Колебания нейтральных частиц

В физике элементарных частиц колебание нейтральной частицы — это превращение частицы с нулевым электрическим зарядом в другую нейтральную частицу из-за изменения ненулевого внутреннего квантового числа посредством взаимодействия, которое не сохраняет это квантовое число. Колебания нейтральных частиц были впервые исследованы в 1954 году Мюрреем Геллманом и Абрахамом Пайсом .

Например, нейтрон не может превратиться в антинейтрон , поскольку это нарушит закон сохранения барионного числа . Но в тех гипотетических расширениях Стандартной модели , которые включают взаимодействия, которые не строго сохраняют барионное число, предсказывается возникновение нейтрон-антинейтронных колебаний.

Такие колебания можно разделить на два типа:

• Колебания частица- античастица (например,
  К ⁰
  ⇄
  К ⁰
  колебание ,
  Б ⁰
  ⇄
  Б ⁰
  колебание ,
  Д ⁰
  ⇄
  Д ⁰
  колебание ).
• Колебания вкуса (например,
  н
  _и ⇄
  н
  _м ⇄
  н
  _τ колебание ).

В тех случаях, когда частицы распадаются до какого-то конечного продукта, система не является чисто колебательной и наблюдается интерференция между колебанием и распадом.

История и мотивация

нарушение CP

После поразительных доказательств нарушения паритета, предоставленных Wu et al . в 1957 году предполагалось, что CP (четность зарядового сопряжения) — это сохраняющаяся величина. Однако в 1964 году Кронин и Fitch сообщили о нарушении CP в нейтральной системе Каон. Они наблюдали, как долгоживущий K _L (с CP = −1 ) распадается на два пиона (с CP = [−1]·[−1] = +1 ), тем самым нарушая сохранение CP.

В 2001 году нарушение ДП в
Б ⁰
⇄
Б ⁰
система была подтверждена экспериментами BaBar и Belle . Прямое нарушение CP в
Б ⁰
⇄
Б ⁰
о системе сообщили обе лаборатории к 2005 году.

The
К ⁰
⇄
К ⁰
и
Б ⁰
⇄
Б ⁰
системы можно изучать как системы с двумя состояниями, рассматривая частицу и ее античастицу как два состояния.

Проблема солнечных нейтрино

Цепь ПП на Солнце производит изобилие
н
_е . В 1968 году Р. Дэвис и др . впервые сообщил о результатах эксперимента Homestake . Также известный как эксперимент Дэвиса , он использовал огромный резервуар с перхлорэтиленом в шахте Хоумстейк (он был расположен глубоко под землей для устранения фона от космических лучей), Южная Дакота . Ядра хлора в перхлорэтилене поглощают
н
_e для получения аргона по реакции

$\mathrm {\nu _{e}+{{}_{17}^{37}Cl}\rightarrow {{}_{18}^{37}}Ar+e^{-}}$,

что по сути

$\mathrm {\nu _{e}+n\to p+e^{-}}$.

В эксперименте собирали аргон в течение нескольких месяцев. Поскольку нейтрино взаимодействует очень слабо, каждые два дня собиралось только около одного атома аргона. Общее накопление составило около трети теоретического предсказания Бахколла .

В 1968 году Бруно Понтекорво показал, что если нейтрино не считать безмассовыми, то
н
_e (произведенное на Солнце) может трансформироваться в некоторые другие виды нейтрино (
н
_μ или
н
_τ ), к которому детектор Хоумстейка был нечувствителен. Этим и объясняется дефицит результатов эксперимента Homestake. Окончательное подтверждение этого решения проблемы солнечных нейтрино было предоставлено в апреле 2002 года коллаборацией SNO ( Садберийская нейтринная обсерватория ), которая измерила как
н
_e поток и полный поток нейтрино.

Это «колебание» между видами нейтрино можно сначала изучить, рассматривая любые два, а затем обобщить на три известных типа.

Описание как двухгосударственная система

Особый случай: рассмотрение только смешивания

Основная статья: Квантовая система с двумя состояниями

Внимание : «смешивание», обсуждаемое в этой статье, не является тем типом, который получается из смешанных квантовых состояний . Скорее, «смешивание» здесь относится к суперпозиции собственных состояний энергии (массы) « чистого состояния », описываемых «матрицей смешивания» (например, матрицами CKM или PMNS ).

