Цикл Раби

Осцилляции Раби, показывающие вероятность существования двухуровневой системы изначально в $|1\rangle$ оказаться в $|2\rangle$ при разных отстройках ∆.

В физике цикл Раби (или флоп Раби ) — это циклическое поведение двухуровневой квантовой системы в присутствии осциллирующего движущего поля. Большое разнообразие физических процессов, принадлежащих к областям квантовых вычислений , конденсированного состояния ядра и , атомной и молекулярной физики, а также физики элементарных частиц, можно удобно изучать с точки зрения двухуровневых квантово-механических систем и демонстрировать провал Раби при соединении с оптическими системами. поле для вождения. Эффект важен в квантовой оптике , магнитном резонансе и квантовых вычислениях и назван в честь Исидора Исаака Раби .

Двухуровневая система — это система, которая имеет два возможных энергетических уровня. Эти два уровня представляют собой основное состояние с более низкой энергией и возбужденное состояние с более высокой энергией. Если энергетические уровни не вырождены (т.е. не имеют равных энергий), система может поглотить квант энергии и перейти из основного состояния в «возбужденное» состояние. Когда атом (или какая-либо другая двухуровневая система ) освещается когерентным пучком фотонов , он циклически поглощает фотоны и переизлучает их путем вынужденного излучения . Один из таких циклов называется циклом Раби, а его длительность обратна частоте Раби системы. Эффект можно смоделировать с помощью модели Джейнса – Каммингса и векторного формализма Блоха .

Математическое описание

Подробное математическое описание эффекта можно найти на странице задачи Раби . Например, для атома с двумя состояниями (атома, в котором электрон может находиться либо в возбужденном, либо в основном состоянии) в электромагнитном поле с частотой, настроенной на энергию возбуждения, находится вероятность обнаружить атом в возбужденном состоянии: из уравнений Блоха быть

$|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2),$

где $\omega$ – частота Раби.

В более общем смысле можно рассмотреть систему, в которой два рассматриваемых уровня не являются собственными энергетическими состояниями . Следовательно, если система инициализируется на одном из этих уровней, временная эволюция заставит население каждого из уровней колебаться с некоторой характерной частотой, угловая частота которой также известна как частота Раби. Состояние квантовой системы с двумя состояниями можно представить как векторы двумерного комплексного гильбертова пространства , что означает, что каждый вектор состояния $|\psi \rangle$ представляется комплексными координатами:

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},$

где $c_{1}$ и $c_{2}$ это координаты.

Если векторы нормированы, $c_{1}$ и $c_{2}$ связаны $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$. Базисные векторы будут представлены в виде $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ и $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

Все наблюдаемые физические величины, связанные с этой системой, являются эрмитовыми матрицами размера 2×2 , а это означает, что гамильтониан системы также является подобной матрицей.

Процедура

эксперимент можно, Построить колебательный выполнив следующие шаги:

1. Подготовьте систему в фиксированном состоянии; например, $|1\rangle$
2. Пусть состояние развивается свободно под действием гамильтониана H за время t
3. Найдите вероятность $P(t)$, что государство находится в $|1\rangle$

Если $|1\rangle$ является собственным состоянием H, $P(t)=1$ и колебаний не будет. Также, если два государства $|0\rangle$ и $|1\rangle$ вырождаются, каждое государство, включая $|1\rangle$ является собственным состоянием H. В результате колебаний не будет.

С другой стороны, если H не имеет вырожденных собственных состояний и начальное состояние не является собственным, то колебания будут. Приведен наиболее общий вид гамильтониана двухсостоятельной системы.

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$

здесь, $a_{0},a_{1},a_{2}$ и $a_{3}$ являются действительными числами. Эту матрицу можно разложить как:

$\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};$

Матрица $\sigma _{0}$ это 2 $\times$ 2 единичная матрица и матрицы $\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$ — матрицы Паули . Такое разложение упрощает анализ системы, особенно в независимом от времени случае, когда значения $a_{0},a_{1},a_{2}$ и $a_{3}$являются константами. Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле. $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$. Гамильтониан взаимодействия для этой системы имеет вид

$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$, $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

где $\mu$ частицы — величина магнитного момента , $\gamma$ - гиромагнитное отношение и ${\boldsymbol {\sigma }}$ — вектор матриц Паули . Здесь собственные состояния гамильтониана являются собственными состояниями $\sigma _{3}$, то есть $|0\rangle$ и $|1\rangle$, с соответствующими собственными значениями $E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\ ,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$. Вероятность того, что система в состоянии $|\psi \rangle$ можно найти в произвольном состоянии $|\phi \rangle$ дается ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$.

