Положительные и отрицательные стороны

Положительная и отрицательная части f ( x ) = x ² − 4

В математике положительная часть действительной функции или расширенной действительнозначной определяется формуле по $$f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ if }}f(x)>0\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$$

, график Интуитивно $f^{+}$ получается путем взятия графика $f$, отсекая часть под осью X и позволяя $f^{+}$ возьмите там нулевое значение.

Аналогично, часть f отрицательная определяется как $$f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ if }}f(x)<0\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$$

Обратите внимание, что оба f ⁺ и е ⁻ являются неотрицательными функциями. Особенностью терминологии является то, что «отрицательная часть» не является ни отрицательной, ни частью (как мнимая часть комплексного числа не является ни мнимой, ни частью).

Функцию f можно выразить через f ⁺ и е ⁻ как $$f=f^{+}-f^{-}.$$

Также обратите внимание, что $$|f|=f^{+}+f^{-}.$$

Используя эти два уравнения, можно выразить положительную и отрицательную части как $${\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}$$

Другое представление с использованием скобки Айверсона : $${\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}$$

Можно определить положительную и отрицательную часть любой функции со значениями в линейно упорядоченной группе .

единичного Функция линейного изменения является положительной частью функции идентичности .

Теоретико-мерные свойства

Учитывая измеримое пространство ( X , Σ) , расширенная вещественнозначная функция f измерима ее тогда и только тогда, когда положительная и отрицательная части измеримы. Следовательно, если такая функция f измерима, то измеримо и ее абсолютное значение | ж | , являющийся суммой двух измеримых функций. Обратное, однако, не обязательно верно: например, приняв f как $$f=1_{V}-{\frac {1}{2}},$$где V — множество Витали , ясно, что f не измеримо, но его абсолютное значение есть, будучи постоянной функцией.

Положительная и отрицательная части функции используются для определения интеграла Лебега для действительной функции. Аналогично этому разложению функции можно разложить знаковую меру на положительную и отрицательную части — см. теорему Хана о разложении .

См. также

• Выпрямитель (нейронные сети)
• Четные и нечетные функции
• Действительные и мнимые части

Ссылки

• Джонс, Фрэнк (2001). Интегрирование Лебега в евклидовом пространстве (Переизданное изд.). Садбери, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. ISBN  0-7637-1708-8 .
• Хантер, Джон К; Нахтергаэле, Бруно (2001). Прикладной анализ . Сингапур; Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  981-02-4191-7 .
• Рана, Индер К. (2002). Введение в измерение и интеграцию (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2974-2 .

Внешние ссылки

• Положительная MathWorld часть