}{\hat {X}})/\gamma$, где ${\hat {z}}$ - единичный вектор вдоль однородного магнитного поля $B_{0}$ и ${\hat {X}}$одинаково в направлении вращающегося поля $B_{1}$ и $\delta \omega =\omega -\omega _{0}$.

показывать Доказательство классического выражения прецессии.

Pictorial representation of classical Larmor precession Classical electrodynamics tells us that torque on a magnetic dipole of moment $\mathbf {m}$ is $\mathbf {m} \times \mathbf {B}$, so its equation of motion is ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {m} \times \mathbf {B}$, (where $\mathbf {L}$ is the angular momentum associated with dipole) so – ${\frac {d\mathbf {m} }{dt}}=\gamma \mathbf {m} \times \mathbf {B}$ For the case under consideration the dipole is under the action of magnetic field $\mathbf {B}$ and $\mathbf {B} _{1}$, hence ${\frac {d\mathbf {m} }{dt}}=\gamma \mathbf {m} \times \mathbf {B} +\mathbf {B} _{1}$ It is easier to solve it by transforming co-ordinate system to OXYZ in which $\mathbf {B} _{1}$ becomes OX axis, in that frame – ${\frac {d\mathbf {m} '}{dt}}={\frac {d\mathbf {m} }{dt}}+\mathbf {m} \times {\boldsymbol {\omega }}$ here ${\boldsymbol {\omega }}=\omega {\hat {z}}.$ Using $\omega _{0}=\gamma B$ and $\omega _{1}=\gamma B_{1}$, one can see that – ${\frac {d\mathbf {m} '}{dt}}=\mathbf {m} \times ({\boldsymbol {\omega }}_{0}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}-{\boldsymbol {\omega }})=\mathbf {m} \times (\Delta {\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}_{1})$ so, here effective field becomes :$\mathbf {B} _{\rm {effective}}=\Delta {\boldsymbol {\omega }}-{\boldsymbol {\omega _{1}}}=\Delta \omega {\hat {z}}-\omega _{1}{\hat {X}}$

Итак, когда $\omega =\omega _{0}$, высокая амплитуда прецессии позволяет полностью перевернуть магнитный момент. Классические и квантово-механические предсказания хорошо согласуются, что можно рассматривать как пример принципа соответствия Бора , который гласит, что квантово-механические явления, предсказанные в классическом режиме, должны соответствовать классическому результату. Происхождение этого соответствия состоит в том, что эволюция ожидаемого значения магнитного момента идентична той, которая получена с помощью классических рассуждений. Ожидаемое значение магнитного момента равно $\langle \mathbf {m} \rangle =\gamma \langle \mathbf {S} \rangle$. Временная эволюция $\langle \mathbf {m} \rangle$ дается

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {m} \rangle =\langle [\mathbf {m} ,{\hat {H}}]\rangle$

${\hat {H}}=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} (t)$

так, $[m_{i},{\hat {H}}]=[m_{i},-m_{j}B_{j}]=[\gamma \mathbf {S} _{i},-\gamma \mathbf {S} _{j}\mathbf {B} _{j}]=-\gamma ^{2}[\mathbf {S} _{i},\mathbf {S} _{j}\mathbf {B} _{j}]=-\gamma ^{2}i\hbar [{\mathbf {S} _{k}\mathbf {B} _{j}-\mathbf {S} _{j}\mathbf {B} _{k}}],(i\neq j,k)$

Так, $[m_{i},{\hat {H}}]=i\hbar \gamma [\mathbf {B} _{j}\mathbf {m} _{k}-\mathbf {B} _{k}\mathbf {m} _{j}]$ и

${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {m} (t)\rangle =\gamma \langle \mathbf {m} (t)\rangle \times \langle \mathbf {B} (t)\rangle$

которое выглядит точно так же, как уравнение движения магнитного момента $\mathbf {m}$ в классической механике –

${\frac {d}{dt}}\mathbf {m} (t)=\gamma \mathbf {m} (t)\times \mathbf {B} (t)$

Эта аналогия в математическом уравнении эволюции магнитного момента и его ожидаемом значении облегчает понимание явлений без знаний квантовой механики.

Магнитно-резонансная томография

См. Также: Магнитно-резонансная томография.

В магнитно-резонансной томографии (МРТ) используется спиновый угловой момент протона. Наиболее доступным источником протонов в организме человека являются атомы водорода в воде. Сильное магнитное поле $B$ применение к воде вызывает появление двух разных уровней энергии для спинового углового момента, $+\gamma \hbar B/2$ и $-\gamma \hbar B/2$, с использованием $E=-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B}$.

Согласно распределению Больцмана , так как число систем, имеющих энергию $E$ из $N_{0}$ при температуре $T$ является $N_{0}e^{-E/kT}$ (где $k$ – постоянная Больцмана ), нижний энергетический уровень, связанный со спином $\hbar /2$, более населен, чем другой. При наличии вращающегося магнитного поля больше протонов вылетает из $S_{z}=+\hbar /2$ к $S_{z}=-\hbar /2$ чем наоборот, вызывая поглощение микроволнового или радиоволнового излучения (от вращающегося поля). Когда поле снимается, протоны стремятся восстановить равновесие по распределению Больцмана, поэтому некоторые из них переходят с более высоких энергетических уровней на более низкие, испуская микроволновое или радиоволновое излучение на определенных частотах.

Вместо ядерного спина в ЭПР ( электронном парамагнитном резонансе ) с целью обнаружения свободных радикалов и т. д. используется спиновый угловой момент неспаренных электронов.

Магнитный резонанс как квантовое явление

Явление магнитного резонанса коренится в существовании спинового углового момента квантовой системы и его специфической ориентации относительно приложенного магнитного поля. Оба случая не имеют объяснения в классическом подходе и могут быть поняты только с помощью квантовой механики. Некоторые люди утверждают что чисто квантовые явления – это те, которые не могут быть объяснены классическим подходом. Например, явления в микроскопической области, которые можно в некоторой степени описать классической аналогией, на самом деле не являются квантовыми явлениями. Поскольку основные элементы магнитного резонанса не имеют классического происхождения, хотя аналогию можно провести с классической ларморовской прецессией , МР следует рассматривать как квантовое явление.

См. также

• Ядерный магнитный резонанс
• Магнитно-резонансная томография
• Уравнения Блоха
• Физика магнитно-резонансной томографии

Ссылки

• Фейнман, Лейтон, Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, том 3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Коэн-Таннуджи Клод. Квантовая механика . Вайли-ВЧ.
• Гриффитс Дэвид Дж. Введение в квантовую механику . Пирсон Эдьюкейшн, Инк.