Позволять $\,H_{0}\,$ — гамильтониан системы с двумя состояниями, и $\;\left|1\right\rangle \;$ и $\;\left|2\right\rangle \;$ — его ортонормированные собственные векторы с собственными значениями $\,E_{1}\,$ и $\,E_{2}\,$ соответственно.

Позволять $\,\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \,$ быть состоянием системы в момент времени $\,t~.$

Если система начинается как собственное энергетическое состояние $\,H_{0}\;,$ то есть сказать

$\left|\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle$

затем эволюционирующее во времени состояние, которое является решением уравнения Шредингера

${\hat {H}}_{0}\left|{\Psi \left(t\right)}\right\rangle ={i\hbar }{\partial \over {\partial t}}\left|{\Psi \left(t\right)}\right\rangle$   ( 1 )

будет,

$\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle e^{-i{\frac {E_{1}t}{\hbar }}}$

Но это физически то же самое, что и $\left|1\right\rangle$ поскольку экспоненциальный член является всего лишь фазовым фактором и не создает нового состояния. Другими словами, собственные состояния энергии являются стационарными собственными состояниями, т.е. они не приводят к физически новым состояниям в процессе эволюции во времени.

В основе $\,\left\{\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle \right\}\;,$ $\,H_{0}\,$ является диагональным. То есть,

$H_{0}={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\\\end{pmatrix}}$

Можно показать, что колебания между состояниями будут происходить тогда и только тогда, когда недиагональные члены гамильтониана отличны от нуля .

Поэтому введем общее возмущение $W$ в $H_{0}$ такой, что результирующий гамильтониан $H$ все еще является эрмитовым . Затем,

$W={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}\\W_{12}^{*}&W_{22}\\\end{pmatrix}}$ где $W_{11},W_{22}\in \mathbb {R}$ и $W_{12}\in \mathbb {C}$

и,

$H=H_{0}+W={\begin{pmatrix}E_{1}+W_{11}&W_{12}\\W_{12}^{*}&E_{2}+W_{22}\\\end{pmatrix}}$   ( 2 )

Тогда собственные значения $H$ являются,

$E_{\pm }={\frac {1}{2}}\left[E_{1}+W_{11}+E_{2}+W_{22}\pm {\sqrt {{\left(E_{1}+W_{11}-E_{^{2}}-W_{22}\right)}^{2}+4\left|W_{12}\right|^{2}}}\right]$   ( 3 )

С $\,H\,$ является общей гамильтоновой матрицей, ее можно записать как:

$H=\sum \limits _{j=0}^{3}a_{j}\sigma _{j}=a_{0}\sigma _{0}+H'$

showгде,

${\begin{aligned}H'&={\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=\left|a\right|{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }},\\{\vec {a}}&=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)\end{aligned}}~,$ ${\hat {n}}$ is a real unit vector in 3 dimensions in the direction of $\,{\vec {a}}\;,$ ${\begin{aligned}\sigma _{0}&=I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\\\sigma _{1}&=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}&=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}&=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ are the Pauli matrices.

Следующие два результата очевидны:

• $\,\left[H,H'\right]=0\,$

showДоказательство
${\begin{aligned}HH'&=a_{0}\sigma _{0}H'+H'H'=a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\H'H&=a_{0}H'\sigma _{0}+H'H'=a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\\therefore \left[H,H'\right]&=HH'-H'H=0\\\end{aligned}}$

• $\,{H'}^{2}=I\,$

showДоказательство

${\begin{aligned}{H'}^{2}&=\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}\sigma _{j}}\sum \limits _{k=1}^{3}{n_{k}\sigma _{k}}=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}}\\&=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\left(\delta _{jk}I+i\sum \limits _{\ell =1}^{3}{\varepsilon _{jk\ell }\sigma _{\ell }}\right)}\\&=\left(\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}}^{2}\right)I+i\sum \limits _{\ell =1}^{3}{\sigma _{l}\sum \limits _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{jk\ell }}\\&=I\\\end{aligned}}$ where the following results have been used: $\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\sum \limits _{\ell =1}^{3}{\varepsilon _{jk\ell }\sigma _{\ell }}$ ${\hat {n}}$ is a unit vector and hence $\sum \limits _{j=1}^{3}{{n_{j}}^{2}}=\left|{\hat {n}}\right|^{2}=1$ The Levi-Civita symbol $\varepsilon _{jk\ell }$ is antisymmetric in any two of its indices ($j$ and $k$ in this case) and hence $\sum \limits _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{jk\ell }=0$

