Ларморовская прецессия

В физике ( Ларморовская прецессия названа в честь Джозефа Лармора ) — прецессия магнитного момента объекта относительно внешнего магнитного поля . Это явление концептуально похоже на прецессию наклоненного классического гироскопа во внешнем гравитационном поле, оказывающем крутящий момент. Объекты с магнитным моментом также имеют угловой момент и эффективный внутренний электрический ток, пропорциональный их угловому моменту; к ним относятся электроны , протоны , другие фермионы , многие атомные и ядерные системы, а также классические макроскопические системы. Внешнее магнитное поле оказывает вращающий момент на магнитный момент,

{\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},

где ${\vec {\tau }}$ это крутящий момент, ${\vec {\mu }}$ - магнитный дипольный момент, ${\vec {J}}$ вектор углового момента , ${\vec {B}}$ – внешнее магнитное поле, $\times$ символизирует векторное произведение и $\gamma$ - гиромагнитное отношение , которое дает константу пропорциональности между магнитным моментом и угловым моментом. Вектор углового момента ${\vec {J}}$ прецессирует вокруг оси внешнего поля с угловой частотой, известной как ларморовская частота ,

\omega =\vert \gamma B\vert

,

где $\omega$ угловая частота , ^[1] и $B$ - величина приложенного магнитного поля. $\gamma$ - гиромагнитное отношение для частицы с зарядом $-e$ , ^[2] равный $-{\frac {eg}{2m}}$ , где $m$ – масса прецессирующей системы, а $g$ – g -фактор системы. G ; -фактор представляет собой безразмерный коэффициент пропорциональности, связывающий угловой момент системы с собственным магнитным моментом в классической физике оно равно 1 для любого твердого объекта, в котором плотность заряда и массы одинаково распределены. Ларморовская частота не зависит от угла между ${\vec {J}}$ и ${\vec {B}}$ .

В ядерной физике - фактор g данной системы включает в себя влияние спинов нуклонов , их орбитальных угловых моментов и их связей . Как правило, g -факторы очень сложно вычислить для таких систем многих тел, но для большинства ядер они измерены с высокой точностью. Ларморовская частота важна в ЯМР-спектроскопии . Гиромагнитные отношения, которые определяют ларморовские частоты при заданной напряженности магнитного поля, измерены и сведены в таблицы. ^[3]

Важно отметить, что ларморовская частота не зависит от полярного угла между приложенным магнитным полем и направлением магнитного момента. Именно это делает его ключевым понятием в таких областях, как ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), поскольку скорость прецессии не зависит от пространственной ориентации спинов.

Включая прецессию Томаса

Приведенное выше уравнение используется в большинстве приложений. Однако полная обработка должна включать эффекты прецессии Томаса , что дает уравнение (в единицах СГС ) (единицы СГС используются так, чтобы E имело те же единицы, что и B):

\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)

где $\gamma$ — релятивистский фактор Лоренца (не путать с гиромагнитным отношением, указанным выше). Примечательно, что для электрона g очень близко к 2 ( 2,002... ), поэтому, если установить g = 2, можно получить

\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}

Уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди.

Прецессия спина электрона во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Баргмана–Мишеля–Телегди (БМТ). ^[4]

{\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },

где $a^{\tau }$ , $e$ , $m$ , и $\mu$ – четырехвектор поляризации, заряд, масса и магнитный момент, $u^{\tau }$ – четырехскоростная скорость электрона (в системе единиц, в которой $c=1$ ), $a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1$ , $u^{\tau }a_{\tau }=0$ , и $F^{\tau \sigma }$ – тензор напряженности электромагнитного поля. Используя уравнения движения,

m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },

можно переписать первый член в правой части уравнения БМТ как $(-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }$ , где $w^{\tau }=du^{\tau }/ds$ четырехкратное ускорение. Этот термин описывает транспорт Ферми – Уокера и приводит к прецессии Томаса . Второе слагаемое связано с ларморовской прецессией.

Когда электромагнитные поля однородны в пространстве или когда градиентные силы, такие как $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$ можно пренебречь, поступательное движение частицы описывается выражением

{\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.

