Гиромагнитное соотношение

В физике гиромагнитное отношение (также иногда известное как магнитогирическое отношение) ^[1] в других дисциплинах) частицы или системы — это отношение ее магнитного момента к ее угловому моменту , и его часто обозначают символом $γ$ , гамма. Его СИ единица — радиан в секунду на теслу (рад⋅с ⁻¹⋅T ⁻¹) или, что то же самое, кулон на килограмм (C⋅kg ⁻¹).

Часто используется термин «гиромагнитное отношение». ^[2] как синоним другой , но тесно связанной величины — $g$ -фактора . - фактор $G$ отличается от гиромагнитного отношения только тем, что он безразмерный .

Для классического вращающегося тела [ править ]

Рассмотрим непроводящее заряженное тело, вращающееся вокруг оси симметрии. По законам классической физики он обладает как магнитным дипольным моментом, обусловленным движением заряда, так и угловым моментом, обусловленным движением массы, возникающим в результате его вращения. Можно показать, что до тех пор, пока его заряд, массовая плотность и поток ^{[ нужны разъяснения ]} распределены одинаково и вращательно-симметрично, его гиромагнитное отношение равно

\gamma ={\frac {q}{2m}}

где ${q}$ это его заряд и ${m}$ это его масса.

Вывод этого соотношения заключается в следующем. Достаточно продемонстрировать это для бесконечно узкого кругового кольца внутри тела, поскольку тогда общий результат следует из интегрирования . Предположим, кольцо имеет радиус $r$ , площадь $A = πr. 2$ , масса $m$ , заряд $q$ и угловой момент $L = mvr$ . Тогда величина магнитного дипольного момента равна

\mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.

Для изолированного электрона [ править ]

Изолированный электрон обладает угловым моментом и магнитным моментом, обусловленным его вращением . Хотя вращение электрона иногда визуализируется как буквальное вращение вокруг оси, его нельзя отнести к массе, распределенной идентично заряду. электрона $Приведенное выше классическое соотношение не выполняется, что дает неправильный результат по абсолютному значению g$ -фактора , который обозначается $g e$ : $\gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,$ где $µ B$ — магнетон Бора .

Гиромагнитное отношение, обусловленное спином электрона, в два раза больше, чем из-за вращения электрона по орбите.

В рамках релятивистской квантовой механики $g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,$ где $\alpha$ – константа тонкой структуры . Здесь небольшие поправки к релятивистскому результату $g = 2$ происходят из квантово-полевых расчетов аномального магнитного дипольного момента . -фактор электрона $g$ известен с точностью до двенадцати десятичных знаков путем измерения магнитного момента электрона в одноэлектронном циклотроне: ^[3] $g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).$

Электронное гиромагнитное отношение равно ^[4]^[5]^[6] $\gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1}{\cdot }T^{-1}}$ ${\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{-1}} .$

Электронный $g$ -фактор и $γ$ находятся в прекрасном согласии с теорией; см . в разделе «Прецизионные испытания QED» . подробности ^[7]

является следствием теории относительности Гиромагнитный фактор не

Поскольку гиромагнитный фактор, равный 2, следует из уравнения Дирака, часто ошибочно думать, что $g$ - фактор 2 является следствием теории относительности; это не. Коэффициент 2 может быть получен путем линеаризации как уравнения Шредингера, так и релятивистского уравнения Клейна – Гордона (что приводит к уравнению Дирака). 4- спинор В обоих случаях получается $и для обеих линеаризаций g$ -фактор оказывается равным 2; Следовательно, множитель 2 является следствием минимальной связи и того факта, что производные одного и того же порядка по пространству и времени. ^[8]

Физический спин 1/2 удовлетворяют расширенному частицы, которые не могут быть описаны линейным калибровочным уравнением Дирака, калибровочному уравнению Клейна–Гордона, с помощью $g$ $е / 4 σ примечание F μν$ термин согласно, ^[9]

\left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.

