Открытая квантовая система

В физике открытая квантовая система — это квантово -механическая система, взаимодействующая с внешней квантовой системой , известной как среда или ванна . В общем, эти взаимодействия существенно меняют динамику системы и приводят к квантовой диссипации , в результате чего информация, содержащаяся в системе, теряется в ее среде. Поскольку ни одна квантовая система не изолирована полностью от своего окружения, ^[1] важно разработать теоретическую основу для рассмотрения этих взаимодействий, чтобы получить точное понимание квантовых систем.

Методы, разработанные в контексте открытых квантовых систем, доказали свою эффективность в таких областях, как квантовая оптика , квантовая теория измерений , квантовая статистическая механика , квантовая информатика, квантовая термодинамика , квантовая космология , квантовая биология и полуклассические приближения.

Квантовая система и окружающая среда

Полное описание квантовой системы требует включения окружающей среды. Полное описание полученной комбинированной системы требует включения ее среды, в результате чего получается новая система, которую можно полностью описать только в том случае, если включена ее среда и так далее. Конечным результатом этого процесса внедрения является состояние всей Вселенной, описываемое волновой функцией. $\Psi$ . Тот факт, что каждая квантовая система обладает некоторой степенью открытости, также означает, что ни одна квантовая система никогда не может находиться в чистом состоянии . Чистое состояние унитарно эквивалентно основному состоянию с нулевой температурой , запрещенному третьим законом термодинамики .

Даже если объединенная система находится в чистом состоянии и может быть описана волновой функцией $\Psi$ , подсистема вообще не может быть описана волновой функцией. Это наблюдение легло в основу формализма матриц плотности или операторов плотности, введенных Джоном фон Нейманом . ^[2] в 1927 году и независимо, но менее систематически Львом Ландау в 1927 году и Феликсом Блохом в 1946 году. В общем, состояние подсистемы описывается оператором плотности $\rho$ и математическое ожидание наблюдаемой $A$ скалярным произведением $(\rho \cdot A)={\rm {{tr}\{\rho A\}}}$ . Невозможно узнать, является ли объединенная система чистой, зная только наблюдаемые подсистемы. В частности, если объединенная система имеет квантовую запутанность , состояние подсистемы не является чистым.

Динамика

В общем случае временная эволюция замкнутых квантовых систем описывается унитарными операторами, действующими на систему. Однако в случае открытых систем взаимодействие между системой и ее средой приводит к тому, что динамику системы невозможно точно описать с помощью одних только унитарных операторов.

Эволюцию квантовых систем во времени можно определить путем решения эффективных уравнений движения, также известных как главные уравнения , которые управляют тем, как матрица плотности, описывающая систему, изменяется с течением времени, а также динамикой наблюдаемых величин, связанных с системой. Однако в целом среда, которую мы хотим смоделировать как часть нашей системы, очень велика и сложна, что делает поиск точных решений основных уравнений трудным, если не невозможным. По сути, теория открытых квантовых систем стремится к экономичному рассмотрению динамики системы и ее наблюдаемых. Типичные наблюдаемые, представляющие интерес, включают такие вещи, как энергия и устойчивость квантовой когерентности (т.е. мера когерентности состояния). Потеря энергии в окружающую среду называется квантовой диссипацией , а потеря когерентности называется квантовой декогеренцией .

Из-за сложности определения решений главных уравнений для конкретной системы и среды было разработано множество методов и подходов. Общая цель состоит в том, чтобы получить сокращенное описание, в котором динамика системы рассматривается явно, а динамика ванны описывается неявно. Основное предположение состоит в том, что вся комбинация система-среда представляет собой большую закрытую систему. Следовательно, его эволюция во времени определяется унитарным преобразованием, порожденным глобальным гамильтонианом . Для сценария ванны комбинированной системы глобальный гамильтониан можно разложить на:

H=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}

где Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»: ): {\displaystyle H_{\rm S}} - гамильтониан системы, $H_{\rm {B}}$ – гамильтониан ванны и $H_{\rm {SB}}$ взаимодействие системы с ванной. Состояние системы затем можно получить из частичной трассировки объединенной системы и ванны: $\rho _{\rm {S}}(t)={\rm {{tr}_{\rm {B}}\{\rho _{SB}(t)\}}}$ . ^[3]

Другое распространенное предположение, которое используется для облегчения решения систем, — это предположение, что состояние системы в следующий момент зависит только от текущего состояния системы. другими словами, система не имеет памяти о своих предыдущих состояниях. Системы, обладающие этим свойством, известны как марковские системы. Это приближение оправдано, когда рассматриваемая система имеет достаточно времени для того, чтобы система релаксировала до равновесия, прежде чем она снова будет возмущена взаимодействиями с окружающей средой. Для систем, в которых происходят очень быстрые или очень частые возмущения из-за их связи с окружающей средой, это приближение становится гораздо менее точным.

