Позитивный элемент

В математике элемент если называется *-алгебры положительным , он представляет собой сумму элементов вида $a^{*}a$.

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Элемент $a\in {\mathcal {A}}$ называется положительным, если имеется конечное число элементов $a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)$, так что ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}}$ держит. Это также обозначается $a\geq 0$.

Множество положительных элементов обозначается ${\mathcal {A}}_{+}$.

Особым случаем, имеющим особое значение, является случай, когда ${\mathcal {A}}$ — полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$), которая называется C*-алгеброй .

Примеры

• Единичный ​ элемент $e$ единичной * -алгебры положительна.
• Для каждого элемента $a\in {\mathcal {A}}$, элементы $a^{*}a$ и $aa^{*}$ положительны по определению.

В случае ${\mathcal {A}}$ является C*-алгеброй, имеет место следующее:

• Позволять $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ — нормальный элемент , то для любой положительной функции $f\geq 0$ который непрерывен в спектре ​ $a$ непрерывное функциональное исчисление определяет положительный элемент $f(a)$.
• Каждая проекция , т.е. каждый элемент $a\in {\mathcal {A}}$ для чего $a=a^{*}=a^{2}$ держится, является положительным. Для спектра $\sigma (a)$ такого идемпотентного элемента, $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$ выполняется, как это видно из непрерывного функционального исчисления.

Критерии

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть C*-алгеброй и $a\in {\mathcal {A}}$. Тогда следующие условия эквивалентны:

• Для спектра $\sigma (a)\subseteq [0,\infty )$ держит и $a$ это обычный элемент.
• Существует элемент $b\in {\mathcal {A}}$, такой, что $a=bb^{*}$.
• Существует (единственный) самосопряженный элемент $c\in {\mathcal {A}}_{sa}$ такой, что $a=c^{2}$.

Если ${\mathcal {A}}$ — унитальная *-алгебра с единичным элементом $e$, то, кроме того, следующие утверждения эквивалентны:

• $\left\|te-a\right\|\leq t$ для каждого $t\geq \left\|a\right\|$ и $a$ является самосопряженным элементом.
• $\left\|te-a\right\|\leq t$ для некоторых $t\geq \left\|a\right\|$ и $a$ является самосопряженным элементом.

Характеристики

В *-алгебрах

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Затем:

• Если $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ является положительным элементом, то $a$ является самосопряженным.
• Набор положительных элементов ${\mathcal {A}}_{+}$ — выпуклый конус в вещественном векторном пространстве самосопряженных элементов ${\mathcal {A}}_{sa}$. Это означает, что $\alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}$ держится для всех $a,b\in {\mathcal {A}}$ и $\alpha \in [0,\infty )$.
• Если $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ является положительным элементом, то $b^{*}ab$ также положителен для каждого элемента $b\in {\mathcal {A}}$.
• Для линейного промежутка ${\mathcal {A}}_{+}$ имеет место следующее: $\langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}$ и ${\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}$.

В C*-алгебрах

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть C*-алгеброй. Затем:

• Используя непрерывное функциональное исчисление, для каждого $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ и $n\in \mathbb {N}$ существует однозначно определенный $b\in {\mathcal {A}}_{+}$ это удовлетворяет $b^{n}=a$, то есть уникальный $n$-й корень . В частности, квадратный корень для каждого положительного элемента существует . Поскольку для каждого $b\in {\mathcal {A}}$ элемент $b^{*}b$ положительно, это позволяет определить уникальное абсолютное значение : ${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$.
• Для каждого действительного числа $\alpha \geq 0$ есть положительный элемент $a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}$ для чего $a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ держится для всех $\beta \in [0,\infty )$. Отображение $\alpha \mapsto a^{\alpha }$ является непрерывным. Отрицательные значения для $\alpha$ возможны также для обратимых элементов $a$.
• Произведения коммутативных положительных элементов также положительны. Итак, если $ab=ba$ держится на позитиве $a,b\in {\mathcal {A}}_{+}$, затем $ab\in {\mathcal {A}}_{+}$.
• Каждый элемент $a\in {\mathcal {A}}$ можно однозначно представить как линейную комбинацию четырех положительных элементов. Для этого $a$ сначала разлагается на самосопряженную действительную и мнимую части , а затем они разлагаются на положительную и отрицательную части с использованием непрерывного функционального исчисления. Ибо оно гласит, что ${\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}$, с ${\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}$.
• Если оба $a$ и $-a$ положительны $a=0$ держит.
• Если ${\mathcal {B}}$ является C*-подалгеброй ${\mathcal {A}}$, затем ${\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}$.
• Если ${\mathcal {B}}$ есть еще одна C*-алгебра и $\Phi$ является *-гомоморфизмом из ${\mathcal {A}}$ к ${\mathcal {B}}$, затем $\Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\Phi ({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}$ держит.
• Если $a,b\in {\mathcal {A}}_{+}$ являются положительными элементами, для которых $ab=0$, они коммутируют и $\left\|a+b\right\|=\max(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|)$ держит. Такие элементы называются ортогональными и пишут $a\bot b$.

Частичный заказ

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Свойство быть положительным элементом определяет инвариантный при переносе частичный порядок на множестве самосопряженных элементов. ${\mathcal {A}}_{sa}$. Если $b-a\in {\mathcal {A}}_{+}$ держится за $a,b\in {\mathcal {A}}$, пишет один $a\leq b$ или $b\geq a$.

Этот частичный порядок удовлетворяет свойствам $ta\leq tb$ и $a+c\leq b+c$ для всех $a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}$ с $a\leq b$ и $t\in [0,\infty )$.

Если ${\mathcal {A}}$ является C*-алгеброй, частичный порядок также обладает следующими свойствами для $a,b\in {\mathcal {A}}$:

• Если $a\leq b$ держится, тогда $c^{*}ac\leq c^{*}bc$ верно для каждого $c\in {\mathcal {A}}$. Для каждого $c\in {\mathcal {A}}_{+}$ который коммутирует с $a$ и $b$ даже $ac\leq bc$ держит.
• Если $-b\leq a\leq b$ держится, тогда $\left\|a\right\|\leq \left\|b\right\|$.
• Если $0\leq a\leq b$ держится, тогда ${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }}$ справедливо для всех действительных чисел $0<\alpha \leq 1$.
• Если $a$ является обратимым и $0\leq a\leq b$ держится, тогда $b$ обратим и для обратных $b^{-1}\leq a^{-1}$ держит.

См. также

• Неотрицательная матрица
• Положительный оператор (гильбертово пространство)

Цитаты

Библиография

• Блэкадар, Брюс (2006). Операторные алгебры. Теория С*-алгебр и алгебры фон Неймана . Берлин/Гейдельберг: Springer. ISBN  3-540-28486-9 .
• Диксмье, Жак (1977). С*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN  0-7204-0762-1 . английский перевод C*-алгебры и их представления (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983). Основы теории операторных алгебр. Том 1. Элементарная теория . Нью-Йорк/Лондон: Академическая пресса. ISBN  0-12-393301-3 .
• Палмер, Теодор В. (2001). Банаховые алгебры и общая теория*-алгебр: Том 2, *-алгебры . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36638-0 .