При следующей параметризации (эта параметризация помогает, поскольку она нормализует собственные векторы, а также вводит произвольную фазу $\phi$ делая собственные векторы наиболее общими)

${\hat {n}}=\left(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta \right)$,

и используя приведенную выше пару результатов, ортонормированные собственные векторы $H'$ и, следовательно, $H$ получаются как,

${\begin{aligned}\left|+\right\rangle &={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi }{2}}}\\\end{pmatrix}}\equiv \cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\left|1\right\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left|2\right\rangle \\\left|-\right\rangle &={\begin{pmatrix}-\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi }{2}}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\\\end{pmatrix}}\equiv -\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\left|1\right\rangle +\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left|2\right\rangle \\\end{aligned}}$   ( 4 )

showгде,
$\tan \theta ={\frac {2\left|W_{12}\right|}{E_{1}+W_{11}-E_{2}-W_{22}}}$ and, $W_{12}=\left|W_{12}\right|e^{i\phi }$

Записав собственные векторы $\,H_{0}\,$ с точки зрения $\,H\,$ мы получаем,

${\begin{aligned}\left|1\right\rangle &=e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle -\sin {\frac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle \right)\\\left|2\right\rangle &=e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle +\cos {\frac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle \right)\\\end{aligned}}$   ( 5 )

Теперь, если частица изначально была собственным состоянием $\,H_{0}\,$ (сказать, $\,\left|1\right\rangle \,$), то есть,

$\left|\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle$

тогда в ходе временной эволюции мы получим:

$\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle e^{-i{\frac {E_{+}t}{\hbar }}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle e^{-i{\frac {E_{-}t}{\hbar }}}\right)$

который, в отличие от предыдущего случая, заметно отличается от $\;\left|1\right\rangle ~.$

Тогда мы можем получить вероятность нахождения системы в состоянии $\;\left|2\right\rangle \;$ во время $\,t\,$ как,

${\begin{aligned}P_{21}\left(t\right)&=\left|\left\langle 2|\Psi \left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\right)\\&={\frac {4\left|W_{12}\right|^{2}}{4\left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\sqrt {4\left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}}}{2\hbar }}t\right)\\\end{aligned}}~$   ( 6 )

которая называется формулой Раби . Следовательно, начиная с одного собственного состояния невозмущенного гамильтониана $\,H_{0}\;,$ состояние системы колеблется между собственными состояниями $\,H_{0}\,$ с частотой (известной как частота Раби ),

$\omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {4\left|W_{12}\right|^{2}+\left(E_{1}-E_{2}\right)^{2}}}{2\hbar }}~$   ( 7 )

Из выражения $P_{21}(t)$ мы можем сделать вывод, что колебания будут существовать только в том случае, если $\;\left|W_{12}\right|^{2}\neq 0~.$ $\,W_{12}\,$ таким образом, известен как член связи, поскольку он связывает два собственных состояния невозмущенного гамильтониана $H_{0}$ и тем самым облегчает колебание между ними.

Колебания прекратятся также, если собственные значения возмущенного гамильтониана $H$ вырождены, т.е. $\;E_{+}=E_{-}~.$ Но это тривиальный случай, так как в такой ситуации само возмущение исчезает и $H$ принимает форму (диагонали) $H_{0}$ и мы вернулись к исходной точке.

Следовательно, необходимыми условиями колебаний являются:

• Ненулевая связь, т.е. $\;\left|W_{12}\right|^{2}\neq 0~.$
• Невырожденные собственные значения возмущенного гамильтониана $\,H\,$, то есть $\;E_{+}\neq E_{-}~.$

Общий случай: учет смешивания и распада

Если рассматриваемая частица(ы) подвергается распаду, то гамильтониан, описывающий систему, перестает быть эрмитовым. Поскольку любую матрицу можно записать как сумму ее эрмитовой и антиэрмитовой частей, $H$ можно записать как,