Тогда уравнение БМТ запишется как ^[5]

{\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,

Лучево-оптическая версия Thomas-BMT из квантовой теории пучковой оптики заряженных частиц , применимая в оптике ускорителей. ^[6]^[7]

Приложения

В статье 1935 года, опубликованной Львом Ландау и Евгением Лифшицем, было предсказано существование ферромагнитного резонанса ларморовской прецессии, что было независимо подтверждено в экспериментах Дж. Х. Э. Гриффитса (Великобритания). ^[8] и Е. К. Завойский (СССР) в 1946 г. ^[9]^[10]

Ларморовская прецессия важна в ядерном магнитном резонансе , магнитно-резонансной томографии , электронном парамагнитном резонансе , мюонном спиновом резонансе и нейтронном спиновом эхе . Это также важно для выравнивания частиц космической пыли , что является причиной поляризации звездного света .

Для расчета спина частицы в магнитном поле необходимо, вообще говоря, учитывать и прецессию Томаса, если частица движется.

Направление прецессии

Спиновый угловой момент электрона прецессирует против часовой стрелки относительно направления магнитного поля. Электрон имеет отрицательный заряд, поэтому направление его магнитного момента противоположно направлению вращения.

См. также

ЛАРМОР нейтронный микроскоп

Примечания

^ Spin Dynamics, Малкольм Х. Левитт, Wiley, 2001 г.
^ Луи Н. Хэнд и Джанет Д. Финч. (1998). Аналитическая механика . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . п. 192. ИСБН 978-0-521-57572-0 .
^ Список изотопов ЯМР
^ В. Баргманн , Л. Мишель и В. Л. Телегди , Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле , Phys. Преподобный Летт. 2, 435 (1959).
^ Джексон, JD, Классическая электродинамика , 3-е издание, Wiley, 1999, стр. 563.
^ М. Конте, Р. Джаганнатан , С. А. Хан и М. Пустерла, Лучевая оптика частицы Дирака с аномальным магнитным моментом, Ускорители частиц, 56, 99–126 (1996); (Препринт: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08).
^ Хан, SA (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц , докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (полную диссертацию можно получить в Dspace библиотеки IMSc Института математических наук , где проводилось докторское исследование).
^ Дж. Х. Х. Гриффитс (1946). «Аномальная высокочастотная стойкость ферромагнитных металлов». Природа . 158 (4019): 670–671. Бибкод : 1946Natur.158..670G . дои : 10.1038/158670a0 . S2CID 4143499 .
^ Завойский, Э. (1946). «Спиновый магнитный резонанс в дециметровой области волн». Физический журнал . 10 .
^ Завойский, Э. (1946). «Парамагнитное поглощение в некоторых солях в перпендикулярных магнитных полях». Журнал Экспериментальной и теоретической физики . 16 (7): 603–606.

Внешние ссылки

[1] Spin Dynamics, Малкольм Х. Левитт, Wiley, 2001 г.

[2] Луи Н. Хэнд и Джанет Д. Финч. (1998). Аналитическая механика . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . п. 192. ИСБН 978-0-521-57572-0 .

[3] Список изотопов ЯМР

[4] В. Баргманн , Л. Мишель и В. Л. Телегди , Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле , Phys. Преподобный Летт. 2, 435 (1959).

[5] Джексон, JD, Классическая электродинамика , 3-е издание, Wiley, 1999, стр. 563.

[6] М. Конте, Р. Джаганнатан , С. А. Хан и М. Пустерла, Лучевая оптика частицы Дирака с аномальным магнитным моментом, Ускорители частиц, 56, 99–126 (1996); (Препринт: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08).

[7] Хан, SA (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц , докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (полную диссертацию можно получить в Dspace библиотеки IMSc Института математических наук , где проводилось докторское исследование).

[8] Дж. Х. Х. Гриффитс (1946). «Аномальная высокочастотная стойкость ферромагнитных металлов». Природа . 158 (4019): 670–671. Бибкод : 1946Natur.158..670G . дои : 10.1038/158670a0 . S2CID 4143499 .

[9] Завойский, Э. (1946). «Спиновый магнитный резонанс в дециметровой области волн». Физический журнал . 10 .

[10] Завойский, Э. (1946). «Парамагнитное поглощение в некоторых солях в перпендикулярных магнитных полях». Журнал Экспериментальной и теоретической физики . 16 (7): 603–606.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]