Пусть система подготовлена ​​в состоянии $\left|+X\right\rangle$ во время $t=0$. Обратите внимание, что $\left|+X\right\rangle$ является собственным состоянием $\sigma _{1}$:

$|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

Здесь гамильтониан не зависит от времени. Таким образом, решая стационарное уравнение Шредингера, состояние после времени t определяется выражением $$\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle ,$$ с полной энергией системы $E$. Таким образом, состояние после времени t определяется формулой:

$|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$.

Теперь предположим, что вращение измеряется в направлении x в момент времени t. Вероятность обнаружения раскрутки определяется выражением: $${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),$$где $\omega$ - характеристическая угловая частота, определяемая выражением $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{\hbar }}=\gamma B$, где предполагалось, что $E_{-}\leq E_{+}$. Таким образом, в этом случае вероятность обнаружения раскрутки в направлении x колеблется во времени. $t$ когда спин системы изначально находится в $\left|+X\right\rangle$ направление. Аналогично, если мы измерим спин в $\left|+Z\right\rangle$-направление, вероятность измерения спина как ${\tfrac {\hbar }{2}}$ системы является ${\tfrac {1}{2}}$. В вырожденном случае, когда $E_{+}=E_{-}$, характеристическая частота равна 0 и колебаний нет.

Обратите внимание: если система находится в собственном состоянии данного гамильтониана , она остается в этом состоянии.

Это верно даже для гамильтонианов, зависящих от времени. Взяв для примера ${\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)}$; если начальное состояние спина системы $\left|+Y\right\rangle$, то вероятность того, что измерение спина в направлении y приведет к $+{\tfrac {\hbar }{2}}$ во время $t$ является ${\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)}$.

showПример колебаний Раби между двумя состояниями в ионизированной молекуле водорода.

An ionized hydrogen molecule is composed of two protons $P_{1}$ and $P_{2}$, and one electron. Because of their large masses, the two protons can be considered to be fixed. Let R be the distance between them and the $|1\rangle$ and $|2\rangle$ states where the electron is localised around $P_{1}$ or $P_{2}$. Assume, at a certain time, the electron is localised about proton $P_{1}$. According to the results from the previous section, we know that the electron will oscillate between the two protons with a frequency equal to the Bohr frequency associated with the two stationary states $|E_{+}\rangle$ and $|E_{-}\rangle$ of the molecule. This oscillation of the electron between the two states corresponds to an oscillation of themean value of the electric dipole moment of the molecule. Thus when the molecule is not in a stationary state, an oscillating electric dipole moment can appear.Such an oscillating dipole moment can exchange energy with an electromagnetic wave of same frequency. Consequently, this frequency must appear in the absorption and emission spectrum of the ionized hydrogen molecule.

Вывод с использованием непертурбативной процедуры с помощью матриц Паули.

Рассмотрим гамильтониан вида $${\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.$$Собственные значения этой матрицы имеют вид $${\begin{aligned}\lambda _{+}&=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\\\lambda _{-}&=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}},\end{aligned}}$$где $\mathbf {W} =W_{1}+iW_{2}$ и ${\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}$, поэтому мы можем взять $\mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{i\phi }$.

Теперь собственные векторы для $E_{+}$ можно найти из уравнения $${\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$$Так $$b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}.$$Применяя условие нормировки к собственным векторам, ${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1$. Так $${\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1.$$Позволять $\sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$ и $\cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}$. Так $\tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}$.

Итак, мы получаем ${\textstyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1}$. То есть ${\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)$, используя тождество ${\textstyle \tan({\tfrac {\theta }{2}})={\tfrac {1-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}$.

Этап ${\textstyle a}$ относительно ${\textstyle b}$ должно быть ${\textstyle -\phi }$.

Выбор ${\textstyle a}$ если быть реальным, собственный вектор собственного значения $E_{+}$ дается $$\left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .$$Аналогично, собственный вектор собственной энергии ${\textstyle E_{-}}$ является $$\left|E_{-}\right\rangle =\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{i\phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle .$$Из этих двух уравнений мы можем написать $${\begin{aligned}\left|0\right\rangle &=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle \\\left|1\right\rangle &=e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .\end{aligned}}$$Предположим, что система запускается в состоянии $|0\rangle$ во время ${\textstyle t=0}$; то есть, $$\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle .$$Для независимого от времени гамильтониана после времени t состояние развивается как $$\left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle .$$Если система находится в одном из собственных состояний $|E_{+}\rangle$ или $|E_{-}\rangle$, оно останется в том же состоянии. Однако для гамильтониана, зависящего от времени, и общего начального состояния, как показано выше, эволюция во времени нетривиальна. Полученная формула для осцилляций Раби действительна, поскольку состояние спина можно рассматривать в системе отсчета, которая вращается вместе с полем.

