Приближение вращающейся волны

Приближение вращающейся волны — это приближение, используемое в атомной оптике и магнитном резонансе . членами гамильтониана В этом приближении пренебрегают , которые быстро осциллируют. Это допустимое приближение, когда приложенное электромагнитное излучение близко к резонансу с атомным переходом, а интенсивность мала. Явно, члены гамильтонианов, которые колеблются с частотами $\omega _{L}+\omega _{0}$ пренебрегают, а члены, колеблющиеся с частотами $\omega _{L}-\omega _{0}$ хранятся там, где $\omega _{L}$ - частота света, а $\omega _{0}$ является частотой перехода.

Название приближения происходит от формы гамильтониана в картине взаимодействия , как показано ниже. При переходе к этой картине эволюция атома за счет соответствующего атомного гамильтониана поглощается системой ket , оставляя для рассмотрения только эволюцию за счет взаимодействия атома со световым полем. Именно в этой картине можно пренебречь упомянутыми ранее быстро осциллирующими членами. Поскольку в некотором смысле картину взаимодействия можно рассматривать как вращающуюся вместе с системой кет, сохраняется только та часть электромагнитной волны, которая примерно вращается вместе; компонент, вращающийся в противоположных направлениях, отбрасывается.

Приближение вращающейся волны тесно связано с вековым приближением , но отличается от него .

Математическая формулировка

Для простоты рассмотрим двухуровневую атомную систему с основным и возбужденным состояниями. $|{\text{g}}\rangle$ и $|{\text{e}}\rangle$соответственно (с использованием обозначения скобки Дирака ). Пусть разность энергий между состояниями равна $\hbar \omega _{0}$ так что $\omega _{0}$ - частота перехода системы. Тогда невозмущенный гамильтониан атома можно записать в виде

$H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|$.

Предположим, что на атом действует внешнее классическое электрическое поле частоты $\omega _{L}$, заданный ${\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}$; например, плоская волна, распространяющаяся в пространстве. Тогда в дипольном приближении гамильтониан взаимодействия атома с электрическим полем можно выразить как

$H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}$,

где ${\vec {d}}$ – оператор дипольного момента атома. Таким образом, полный гамильтониан для системы атом-свет равен $H=H_{0}+H_{1}.$ Атом не имеет дипольного момента, когда он находится в собственном энергетическом состоянии , поэтому $\left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.$ Это означает, что определение ${\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle$ позволяет записать дипольный оператор в виде

${\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|$

(с $^{*}$ обозначающий комплексно-сопряженное ). вид Тогда можно показать, что гамильтониан взаимодействия имеет

$H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|$

где $\Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}$ - частота Раби и ${\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}$ - частота встречного вращения. Чтобы понять, почему ${\tilde {\Omega }}$ члены называются встречными вращениями. Рассмотрим унитарное преобразование взаимодействия или картину Дирака , где преобразованный гамильтониан $H_{1,I}$ дается

$H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,$

где $\Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}$ это расстройка между световым полем и атомом.

Приближение

Двухуровневая система на резонансе с движущим полем с (синим) и без (зеленого) применения приближения вращающейся волны.

Это точка, в которой создается приближение вращающейся волны. Было принято дипольное приближение, и чтобы оно оставалось справедливым, электрическое поле должно быть близко к резонансу с атомным переходом. Это означает, что $\Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}$ и комплексные экспоненты, умножающие ${\tilde {\Omega }}$ и ${\tilde {\Omega }}^{*}$ можно считать быстроколебательным. Следовательно, в любом заметном масштабе времени колебания быстро усредняются до 0. Таким образом, приближение вращающейся волны представляет собой утверждение, что этими членами можно пренебречь, и, следовательно, гамильтониан можно записать в картине взаимодействия как

$H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.$

Наконец, преобразуясь обратно в картину Шрёдингера , гамильтониан имеет вид

$H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.$

Другим критерием аппроксимации вращающейся волны является условие слабой связи, то есть частота Раби должна быть много меньше частоты перехода.

На этом этапе приближение вращающейся волны завершено. Обычно первым шагом после этого является удаление оставшейся временной зависимости в гамильтониане с помощью другого унитарного преобразования.

Вывод

Учитывая приведенные выше определения, гамильтониан взаимодействия имеет вид

${\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}$

как заявлено. Следующий шаг – найти гамильтониан в картине взаимодействия : $H_{1,I}$. Требуемое унитарное преобразование есть

${\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}$,

где третий шаг можно доказать, используя разложение в ряд Тейлора и используя ортогональность состояний $|{\text{g}}\rangle$ и $|{\text{e}}\rangle$. Обратите внимание, что умножение на общую фазу $e^{i\omega _{0}t/2}$ на унитарный оператор не влияет на основную физику, поэтому в дальнейшем использовании $U$ мы будем пренебрегать этим. Применение $U$ дает:

${\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}$

Теперь мы применим RWA, исключив термины встречного вращения, как описано в предыдущем разделе:

$H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|$

Наконец, преобразуем приближенный гамильтониан $H_{1,I}^{\text{RWA}}$ вернемся к картине Шредингера:

${\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}$

Приближение не повлияло на атомный гамильтониан, поэтому полный гамильтониан в картине Шрёдингера в приближении вращающейся волны равен

$H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.$