Здесь, $1/2 . р примечание$ и $Ф примечание$ обозначают генераторы группы Лоренца в пространстве Дирака и электромагнитный тензор соответственно, а $A м$ — электромагнитный четырехпотенциал . Пример такой частицы: ^[9] это вращение 1/2 для компаньона вращения 3/2 в $D (½,1) \oplus Д (1,½)$ пространство представления группы Лоренца . Было показано, что эта частица характеризуется $g$ = − + 2/3 следовательно , и , вести себя как истинно квадратичный фермион.

Для ядра [ править ]

Протоны , нейтроны и многие ядра имеют ядерный спин , который приводит к гиромагнитному отношению, как указано выше. Отношение традиционно записывают через массу и заряд протона, даже для нейтронов и для других ядер, для простоты и последовательности. Формула:

\gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,

где $\mu _{\mathrm {N} }$ является ядерным магнетоном , и $g_{\rm {n}}$ - $g$ -фактор рассматриваемого нуклона или ядра. Соотношение $\,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,$ равный $\mu _{\mathrm {N} }/h$ , составляет 7,622593285(47) МГц/Тл. ^[10]

Гиромагнитное отношение ядра играет роль в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и магнитно-резонансной томографии (МРТ). Эти процедуры основаны на том факте, что объемная намагниченность, обусловленная ядерными спинами, прецессирует в магнитном поле со скоростью, называемой ларморовской частотой , которая является просто произведением гиромагнитного отношения на напряженность магнитного поля. В этом явлении знак $γ$ определяет направление прецессии (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Наиболее распространенные ядра, такие как ¹Рука ¹³C имеют положительные гиромагнитные отношения. ^[11]^[12] Приблизительные значения для некоторых распространенных ядер приведены в таблице ниже. ^[13]^[14]

Ядро	$\gamma _{n}$ (10 ⁶ rad⋅s ⁻¹⋅T ⁻¹)	$\gamma _{n}/(2\pi )$ (MHz⋅T ⁻¹)
¹ЧАС	267.522 187 08 (11) ^[15]	42.577 478 461 (18) ^[16]
¹Н (в Н ₂ О)	267.515 3194 (11) ^[17]	42.576 385 43 (17) ^[18]
²ЧАС	41.065	6.536
³ЧАС	285.3508	45.415 ^[19]
³Он	−203.789 460 78 (18) ^[20]	−32.434 100 033 (28) ^[21]
⁷Что	103.962	16.546
¹³С	67.2828	10.7084
¹⁴Н	19.331	3.077
¹⁵Н	−27.116	−4.316
¹⁷ТО	−36.264	−5.772
¹⁹Ф	251.815	40.078
²³Уже	70.761	11.262
²⁷Ал	69.763	11.103
²⁹И	−53.190	−8.465
³¹П	108.291	17.235
⁵⁷Фе	8.681	1.382
⁶³С	71.118	11.319
⁶⁷Зн	16.767	2.669
¹²⁹Машина	−73.995 401 (2)	−11.776 7338 (3) ^[22]

Ларморовская прецессия [ править ]

Любая свободная система с постоянным гиромагнитным отношением, такая как жесткая система зарядов, ядро или электрон , помещенная во внешнее магнитное поле $B$ (измеренное в теслах), которое не совпадает с ее магнитным моментом , будет прецессировать с частота $f$ (измеряется в герцах ), пропорциональная внешнему полю:

f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.

По этой причине значения $γ$ / 2 $π$ в единицах герц на тесла (Гц/Тл) часто указывается вместо $γ$ .

