Вакуумные колебания Раби

Вакуумные колебания Раби — это затухающие колебания первоначально возбужденного атома , связанного с электромагнитным резонатором или полостью, в которых атом попеременно излучает фотон (ы) в одномодовую электромагнитную полость и репоглощает их. Атом взаимодействует с одномодовым полем, ограниченным ограниченным объемом V оптического резонатора. Спонтанное излучение является следствием связи атома с вакуумными флуктуациями поля полости.

Математическая обработка

Математическое описание вакуумных осцилляций Раби начинается с модели Джейнса-Каммингса , которая описывает взаимодействие одной моды квантованного поля и двухуровневой системы внутри оптического резонатора . Гамильтониан этой модели в приближении вращающейся волны имеет вид

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)$

где ${\hat {\sigma _{z}}}$ - оператор спина Паули для двух собственных состояний $|e\rangle$ и $|g\rangle$ изолированной двухуровневой системы, разделенной по энергии на $\hbar \omega _{0}$; ${\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|$ и ${\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|$ – операторы подъема и опускания двухуровневой системы; ${\hat {a}}^{\dagger }$ и ${\hat {a}}$ являются операторами рождения и уничтожения фотонов энергии $\hbar \omega$ в режиме полости; и

$g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}}$

- сила связи между дипольным моментом $\mathbf {d}$ двухуровневой системы и режима полости с объемом $V$ и электрическое поле, поляризованное вдоль ${\hat {\mathcal {E}}}$. Собственные значения энергии и собственные состояния для этой модели:

$E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }$

$|n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle$

$|n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle$

где $\delta =\omega _{0}-\omega$ это расстройка и угол $\theta _{n}$ определяется как

$\theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).$

Учитывая собственные состояния системы, оператор эволюции во времени можно записать в виде

${\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g,0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}.$

Если система запускается в состоянии $|g,n+1\rangle$, где атом находится в основном состоянии двухуровневой системы и существуют $n+1$ фотонов в режиме резонатора, применение оператора временной эволюции дает

${\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}.$

Вероятность того, что двухуровневая система находится в возбужденном состоянии $|e,n\rangle$ как функция времени $t$ тогда

${\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}$

где $\Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}$ идентифицируется как частота Раби . Для случая отсутствия электрического поля в резонаторе, т. е. число фотонов $n$ равна нулю, частота Раби становится $\Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}$. Тогда вероятность того, что двухуровневая система перейдет из основного состояния в возбужденное состояние, как функция времени $t$ является

$P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}$

Для резонатора, который допускает одну моду, идеально резонансную с разностью энергий между двумя уровнями энергии, расстройка $\delta$ исчезает, и $P_{e}(t)$ становится синусоидой квадрата с единичной амплитудой и периодом ${\frac {2\pi }{g}}.$

Обобщение на N атомов

Ситуация, в которой $N$ наличие двухуровневой системы в одномодовом резонаторе описывается моделью Тэвиса – Каммингса , который имеет гамильтониан

${\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\sum _{j=1}^{N}{\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{j}^{z}}{2}}+\hbar g_{j}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{j}^{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{j}^{-}\right)}.$

В предположении, что все двухуровневые системы имеют одинаковую индивидуальную силу связи $g$ с полем ансамбль в целом будет иметь повышенную силу связи $g_{N}=g{\sqrt {N}}$. В результате вакуумное расщепление Раби соответственно увеличивается в раз. ${\sqrt {N}}$.

См. также

• Модель Джейнса – Каммингса
• Квантовая флуктуация
• Цикл Раби
• Частота Раби
• Проблема Раби
• Спонтанное излучение
• Исидор Исаак Раби