Марковские уравнения

Когда взаимодействие между системой и окружающей средой слабое, теория возмущений, зависящая от времени , кажется подходящей для рассмотрения эволюции системы. Другими словами, если взаимодействие между системой и ее окружением слабое, то любые изменения в объединенной системе с течением времени можно аппроксимировать как происходящие только от рассматриваемой системы. Другое типичное предположение состоит в том, что система и ванна изначально не коррелируют. $\rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$ . Эта идея возникла у Феликса Блоха и была развита Альфредом Редфилдом при выводе уравнения Редфилда . Уравнение Редфилда — это марковское основное уравнение, которое описывает эволюцию во времени матрицы плотности объединенной системы. Недостаток уравнения Редфилда состоит в том, что оно не сохраняет положительность оператора плотности.

формальное построение локального уравнения движения с марковским свойством Альтернативой редуцированному выводу является . Теория основана на аксиоматическом подходе. Основная отправная точка – полностью позитивная карта . Предполагается, что начальное состояние системы и среды не коррелирует. $\rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$ а объединенная динамика генерируется унитарным оператором . Такое отображение подпадает под категорию оператора Крауса . Наиболее общим типом однородного по времени управляющего уравнения с марковским свойством, описывающего неунитарную эволюцию матрицы плотности ρ, сохраняющую следы и полностью положительную при любых начальных условиях, является уравнение Горини–Косаковского–Сударшана–Линдблада или уравнение ГКСЛ. :

{\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})

$H_{\rm {S}}$ является ( эрмитовой ) гамильтоновой частью и ${\cal {L}}_{\rm {D}}$ :

{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)

- диссипативная часть, описывающая неявно через системные операторы $V_{n}$ влияние ванны на систему.Свойство Маркова предполагает, что система и ванна всегда некоррелированы. $\rho _{\rm {SB}}=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}$ .Уравнение ГКСЛ однонаправлено и приводит к любому начальному состоянию. $\rho _{\rm {S}}$ к стационарному решению, которое является инвариантом уравнения движения ${\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0$ .Семейство отображений, порожденное уравнением ГКСЛ, образует квантовую динамическую полугруппу . В некоторых областях, таких как квантовая оптика , термин супероператор Линдблада часто используется для выражения главного квантового уравнения для диссипативной системы. Э. Б. Дэвис вывел GKSL с помощью основных уравнений марковских свойств , используя теорию возмущений и дополнительные приближения, такие как вращающаяся волна или вековая волна, тем самым исправив недостатки уравнения Редфилда . Конструкция Дэвиса согласуется с критерием устойчивости Кубо-Мартина-Швингера для теплового равновесия, т.е. состояния КМС . ^[4] Альтернативный подход к ремонту Редфилда был предложен Дж. Тингной, Ж.-С. Ван и П. Хангги ^[5] что позволяет взаимодействию системы с ванной играть роль в равновесии, отличную от состояния КМС.

В 1981 году Амир Калдейра и Энтони Дж. Леггетт предложили упрощающее предположение, согласно которому ванна разлагается на нормальные моды, представленные как гармонические осцилляторы, линейно связанные с системой. ^[6] В результате влияние ванны можно обобщить спектральной функцией ванны. Этот метод известен как модель Калдейры-Леггетта или модель гармонической ванны. Чтобы продолжить и получить явные решения, с помощью интеграла по траекториям описание квантовой механики обычно используется . Большая часть силы этого метода заключается в том, что гармонические осцилляторы относительно хорошо изучены по сравнению с истинной связью, существующей между системой и ванной. К сожалению, хотя модель Калдейры-Леггетта приводит к физически согласованной картине квантовой диссипации, ее эргодические свойства слишком слабы, и поэтому динамика модели не порождает широкомасштабную квантовую запутанность между модами ванны.