Эвристический вывод [ править ]

Вывод этого соотношения следующий: сначала мы должны доказать, что крутящий момент, возникающий в результате воздействия магнитного момента $\mathbf {m}$ к магнитному полю $\mathbf {B}$ является $\,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.$ Тождественность функциональной формы стационарного электрического и магнитного полей привела к одинаковому определению величины магнитного дипольного момента. $m=I\pi r^{2}$ , или следующим образом, имитируя момент $p$ электрического диполя: Магнитный диполь можно представить стрелкой компаса с фиктивными магнитными зарядами $\pm q_{\rm {m}}$ на двух полюсах и векторном расстоянии между полюсами $\mathbf {d}$ под действием магнитного поля Земли $\,\mathbf {B} \,.$ По классической механике крутящий момент на этой игле равен $\,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.$ Но как было сказано ранее $\,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,$ таким образом, появляется желаемая формула. ${\hat {\mathbf {d} }}$ — вектор единичного расстояния.

Модель вращающегося электрона, которую мы используем при выводе, имеет очевидную аналогию с гироскопом. Для любого вращающегося тела скорость изменения момента количества движения $\,\mathbf {J} \,$ равен приложенному крутящему моменту $\mathbf {T}$ :

{\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.

Рассмотрим в качестве примера прецессию гироскопа. Гравитационное притяжение Земли прикладывает силу или крутящий момент к гироскопу в вертикальном направлении, а вектор углового момента вдоль оси гироскопа медленно вращается вокруг вертикальной линии, проходящей через ось. На месте гироскопа представьте себе сферу, вращающуюся вокруг оси и с центром на оси гироскопа, а вдоль оси гироскопа два противоположно направленных вектора оба возникли в центре сферы вверх. $\mathbf {J}$ и вниз $\mathbf {m} .$ Замените гравитацию плотностью магнитного потока. $\,\mathbf {B} ~.$

${\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}$ представляет собой линейную скорость пики стрелы $\,\mathbf {J} \,$ по окружности, радиус которой равен $\,J\sin {\phi }\,,$ где $\,\phi \,$ это угол между $\,\mathbf {J} \,$ и вертикаль. Следовательно, угловая скорость вращения спина равна

\omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.

Следовательно, $f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}$

Это соотношение также объясняет очевидное противоречие между двумя эквивалентными терминами, гиромагнитным отношением и магнитогирическим отношением: тогда как это отношение магнитного свойства (т.е. дипольного момента ) к гирическому (вращательному, от греческого : γύρος , «поворот») свойству ( т.е. угловой момент ), это также, в то же время , соотношение между частотой угловой прецессии (еще одно гирическое свойство) $ω = 2 πf$ и магнитным полем .

