Стационарное состояние

О концепции, используемой в классической экономике, см. Стационарная экономика § Концепция стационарного состояния в классической экономике .

Стационарное состояние — это квантовое состояние , все наблюдаемые в котором не зависят от времени. Это собственный вектор оператора энергии (а не квантовая суперпозиция разных энергий). Его также называют собственным вектором энергии , собственным состоянием энергии , собственной функцией энергии или энергией собственной . Это очень похоже на концепцию атомной орбитали и молекулярной орбитали в химии, с некоторыми небольшими различиями, объясненными ниже .

Введение

Гармонический осциллятор в классической механике (A–B) и квантовой механике (C–H). В (А–В) шарик, прикрепленный к пружине , колеблется вперед и назад. (C – H) – шесть решений уравнения Шредингера для этой ситуации. Горизонтальная ось — это положение, вертикальная ось — действительная (синяя) или мнимая часть (красная) волновой функции . (C, D, E, F), но не (G, H), являются стационарными состояниями или стоячими волнами . Частота колебаний стоячей волны, умноженная на постоянную Планка , является энергией состояния.

Стационарное состояние называется стационарным , потому что система остается в том же состоянии с течением времени во всех наблюдаемых отношениях. Для одночастичного гамильтониана это означает, что частица имеет постоянное распределение вероятностей своего положения, скорости, спина и т. д. (Это верно, если предположить, что окружающая среда частицы также статична, т.е. гамильтониан не меняется во времени.) Сама волновая функция не является стационарной: она постоянно меняет свой общий комплексный фазовый коэффициент , чтобы сформировать стоячую волну . Частота колебаний стоячей волны, умноженная на постоянную Планка , есть энергия состояния согласно соотношению Планка–Эйнштейна .

Стационарные состояния — это квантовые состояния , которые являются решениями независимого от времени уравнения Шрёдингера : $${\hat {H}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle ,$$где

• $|\Psi \rangle$ — квантовое состояние , которое является стационарным состоянием, если оно удовлетворяет этому уравнению;
• ${\hat {H}}$ – гамильтонов оператор ;
• $E_{\Psi }$ является действительным числом и соответствует собственному значению энергии состояния $|\Psi \rangle$.

Это уравнение собственных значений : ${\hat {H}}$ — линейный оператор в векторном пространстве, $|\Psi \rangle$ является собственным вектором ${\hat {H}}$, и $E_{\Psi }$ является его собственным значением.

Если стационарное состояние $|\Psi \rangle$ подставляется в зависящее от времени уравнение Шредингера, результат: $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =E_{\Psi }|\Psi \rangle .$$

Предполагая, что ${\hat {H}}$ не зависит от времени (не меняется во времени), это уравнение справедливо для любого времени t . Следовательно, это дифференциальное уравнение, описывающее, как $|\Psi \rangle$ варьируется во времени. Его решение $$|\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .$$

Следовательно, стационарное состояние представляет собой стоячую волну , которая колеблется с общим комплексным фазовым коэффициентом , а угловая частота ее колебаний равна ее энергии, разделенной на $\hbar$.

Стационарные государственные свойства

Три волновых решения нестационарного уравнения Шрёдингера для гармонического осциллятора . Слева: действительная часть (синий) и мнимая часть (красный) волновой функции. Справа: вероятность найти частицу в определенной позиции. Две верхние строки — это два стационарных состояния, а нижняя — состояние суперпозиции. ${\textstyle \psi _{N}\equiv (\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$, что не является стационарным состоянием. Правый столбец иллюстрирует, почему стационарные состояния называются «стационарными».

Как показано выше, стационарное состояние не является математически постоянным: $$|\Psi (t)\rangle =e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .$$

Однако все наблюдаемые свойства состояния на самом деле постоянны во времени. Например, если $|\Psi (t)\rangle$ представляет собой простую одномерную одночастичную волновую функцию $\Psi (x,t)$, вероятность того, что частица находится в точке x, равна $$|\Psi (x,t)|^{2}=\left|e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }\Psi (x,0)\right|^{2}=\left|e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }\right|^{2}\left|\Psi (x,0)\right|^{2}=\left|\Psi (x,0)\right|^{2},$$которая не зависит от времени t .

Картина Гейзенберга — это альтернативная математическая формулировка квантовой механики , в которой стационарные состояния действительно математически постоянны во времени.

Как упоминалось выше, эти уравнения предполагают, что гамильтониан не зависит от времени. Это просто означает, что стационарные состояния являются стационарными только тогда, когда остальная часть системы также фиксирована и стационарна. Например, 1s-электрон в атоме водорода находится в стационарном состоянии, но если атом водорода вступит в реакцию с другим атомом, то электрон, конечно, возмутится.

Спонтанный распад

Спонтанный распад усложняет вопрос о стационарных состояниях. Например, согласно простой ( нерелятивистской ) квантовой механике , атом водорода имеет множество стационарных состояний: 1s, 2s, 2p и так далее — все являются стационарными состояниями. Но на самом деле только основное состояние 1s действительно «стационарно»: электрон на более высоком энергетическом уровне спонтанно испускает один или несколько фотонов и распадается на основное состояние. Кажется, это противоречит идее о том, что стационарные состояния должны иметь неизменные свойства.

Объяснение состоит в том, что гамильтониан, используемый в нерелятивистской квантовой механике, является лишь приближением к гамильтониану из квантовой теории поля . Электронные состояния более высоких энергий (2s, 2p, 3s и т. д.) являются стационарными состояниями согласно приближенному гамильтониану, но не стационарными согласно истинному гамильтониану из-за вакуумных флуктуаций . С другой стороны, состояние 1s действительно является стационарным состоянием как согласно приближенному, так и истинному гамильтониану.

Сравнение с «орбиталью» в химии

Основные статьи: Атомная орбиталь и Молекулярная орбиталь

Орбиталь — это стационарное состояние (или его приближение) одноэлектронного атома или молекулы; более конкретно, атомная орбиталь для электрона в атоме или молекулярная орбиталь для электрона в молекуле.

Для молекулы, содержащей только один электрон (например, атомарный водород или H ₂ ⁺ ), орбиталь — это то же самое, что и полное стационарное состояние молекулы. Однако для многоэлектронной молекулы орбиталь полностью отличается от полного стационарного состояния, которое представляет собой многочастичное состояние, требующее более сложного описания (например, определителя Слейтера ). В частности, в многоэлектронной молекуле орбиталь — это не полное стационарное состояние молекулы, а скорее стационарное состояние одного электрона внутри молекулы. Эта концепция орбитали имеет смысл только в приближении, согласно которому, если мы игнорируем члены мгновенного электрон-электронного отталкивания в гамильтониане в качестве упрощающего предположения, мы можем разложить полный собственный вектор многоэлектронной молекулы на отдельные вклады от отдельных электронных стационарных состояний. (орбитали), каждая из которых получена в одноэлектронном приближении. (К счастью, химики и физики часто (но не всегда) могут использовать это «одноэлектронное приближение».) В этом смысле в многоэлектронной системе орбиталь можно рассматривать как стационарное состояние отдельного электрона в системе. .

В химии расчет молекулярных орбиталей обычно также предполагает приближение Борна-Оппенгеймера .

См. также

• Переход государства
• Квантовое число
• Квантовомеханический вакуум или вакуумное состояние
• Виртуальная частица
• Устойчивое состояние

Дальнейшее чтение

• Стационарные состояния , Алан Холден, Oxford University Press, 1971, ISBN   0-19-851121-3