Альтернативная модель ванны – спиннинг. ^[7] При низких температурах и слабой связи системы с ванной модели Кальдейры-Леггетта и центрифугирующей ванны эквивалентны. Но при более высоких температурах или сильной связи система-ванна модель спин-ванны обладает сильными эргодическими свойствами. Как только система связана, между всеми модами возникает значительная запутанность. Другими словами, модель центрифугирующей ванны может имитировать модель Калдейры-Леггетта, но обратное неверно.

Примером природной системы, соединенной с центрифугирующей ванной, является центр азотных вакансий (NV) в алмазах. В этом примере центром окраски является система, а ванна состоит из углерода-13 ( ¹³в) примеси, взаимодействующие с системой посредством магнитного диполь-дипольного взаимодействия .

Для открытых квантовых систем, где колебания ванны особенно быстрые, их можно усреднить, наблюдая за достаточно большими изменениями во времени. Это возможно потому, что средняя амплитуда быстрых колебаний на большом временном масштабе равна центральному значению, которое всегда можно выбрать равным нулю с небольшим сдвигом по вертикальной оси. Этот метод упрощения задач известен как вековое приближение.

Немарковские уравнения

Открытые квантовые системы, не обладающие марковским свойством, обычно гораздо труднее решить. Во многом это связано с тем, что следующее состояние немарковской системы определяется каждым из ее предыдущих состояний, что быстро увеличивает требования к памяти для расчета эволюции системы. В настоящее время в методах обработки таких систем используются так называемые методы проекционного оператора . В этих методах используется оператор проекции ${\mathcal {P}}$ , который эффективно применяет трассировку к среде, как описано ранее. Результат применения ${\mathcal {P}}$ к $\rho$ (т.е. расчет ${\mathcal {P}}\rho$ ) называется частью соответствующей $\rho$ . Для полноты картины еще один оператор ${\mathcal {Q}}$ определяется так, что ${\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}={\mathcal {I}}$ где ${\mathcal {I}}$ является единичной матрицей. Результат применения ${\mathcal {Q}}$ к $\rho$ (т.е. расчет ${\mathcal {Q}}\rho$ ) называется нерелевантной частью $\rho$ . Основная цель этих методов состоит в том, чтобы затем вывести основное уравнение, которое определяет эволюцию ${\mathcal {P}}\rho$ .

Один из таких выводов с использованием метода проекционного оператора приводит к так называемому уравнению Накадзимы-Цванцига . Этот вывод подчеркивает проблему нелокальности приведенной динамики во времени:

\partial _{t}{\rho }_{\mathrm {S} }={\mathcal {P}}{\cal {L}}{{\rho }_{\mathrm {S} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {S} }}(t-{t}')}.

Здесь эффект бани на протяжении всей временной эволюции системы скрыт в ядре памяти $\kappa (\tau )$ . Хотя уравнение Накадзимы-Цванцига является точным уравнением, справедливым почти для всех открытых квантовых систем и сред, решить его может быть очень сложно. Это означает, что обычно необходимо вводить приближения, чтобы уменьшить сложность проблемы до более управляемой. Например, предположение о быстрой ванне должно привести к локальному уравнению во времени: $\partial _{t}\rho _{S}={\cal {L}}\rho _{S}$ . Другие примеры допустимых приближений включают приближение слабой связи и приближение одиночной связи.

В некоторых случаях метод проекционного оператора можно использовать для уменьшения зависимости следующего состояния системы от всех ее предыдущих состояний. Этот метод приближения к открытым квантовым системам известен как метод проекционного оператора без свертки по времени и используется для генерации главных уравнений, которые по своей сути локальны во времени. Поскольку эти уравнения могут пренебрегать большей частью истории системы, их часто легче решить, чем такие уравнения, как уравнение Накадзимы-Цванцига.

Другой подход возникает как аналог классической теории диссипации, разработанной Рёго Кубо и Ю. Танимурой. Этот подход связан с иерархическими уравнениями движения , которые встраивают оператор плотности в большее пространство вспомогательных операторов, так что локальное уравнение времени получается для всего набора, а их память содержится во вспомогательных операторах.