$H=M-{\frac {i}{2}}\Gamma ={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{12}^{*}&M_{11}\\\end{pmatrix}}-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{12}^{*}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}$

showгде,

$M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\\\end{pmatrix}}$ and, $\Gamma ={\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{21}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}$ $M$ and $\Gamma$ are Hermitian. Hence, $M_{21}=M_{12}^{*}$ and $\Gamma _{21}=\Gamma _{12}^{*}$ CPT conservation (symmetry) implies, $M_{22}=M_{11}$ and $\Gamma _{22}=\Gamma _{11}$ showProof Let, $\;\Theta =CPT\;$. $\Theta$ changes a particle to its antiparticle. That is, $\Theta \left|1\right\rangle =\left|2\right\rangle$ and $\Theta \left|2\right\rangle =\left|1\right\rangle$ CPT conservation implies that the Hamiltonian $H$ and hence $M$ and $\Gamma$ are invariant under the following transformation: $\Theta ^{-1}M\Theta =M$ and $\Theta ^{-1}\Gamma \Theta =\Gamma$ $\Theta$ is an anti-Unitary operator and satisfies the relation $\Theta ^{\dagger }\Theta =I$ Hence, $M_{22}=\left\langle 2\right|M\left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{-1}M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{\dagger }M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 1\right|M\left|1\right\rangle =M_{11}$ and similarly for the diagonal elements of $\Gamma$. Hermiticity of $M$ and $\Gamma$ also implies that their diagonal elements are real.

Собственные значения $H$ являются,

${\begin{aligned}\mu _{H}&=M_{11}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{11}+{\frac {1}{2}}\left(\Delta m-{\frac {i}{2}}\Delta \Gamma \right),\\\mu _{L}&=M_{11}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{11}-{\frac {1}{2}}\left(\Delta m-{\frac {i}{2}}\Delta \Gamma \right)\end{aligned}}$   ( 8 )

showгде,
$\Delta m$ and $\Delta \Gamma$ satisfy, ${\begin{aligned}\left(\Delta m\right)^{2}-\left({\frac {\Delta \Gamma }{2}}\right)^{2}&=4\left|M_{12}\right|^{2}-\left|\Gamma _{12}\right|^{2},\\\Delta m\Delta \Gamma &=4\operatorname {Re} \left(M_{12}\Gamma _{12}^{*}\right)\end{aligned}}$

Суффиксы обозначают Heavy и Light соответственно (по соглашению), и это означает, что $\Delta m$ является положительным.

Нормированные собственные состояния, соответствующие $\mu _{L}$ и $\mu _{H}$ соответственно, в естественном базисе $\left\{\left|P\right\rangle ,\left|{\bar {P}}\right\rangle \right\}\equiv \left\{\left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\}$ являются,

${\begin{aligned}\left|P_{L}\right\rangle &=p\left|P\right\rangle +q\left|{\bar {P}}\right\rangle \\\left|P_{H}\right\rangle &=p\left|P\right\rangle -q\left|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}$   ( 9 )

showгде,
$\left|p\right|^{2}+\left|q\right|^{2}=1$ and, $\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}={\frac {M_{12}^{*}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{12}^{*}}{M_{12}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{12}}}$

$p$ и $q$ являются условиями смешивания. Обратите внимание, что эти собственные состояния больше не ортогональны.

Пусть система запускается в состоянии $\left|P\right\rangle$. То есть,

$\left|P\left(0\right)\right\rangle =\left|P\right\rangle ={\frac {1}{2p}}\left(\left|P_{L}\right\rangle +\left|P_{H}\right\rangle \right)$

Тогда в рамках временной эволюции мы получим:

$\left|P\left(t\right)\right\rangle ={\frac {1}{2p}}\left(\left|P_{L}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}+\left|P_{H}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\right)=g_{+}\left(t\right)\left|P\right\rangle -{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right)\left|{\bar {P}}\right\rangle$

showгде,
$g_{\pm }\left(t\right)={\frac {1}{2}}\left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\pm e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}\right)$

Аналогично, если система запускается в состоянии $\left|{\bar {P}}\right\rangle$, при эволюции во времени мы получаем,

$\left|{\bar {P}}(t)\right\rangle ={\frac {1}{2q}}\left(\left|P_{L}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}-\left|P_{H}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\right)=-{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)\left|P\right\rangle +g_{+}\left(t\right)\left|{\bar {P}}\right\rangle$

Нарушение CP как следствие

Если в системе $\left|P\right\rangle$ и $\left|{\bar {P}}\right\rangle$ представляют собой CP-сопряженные состояния (т.е. частица-античастица) друг друга (т.е. $CP\left|P\right\rangle =e^{i\delta }\left|{\bar {P}}\right\rangle$ и $CP\left|{\bar {P}}\right\rangle =e^{-i\delta }\left|P\right\rangle$), и соблюдены некоторые другие условия, то CP-нарушение в результате этого явления может наблюдаться . В зависимости от состояния нарушения ЦП можно разделить на три типа:

Нарушение CP только за счет распада

Рассмотрим процессы, в которых $\left\{\left|P\right\rangle ,\left|{\bar {P}}\right\rangle \right\}$ распад до конечных состояний $\left\{\left|f\right\rangle ,\left|{\bar {f}}\right\rangle \right\}$, где кеты с перемычкой и без перемычки каждого множества являются CP-сопряженными друг другу.