Частота угловой прецессии имеет важный физический смысл: это угловая циклотронная частота , резонансная частота ионизированной плазмы, находящейся под воздействием статического конечного магнитного поля, когда мы накладываем высокочастотное электромагнитное поле.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Международный союз теоретической и прикладной химии (1993). Количества, единицы и символы в физической химии , 2-е издание, Оксфорд: Blackwell Science. ISBN 0-632-03583-8 . п. 21. Электронная версия.
^ Например, см.: Джанколи, округ Колумбия. Физика для ученых и инженеров (3-е изд.). п. 1017; или посмотрите: Типлер, Пенсильвания; Ллевеллин, Р.А. Современная физика (4-е изд.). п. 309.
^ Фан, Х.; Майерс, Т.Г.; Шукра, ПЛОХО; Габриэльс, Г. (13 февраля 2023 г.). «Измерение магнитного момента электрона» . Письма о физических отзывах . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Бибкод : 2023PhRvL.130g1801F . doi : 10.1103/PhysRevLett.130.071801 . PMID 36867820 . S2CID 123962197 .
^ «электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ . Обратите внимание, что NIST ставит положительный знак этому количеству; однако для соответствия формулам в этой статье перед $γ$ здесь поставлен отрицательный знак. Действительно, во многих источниках говорится, что $γ$ < 0 для электрона ; например, Вейл и Болтон (2007). Электронный парамагнитный резонанс . Уайли. п. 578. ^{[ нужна полная цитата ]} Также обратите внимание, что для ясности добавлены единицы радианы.
^ «электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ .
^ «гиромагнитное отношение электронов в МГц/Тл» . НИСТ .
^ Кнехт, Марк (12 октября 2002 г.). «Аномальные магнитные моменты электрона и мюона» . В Дюплантье, Бертран; Ривассо, Винсент (ред.). Семинар Пуанкаре 2002 . Семинар Пуанкаре. Прогресс математической физики. Том. 30. Париж, Франция: Birkhäuser (опубликовано в 2003 г.). ISBN 3-7643-0579-7 . Архивировано из оригинала ( PostScript ) 15 октября 2005 года.
^ Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение . Спрингер Верлаг . ISBN 9783540674580 – через Google Книги.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Дельгадо Акоста, Е.Г.; Банда Гусман, ВМ; Кирхбах, М. (2015). «Гиромагнитные $g$ _s- факторы частиц со спином 1/2 в (1/2 ⁺-1/2 ⁻-1/2 ⁻) триада четырехвекторного спинора, $ψ μ$ , неприводимость и линейность». Международный журнал современной физики E. 24 ( 7): 1550060. arXiv : 1507.03640 . Бибкод : 2015IJMPE..2450060D . doi 10.1142 / S021830131550060 3 . С2КИД 119303031 .
^ «Ядерный магнетон в МГц/Тл: $\mu _{\rm {N}}/h$ . - NIST . 2014. (со ссылкой на CODATA рекомендуемые значения)
^ Левитт, Миннесота (2008). Спиновая динамика . John Wiley & Sons Ltd. ISBN компании 978-0470511176 .
^ Палмер, Артур Г. (2007). ЯМР-спектроскопия белков . Эльзевир Академик Пресс . ISBN 978-0121644918 .
^ Бернштейн, Массачусетс; Кинг, К.Ф.; Чжоу, XJ (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. п. 960 . ISBN 0-12-092861-2 – через archive.org.
^ Восток, Колорадо; Астл, MJ, ред. (1982). Справочник по химии и физике . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . п. Е66. ISBN 0-8493-0463-6 .
^ «гиромагнитное отношение протонов» . НИСТ . 2022.
^ «гиромагнитное отношение протона более 2 пи» . НИСТ . 2022.
^ «гиромагнитное отношение экранированных протонов» . НИСТ 2022 . Проверено 19 мая 2021 г.
^ «гиромагнитное отношение экранированных протонов в МГц/Тл» . НИСТ 2022 . Проверено 19 мая 2021 г.
^ «ЯМР-спектроскопия твердого тела трития в PNNL для оценки материалов, хранящих водород» (PDF) . Ноябрь 2015.
^ «гиромагнитное отношение экранированного гелия» . НИСТ 2022 . Проверено 9 июля 2024 г.
^ «гиромагнитное отношение экранированного гелия в МГц/Тл» . НИСТ 2022 . Проверено 9 июля 2024 г.
^ Макульский, Влодзимеж (2020). «Исследование магнитных свойств благородных газов: прошлое, настоящее и будущее» . Магнитохимия . 6 (4): 65. doi : 10.3390/magnetochemistry6040065 .

[1] Международный союз теоретической и прикладной химии (1993). Количества, единицы и символы в физической химии , 2-е издание, Оксфорд: Blackwell Science. ISBN 0-632-03583-8 . п. 21. Электронная версия.

[2] Например, см.: Джанколи, округ Колумбия. Физика для ученых и инженеров (3-е изд.). п. 1017; или посмотрите: Типлер, Пенсильвания; Ллевеллин, Р.А. Современная физика (4-е изд.). п. 309.

[3] Фан, Х.; Майерс, Т.Г.; Шукра, ПЛОХО; Габриэльс, Г. (13 февраля 2023 г.). «Измерение магнитного момента электрона» . Письма о физических отзывах . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Бибкод : 2023PhRvL.130g1801F . doi : 10.1103/PhysRevLett.130.071801 . PMID 36867820 . S2CID 123962197 .