См. также

Ссылки

^ Брейер, Х.-П.; Петруччионе, Ф. (2007). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. п. VII. Квантово-механические системы следует рассматривать как открытые системы.
^ фон Нейман, Джон (1927), «Вероятностная структура квантовой механики», Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272.
^ Кослофф, Ронни (2013). «Квантовая термодинамика: динамическая точка зрения» . Энтропия . 15 (6): 21.00–21.28. arXiv : 1305.2268 . Бибкод : 2013Entrp..15.2100K . дои : 10.3390/e15062100 . ISSN 1099-4300 . Эта статья содержит цитаты из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) .
^ Брейер, Хайнц-Петер; Ф. Петруччионе (2007). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921390-0 .
^ Тингна, Джузар; Ван, Цзянь-Шэн; Хэнги, Питер (21 мая 2012 г.). «Обобщенное состояние Гиббса с модифицированным решением Редфилда: точное согласие до второго порядка». Журнал химической физики . 136 (19): 194110. arXiv : 1203.6207 . Бибкод : 2012JChPh.136s4110T . дои : 10.1063/1.4718706 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 22612083 . S2CID 7014354 .
^ А. Калдейра и А. Дж. Леггетт, Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах , Physical Review Letters, vol. 46, с. 211, 1981.
^ Прокофьев Н.В.; Штамп, PCE (2000). «Теория спиннинговой ванны». Отчеты о прогрессе в физике . 63 (4): 669. arXiv : cond-mat/0001080 . Бибкод : 2000RPPH...63..669P . дои : 10.1088/0034-4885/63/4/204 . ISSN 0034-4885 . S2CID 55075035 .

Несекретные ссылки

Аккарди, Луиджи; Лу, Юн Ган; Волович, ИВ (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0 .
Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и их приложения . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6 .
Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пийе, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: Марковский подход . Спрингер. ISBN 978-3-540-30992-5 .
Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-206150-9 .
Ингарден, Роман С.; Косаковский А.; Ойя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5 .
Линдблад, Г. (1983). Неравновесная энтропия и необратимость . Дордрехт: Дельта Рейдель. ISBN 978-1-4020-0320-2 .
Околович, Дж.; Плошайчак, М.; Назаревич, В. (2012). «О происхождении ядерной кластеризации». Приложение «Прогресс теоретической физики» . 196 : 230–243. arXiv : 1202.6290 . Бибкод : 2012ПТПС.196..230О . дои : 10.1143/PTPS.196.230 . S2CID 119109268 .
Тарасов, Василий Евгеньевич (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем . Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1 .
Вайс, Ульрих (2012). Квантовые диссипативные системы (4-е изд.). Всемирная научная. ISBN 978-981-4374-91-0 .
Уайзман, Ховард М.; Милберн, Джерард Дж. (2010). Квантовые измерения и контроль . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80442-4 .

Внешние ссылки

Учебные материалы, связанные с открытыми квантовыми системами, в Викиверситете

[1] Брейер, Х.-П.; Петруччионе, Ф. (2007). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. п. VII. Квантово-механические системы следует рассматривать как открытые системы.

[2] фон Нейман, Джон (1927), «Вероятностная структура квантовой механики», Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272.

[Kosloff20132-3] Кослофф, Ронни (2013). «Квантовая термодинамика: динамическая точка зрения» . Энтропия . 15 (6): 21.00–21.28. arXiv : 1305.2268 . Бибкод : 2013Entrp..15.2100K . дои : 10.3390/e15062100 . ISSN 1099-4300 . Эта статья содержит цитаты из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) .

[4] Брейер, Хайнц-Петер; Ф. Петруччионе (2007). Теория открытых квантовых систем . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921390-0 .

[5] Тингна, Джузар; Ван, Цзянь-Шэн; Хэнги, Питер (21 мая 2012 г.). «Обобщенное состояние Гиббса с модифицированным решением Редфилда: точное согласие до второго порядка». Журнал химической физики . 136 (19): 194110. arXiv : 1203.6207 . Бибкод : 2012JChPh.136s4110T . дои : 10.1063/1.4718706 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 22612083 . S2CID 7014354 .

[6] А. Калдейра и А. Дж. Леггетт, Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах , Physical Review Letters, vol. 46, с. 211, 1981.

[7] Прокофьев Н.В.; Штамп, PCE (2000). «Теория спиннинговой ванны». Отчеты о прогрессе в физике . 63 (4): 669. arXiv : cond-mat/0001080 . Бибкод : 2000RPPH...63..669P . дои : 10.1088/0034-4885/63/4/204 . ISSN 0034-4885 . S2CID 55075035 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]