Вероятность $\left|P\right\rangle$ распадается на $\left|f\right\rangle$ дается,

$\wp _{P\to f}\left(t\right)=\left|\left\langle f|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right)A_{f}-{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right){\bar {A}}_{f}\right|^{2}$,

и процесс его CP-сопряженного процесса:

$\wp _{{\bar {P}}\to {\bar {f}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right){\bar {A}}_{\bar {f}}-{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)A_{\bar {f}}\right|^{2}$

showгде,
${\begin{aligned}A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \\A_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}$

Если нарушения CP из-за смешивания нет, то $\left|{\frac {q}{p}}\right|=1$.

Теперь две вышеупомянутые вероятности неравны, если:

$\left|{\frac {{\bar {A}}_{\bar {f}}}{A_{f}}}\right|\neq 1$ и $\left|{\frac {A_{\bar {f}}}{\bar {A_{f}}}}\right|\neq 1$   ( 10 )

.

Следовательно, распад становится процессом, нарушающим CP, поскольку вероятности распада и вероятности его CP-сопряженного процесса не равны.

Нарушение CP только за счет смешивания

Вероятность (как функция времени) наблюдения $\left|{\bar {P}}\right\rangle$ начиная с $\left|P\right\rangle$ дается,

$\wp _{P\to {\bar {P}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {P}}|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}$,

и процесс его CP-сопряженного процесса:

$\wp _{{\bar {P}}\to P}\left(t\right)=\left|\left\langle P|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}$.

Две вышеупомянутые вероятности неравны, если:

$\left|{\frac {q}{p}}\right|\neq 1$   ( 11 )

Следовательно, колебание частица-античастица становится процессом, нарушающим CP, как частица, так и ее античастица (скажем, $\left|P\right\rangle$ и $\left|{\bar {P}}\right\rangle$ соответственно) больше не являются эквивалентными собственными состояниями CP.

Нарушение CP из-за помех затухания смешения

Позволять $\left|f\right\rangle$ быть конечным состоянием (собственным состоянием CP), которое оба $\left|P\right\rangle$ и $\left|{\bar {P}}\right\rangle$ может распасться до. Тогда вероятности распада определяются выражением

${\begin{aligned}\wp _{P\to f}\left(t\right)&=\left|\left\langle f|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}\\&=\left|A_{f}\right|^{2}{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+2\operatorname {Re} \left(\lambda _{f}\right)\sinh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \left(\Delta mt\right)+2\operatorname {Im} \left(\lambda _{f}\right)\sin \left(\Delta mt\right)\right]\\\end{aligned}}$

и,

${\begin{aligned}\wp _{{\bar {P}}\to f}\left(t\right)&=\left|\left\langle f|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}\\&=\left|A_{f}\right|^{2}\left|{\frac {p}{q}}\right|^{2}{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+2\operatorname {Re} \left(\lambda _{f}\right)\sinh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)-\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \left(\Delta mt\right)-2\operatorname {Im} \left(\lambda _{f}\right)\sin \left(\Delta mt\right)\right]\\\end{aligned}}$

showгде,
${\begin{aligned}\gamma &={\frac {\gamma _{H}+\gamma _{L}}{2}}\Delta \gamma =\gamma _{H}-\gamma _{L}\\\Delta m&=m_{H}-m_{L}\\\lambda _{f}&={\frac {q}{p}}{\frac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\\A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}$

Из двух приведенных выше величин видно, что даже если нет нарушения CP только из-за смешивания (т. е. $\left|q/p\right|=1$), и не существует никакого CP-нарушения только за счет распада (т.е. $\left|{\bar {A}}_{f}/A_{f}\right|=1$) и таким образом $\left|\lambda _{f}\right|=1$, вероятности все равно будут неравны при условии, что

$\operatorname {Im} \left(\lambda _{f}\right)=\operatorname {Im} \left({\frac {q}{p}}{\frac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\right)\neq 0$   ( 12 )

Таким образом, последние члены в приведенных выше выражениях для вероятности связаны с интерференцией между смешиванием и распадом.