[NIST:_Electron_gyromagnetic_ratio-4] «электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ . Обратите внимание, что NIST ставит положительный знак этому количеству; однако для соответствия формулам в этой статье перед $γ$ здесь поставлен отрицательный знак. Действительно, во многих источниках говорится, что $γ$ < 0 для электрона ; например, Вейл и Болтон (2007). Электронный парамагнитный резонанс . Уайли. п. 578. ^{[ нужна полная цитата ]} Также обратите внимание, что для ясности добавлены единицы радианы.

[NIST:_Electron_gyromagnetic_ratio_value-5] «электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ .

[NIST:_electron_gyromagnetic_ratio_over_2_pi-6] «гиромагнитное отношение электронов в МГц/Тл» . НИСТ .

[Note-1-7] Кнехт, Марк (12 октября 2002 г.). «Аномальные магнитные моменты электрона и мюона» . В Дюплантье, Бертран; Ривассо, Винсент (ред.). Семинар Пуанкаре 2002 . Семинар Пуанкаре. Прогресс математической физики. Том. 30. Париж, Франция: Birkhäuser (опубликовано в 2003 г.). ISBN 3-7643-0579-7 . Архивировано из оригинала ( PostScript ) 15 октября 2005 года.

[8] Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение . Спрингер Верлаг . ISBN 9783540674580 – через Google Книги.

[fourvectorspinor-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Дельгадо Акоста, Е.Г.; Банда Гусман, ВМ; Кирхбах, М. (2015). «Гиромагнитные $g$ _s- факторы частиц со спином 1/2 в (1/2 ⁺-1/2 ⁻-1/2 ⁻) триада четырехвекторного спинора, $ψ μ$ , неприводимость и линейность». Международный журнал современной физики E. 24 ( 7): 1550060. arXiv : 1507.03640 . Бибкод : 2015IJMPE..2450060D . doi 10.1142 / S021830131550060 3 . С2КИД 119303031 .

[10] «Ядерный магнетон в МГц/Тл: $\mu _{\rm {N}}/h$ . - NIST . 2014. (со ссылкой на CODATA рекомендуемые значения)

[M_H_Levitt_2008-11] Левитт, Миннесота (2008). Спиновая динамика . John Wiley & Sons Ltd. ISBN компании 978-0470511176 .

[Arthur_G_Palmer_2007-12] Палмер, Артур Г. (2007). ЯМР-спектроскопия белков . Эльзевир Академик Пресс . ISBN 978-0121644918 .

[13] Бернштейн, Массачусетс; Кинг, К.Ф.; Чжоу, XJ (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. п. 960 . ISBN 0-12-092861-2 – через archive.org.

[14] Восток, Колорадо; Астл, MJ, ред. (1982). Справочник по химии и физике . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . п. Е66. ISBN 0-8493-0463-6 .

[15] «гиромагнитное отношение протонов» . НИСТ . 2022.

[16] «гиромагнитное отношение протона более 2 пи» . НИСТ . 2022.

[17] «гиромагнитное отношение экранированных протонов» . НИСТ 2022 . Проверено 19 мая 2021 г.

[18] «гиромагнитное отношение экранированных протонов в МГц/Тл» . НИСТ 2022 . Проверено 19 мая 2021 г.

[19] «ЯМР-спектроскопия твердого тела трития в PNNL для оценки материалов, хранящих водород» (PDF) . Ноябрь 2015.

[20] «гиромагнитное отношение экранированного гелия» . НИСТ 2022 . Проверено 9 июля 2024 г.

[21] «гиромагнитное отношение экранированного гелия в МГц/Тл» . НИСТ 2022 . Проверено 9 июля 2024 г.

[22] Макульский, Влодзимеж (2020). «Исследование магнитных свойств благородных газов: прошлое, настоящее и будущее» . Магнитохимия . 6 (4): 65. doi : 10.3390/magnetochemistry6040065 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]