Амплитуда вероятности нахождения системы в момент времени t в состоянии $|1\rangle$ дается ${\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right)}$.

Теперь вероятность того, что система в состоянии $|\psi (t)\rangle$ окажется в состоянии ${\textstyle |1\rangle }$ дается $${\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}$$Это можно упростить до

$$P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{\Delta ^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$$ ( 1 )

Это показывает, что существует конечная вероятность найти систему в состоянии $|1\rangle$ когда система изначально находится в состоянии $|0\rangle$. Вероятность колеблется с угловой частотой $\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}$, что представляет собой просто уникальную частоту Бора системы, также называемую частотой Раби . Формула ( 1 ) известна как формула Раби . Теперь по истечении времени t вероятность того, что система в состоянии $|0\rangle$ дается ${|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)$, который также является колебательным.

Эти типы колебаний двухуровневых систем называются осцилляциями Раби, которые возникают во многих задачах, таких как осцилляции нейтрино , ионизированная молекула водорода , квантовые вычисления , мазер аммиака и т. д.

В квантовых вычислениях

можно использовать любую квантовую систему с двумя состояниями Для моделирования кубита . Рассмотрим вращение - ${\tfrac {1}{2}}$ система с магнитным моментом ${\boldsymbol {\mu }}$ помещенный в классическое магнитное поле ${\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)$. Позволять $\gamma$ — гиромагнитное отношение системы. Таким образом, магнитный момент ${\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}$. Тогда гамильтониан этой системы будет иметь вид $\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)$ где $\omega _{0}=\gamma B_{0}$ и $\omega _{1}=\gamma B_{1}$. можно найти Собственные значения и собственные векторы этого гамильтониана с помощью указанной выше процедуры. Теперь пусть кубит находится в состоянии $|0\rangle$ во время $t=0$. Затем, во время $t$, вероятность его нахождения в состоянии $|1\rangle$ дается $P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)$ где $\Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}$. Это явление называется осцилляциями Раби. Таким образом, кубит колеблется между $|0\rangle$ и $|1\rangle$ государства. Максимальная амплитуда колебаний достигается при $\omega =\omega _{0}$, что является условием резонанса . При резонансе вероятность перехода определяется выражением $P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)$. Уйти из штата $|0\rangle$ заявить $|1\rangle$ достаточно отрегулировать время $t$ в течение которого вращающееся поле действует так, что ${\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$ или $t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}$. Это называется $\pi$ пульс. Если время, промежуточное между 0 и ${\frac {\pi }{\omega _{1}}}$ выбрано, мы получаем суперпозицию $|0\rangle$ и $|1\rangle$. В частности для $t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}$, у нас есть ${\frac {\pi }{2}}$ импульс, который действует как: $|0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}$. Эта операция имеет решающее значение в квантовых вычислениях. Уравнения по существу идентичны в случае двухуровневого атома в поле лазера, когда в целом хорошо удовлетворяется приближение вращающейся волны. Затем $\hbar \omega _{0}$ это разница энергий между двумя атомными уровнями, $\omega$ частота лазерной волны и частота Раби $\omega _{1}$ пропорционален произведению переходного электрического дипольного момента атома ${\vec {d}}$ и электрическое поле ${\vec {E}}$ лазерной волны, которая $\omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$. Подводя итог, можно сказать, что осцилляции Раби — это основной процесс, используемый для манипулирования кубитами. Эти колебания получаются путем воздействия на кубиты периодических электрических или магнитных полей в течение специально подобранных интервалов времени.

См. также

• Атомная когерентность
• сфера Блоха
• Лазерная накачка
• Оптическая накачка
• Проблема Раби
• Вакуумные колебания Раби
• Колебания нейтральных частиц

Ссылки

• Квантовая механика , том 1, К. Коэн-Таннуджи, Бернард Диу, Фрэнк Лало, ISBN   9780471164333
• Краткое введение в квантовую информацию и квантовые вычисления Мишеля Ле Беллака, ISBN   978-0521860567
• Фейнмановские лекции по физике, том III
• «Современный подход к квантовой механике» , Джон С. Таунсенд, ISBN   9788130913148