Альтернативная классификация

Обычно выделяют альтернативную классификацию нарушений ЦП:

Прямое нарушение CP	Прямое нарушение CP определяется как: $\left|{\bar {A}}_{f}/A_{f}\right|\neq 1$	С точки зрения вышеперечисленных категорий, прямое нарушение CP происходит только при нарушении CP только за счет распада.
Косвенное нарушение CP	Косвенное нарушение CP — это тип нарушения CP, который включает смешивание.	С точки зрения приведенной выше классификации, косвенное нарушение CP происходит только за счет смешивания или за счет помех затухания смешения, или за счет того и другого.

Конкретные случаи

Нейтринные осцилляции

Основная статья: Нейтринные осцилляции

Учитывая сильную связь между двумя собственными ароматическими состояниями нейтрино (например,
н
_и -
н
_м ,
н
_м –
н
_τ и т. д.) и очень слабой связи между третьим (т. е. третье не влияет на взаимодействие двух других) уравнение ( 6 ) дает вероятность нейтрино типа $\alpha$ трансмутация в тип $\beta$ как,

$P_{\beta \alpha }\left(t\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\right)$

где, $E_{+}$ и $E_{-}$ являются собственными энергетическими состояниями.

Вышеупомянутое можно записать так:

$P_{\beta \alpha }\left(x\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}c^{3}}{4E\hbar }}x\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{\lambda _{\text{osc}}}}x\right)$   ( 13 )

showгде,
$\Delta m^{2}={m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}$, i.e. the difference between the squares of the masses of the energy eigenstates, $c$ is the speed of light in vacuum, $x$ is the distance traveled by the neutrino after creation, $E$ is the energy with which the neutrino was created, and $\lambda _{\text{osc}}$ is the oscillation wavelength.

showДоказательство

$E_{\pm }={\sqrt {p^{2}c^{2}+{m_{\pm }}^{2}c^{4}}}\simeq pc\left(1+{\frac {{m_{\pm }}^{2}c^{2}}{2p^{2}}}\right)\left[\because {\frac {m_{\pm }c}{p}}\ll 1\right]$ where, $p$ is the momentum with which the neutrino was created. Now, $E\simeq pc$ and $t\simeq x/c$. Hence, ${\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\simeq {\frac {\left({m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}\right)c^{3}}{2p\hbar }}t\simeq {\frac {\Delta m^{2}c^{3}}{4E\hbar }}x={\frac {2\pi }{\lambda _{\text{osc}}}}x$ where, $\lambda _{\text{osc}}={\frac {8\pi E\hbar }{\Delta m^{2}c^{3}}}$

Таким образом, связь между собственными состояниями энергии (массы) приводит к явлению колебаний между собственными состояниями аромата. Одним из важных выводов является то, что нейтрино имеют конечную массу, хотя и очень малую . Следовательно, их скорость не совсем такая же, как у света, но немного ниже.

Расщепление массы нейтрино

Для трех разновидностей нейтрино существует три разделения масс:

${\begin{aligned}\left(\Delta m^{2}\right)_{12}&={m_{1}}^{2}-{m_{2}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{23}&={m_{2}}^{2}-{m_{3}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{31}&={m_{3}}^{2}-{m_{1}}^{2}\end{aligned}}$

Но только два из них независимы, потому что $\left(\Delta m^{2}\right)_{12}+\left(\Delta m^{2}\right)_{23}+\left(\Delta m^{2}\right)_{31}=0~$.

Для солнечных нейтрино	$\left(\Delta m^{2}\right)_{\text{sol }}\simeq 8\times 10^{-5}\left(eV/c^{2}\right)^{2}$
Для атмосферных нейтрино	$\left(\Delta m^{2}\right)_{\text{atm}}\simeq 3\times 10^{-3}\left(eV/c^{2}\right)^{2}$

Это означает, что два из трех нейтрино имеют очень близко расположенные массы. Поскольку только двое из трех $\Delta m^{2}$ независимы, и выражение вероятности в уравнении ( 13 ) не чувствительно к знаку $\Delta m^{2}$ (поскольку синус-квадрат не зависит от знака своего аргумента), невозможно определить массовый спектр нейтрино однозначно на основе явления ароматных колебаний. То есть любые два из трёх могут иметь близко расположенные массы.

Более того, поскольку осцилляция чувствительна только к разнице (квадратов) масс, прямое определение массы нейтрино из осцилляционных экспериментов невозможно.

Масштаб длины системы

Уравнение ( 13 ) показывает, что подходящим масштабом системы является длина волны колебаний. $\lambda _{\text{osc}}$. Мы можем сделать следующие выводы:

• Если $x/\lambda _{\text{osc}}\ll 1$, затем $P_{\beta \alpha }\simeq 0$ и колебаний не будет. Например, производство (скажем, путем радиоактивного распада) и обнаружение нейтрино в лаборатории.
• Если $x/\lambda _{\text{osc}}\simeq n$, где $n$ является целым числом, тогда $P_{\beta \alpha }\simeq 0$ и колебаний не будет.
• Во всех остальных случаях будут наблюдаться колебания. Например, $x/\lambda _{\text{osc}}\gg 1$ для солнечных нейтрино; $x\sim \lambda _{\text{osc}}$ для нейтрино атомной электростанции, обнаруженных в лаборатории в нескольких километрах.

Колебания и распад нейтрального каона

Основная статья: Каон

Нарушение CP только за счет смешивания

В статье Кристенсона и др. 1964 г. предоставил экспериментальные доказательства нарушения CP в нейтральной системе Каон. Так называемый долгоживущий Каон (CP = −1) распался на два пиона (CP = (−1)(−1) = 1), нарушив тем самым сохранение CP.

$\left|K^{0}\right\rangle$ и $\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle$ будучи собственными состояниями странности (с собственными значениями +1 и -1 соответственно), собственные состояния энергии:

${\begin{aligned}\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle +\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{2}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle -\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}$

Эти два также являются собственными состояниями CP с собственными значениями +1 и -1 соответственно. Из более раннего представления о сохранении CP (симметрии) ожидалось следующее:

• Потому что $\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle$ имеет собственное значение CP +1, он может распасться на два пиона или, при правильном выборе углового момента, на три пиона. Однако распад на два пиона встречается гораздо чаще.
• $\left|K_{2}^{0}\right\rangle$ имея собственное значение CP -1, может распасться только на три пиона и никогда на два.

Поскольку распад двух пионов происходит намного быстрее, чем распад трех пионов, $\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle$ упоминался как недолговечный Каон $\left|K_{S}^{0}\right\rangle$, и $\left|K_{2}^{0}\right\rangle$ как долгоживущий Каон $\left|K_{L}^{0}\right\rangle$. Эксперимент 1964 года показал, что вопреки ожиданиям, $\left|K_{L}^{0}\right\rangle$ может распасться на два пиона. Это подразумевало, что долгоживущий Каон не может быть чисто собственным состоянием CP. $\left|K_{2}^{0}\right\rangle$, но должен содержать небольшую примесь $\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle$, тем самым больше не являясь собственным состоянием CP. Точно так же было предсказано, что недолговечный Каон будет иметь небольшую примесь $\left|K_{2}^{0}\right\rangle$. То есть,

${\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{2}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{1}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{1}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{2}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}$

где, $\varepsilon$ является комплексной величиной и является мерой отклонения от CP-инвариантности. Экспериментально, $\left|\varepsilon \right|=\left(2.228\pm 0.011\right)\times 10^{-3}$.

Письмо $\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle$ и $\left|K_{2}^{0}\right\rangle$ с точки зрения $\left|K^{0}\right\rangle$ и $\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle$, получаем (имея в виду, что $m_{K_{L}^{0}}>m_{K_{S}^{0}}$) вид уравнения ( 9 ):

${\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle -q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle +q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}$

где, ${\frac {q}{p}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}$.

С $\left|\varepsilon \right|\neq 0$, условие ( 11 ) выполнено и происходит перемешивание собственных состояний странности $\left|K^{0}\right\rangle$ и $\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle$ порождая долгоживущие и недолговечные государства.

Нарушение CP только за счет распада

The
К ⁰
_Земля ​
К ⁰
_S имеет две моды распада двух пионов:
п ⁰

п ⁰
или
п ⁺

п ⁻
. Оба этих конечных состояния сами по себе являются CP-собственными состояниями. Мы можем определить коэффициенты ветвления как:

${\begin{aligned}\eta _{+-}&={\frac {\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{1+\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}\\[3pt]\eta _{00}&={\frac {\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{1+\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}\end{aligned}}$.

Экспериментально, $\eta _{+-}=\left(2.232\pm 0.011\right)\times 10^{-3}$ и $\eta _{00}=\left(2.220\pm 0.011\right)\times 10^{-3}$. То есть $\eta _{+-}\neq \eta _{00}$, подразумевая $\left|A_{\pi ^{+}\pi ^{-}}/{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}\right|\neq 1$ и $\left|A_{\pi ^{0}\pi ^{0}}/{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}\right|\neq 1$, и тем самым удовлетворяя условию ( 10 ).

Другими словами, в асимметрии между двумя модами распада наблюдается прямое CP-нарушение.

Нарушение CP из-за помех затухания смешения

Если конечное состояние (скажем $f_{CP}$) является собственным состоянием CP (например,
п ⁺

п ⁻
), то существуют две разные амплитуды затухания, соответствующие двум разным путям затухания:

${\begin{aligned}K^{0}&\to f_{CP}\\K^{0}&\to {\bar {K}}^{0}\to f_{CP}\end{aligned}}$.

Тогда нарушение CP может быть результатом интерференции этих двух вкладов в распад, поскольку одна мода включает только распад, а другая — колебания и распад.

Что же тогда является «настоящей» частицей?

Приведенное выше описание относится к собственным состояниям аромата (или странности) и собственным состояниям энергии (или CP). Но какая из них представляет собой «настоящую» частицу? Что мы на самом деле обнаруживаем в лаборатории? Цитируя Дэвида Дж. Гриффитса :

Нейтральная система Каона добавляет тонкий поворот к старому вопросу: «Что такое частица?» Каоны обычно возникают в результате сильных взаимодействий в собственных состояниях странности (
К ⁰
и
К ⁰
), но распадаются за счет слабых взаимодействий, как собственные состояния CP (K ₁ и K ₂ ). Какая же тогда частица является «настоящей»? Если мы считаем, что «частица» должна иметь уникальное время жизни, то «истинными» частицами будут K ₁ и K ₂ . Но нам не нужно быть такими догматичными. На практике иногда удобнее использовать один набор, иногда другой. Ситуация во многом аналогична поляризованному свету. Линейную поляризацию можно рассматривать как суперпозицию левоциркулярной и правоциркулярной поляризации. Если вы вообразите среду, которая преимущественно поглощает правоциркулярно поляризованный свет, и направите на нее луч с линейной поляризацией, то по мере прохождения через материал она будет становиться все более левоциркулярно поляризованной, точно так же, как
К ⁰
луч превращается в луч К ₂ . Но решите ли вы анализировать процесс с точки зрения состояний линейной или круговой поляризации, это во многом дело вкуса.

Матрица смешивания – краткое введение

Основные статьи: матрица Кабиббо – Кобаяши – Маскавы и матрица Понтекорво – Маки – Накагавы – Саката

Если система представляет собой систему трех состояний (например, три вида нейтрино
н
_и ⇄
н
_м ⇄
н
_τ , три вида кварков
д
⇄
с
⇄
б
), тогда, как и в системе с двумя состояниями, собственные состояния аромата (скажем, $\left|{\varphi _{\alpha }}\right\rangle$, $\left|{\varphi _{\beta }}\right\rangle$, $\left|{\varphi _{\gamma }}\right\rangle$) записываются как линейная комбинация собственных состояний энергии (массы) (скажем, $\left|\psi _{1}\right\rangle$, $\left|\psi _{2}\right\rangle$, $\left|\psi _{3}\right\rangle$). То есть,

${\begin{pmatrix}\left|{\varphi _{\alpha }}\right\rangle \\\left|{\varphi _{\beta }}\right\rangle \\\left|{\varphi _{\gamma }}\right\rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Omega _{\alpha 1}&\Omega _{\alpha 2}&\Omega _{\alpha 3}\\\Omega _{\beta 1}&\Omega _{\beta 2}&\Omega _{\beta 3}\\\Omega _{\gamma 1}&\Omega _{\gamma 2}&\Omega _{\gamma 3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left|\psi _{1}\right\rangle \\\left|\psi _{2}\right\rangle \\\left|\psi _{3}\right\rangle \\\end{pmatrix}}$.

В случае лептонов (например, нейтрино) матрицей преобразования является матрица PMNS , а для кварков — матрица CKM .

Недиагональные члены матрицы преобразования представляют связь, а неравные диагональные члены подразумевают смешивание между тремя состояниями.

Матрица преобразования является унитарной, и выполняется соответствующая параметризация (в зависимости от того, является ли это матрицей CKM или PMNS), а значения параметров определяются экспериментально.

См. также

• Матрица СКМ
• нарушение CP
• CPT-симметрия
• Есть
• Матрица ПМНС
• Нейтральный ток
• Нейтральный ток, изменяющий вкус
• Цикл Раби