Иерархические уравнения движения

Метод иерархических уравнений движения (HEOM), разработанный Ёситакой Танимурой и Рёго Кубо в 1989 году: - это непертурбативный подход, разработанный для изучения эволюции матрицы плотности $\rho (t)$ квантовых диссипативных систем. Этот метод может непертурбативно рассматривать взаимодействие системы с ванной, а также времена корреляции немарковского шума без помех со стороны типичных допущений, от которых страдают традиционные уравнения Редфилда (основные), такие как борновское, марковское приближение и приближение вращающейся волны. HEOM применим даже при низких температурах, когда квантовыми эффектами можно пренебречь.

Иерархическое уравнение движения системы в гармонической марковской ванне имеет вид

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}_{n}=-({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{A}^{\times }+n\gamma ){\hat {\rho }}_{n}-{i \over \hbar }{\hat {V}}^{\times }{\hat {\rho }}_{n+1}+{in \over \hbar }{\hat {\Theta }}{\hat {\rho }}_{n-1}$

Иерархические уравнения движения

HEOM разработаны для описания временной эволюции матрицы плотности. $\rho (t)$ для открытой квантовой системы. Это непертурбативный, немарковский подход к распространению во времени квантового состояния. Вдохновленный формализмом интеграла по траекториям, представленным Фейнманом и Верноном, Танимура вывел HEOM из комбинации статистических и квантово-динамических методов. Использование гамильтониана двухуровневой системы спин-бозон

${\hat {H}}={\hat {H}}_{A}({\hat {a}}^{+},{\hat {a}}^{-})+V({\hat {a}}^{+},{\hat {a}}^{-})\sum _{j}c_{j}{\hat {x}}_{j}+\sum _{j}{\big [}{\ {\hat {p}}^{2} \over {2}}+{\frac {1}{2}}{\hat {x}}_{j}^{2}{\big ]}$

Характеристика фононов ванны по спектральной плотности $J(\omega )=\sum \nolimits _{j}c_{j}^{2}\delta (\omega -\omega _{j})$

Записав матрицу плотности в обозначениях интеграла по путям и используя функционал влияния Фейнмана-Вернона, все координаты ванны в терминах взаимодействия можно сгруппировать в этот функционал влияния, который в некоторых конкретных случаях можно вычислить в замкнутой форме. Предполагая наличие высокотемпературной тепловой ванны со спектральным распределением Друде. $J(\omega )=\hbar \eta \gamma ^{2}\omega /\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})$ и взяв производную по времени матрицы плотности интегральной формы пути, уравнение и записав его в иерархической форме, получим

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}_{n}=-({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{A}^{\times }+n\gamma ){\hat {\rho }}_{n}-{i \over \hbar }{\hat {V}}^{\times }{\hat {\rho }}_{n+1}+{in \over \hbar }{\hat {\Theta }}{\hat {\rho }}_{n-1}$

где $\Theta$ разрушает возбуждение системы и поэтому может называться оператором релаксации.

${\hat {\Theta }}=-{\frac {\eta \gamma }{\beta }}{\big (}{\hat {V}}^{\times }-i{\frac {\beta \hbar \gamma }{2}}{\hat {V}}^{\circ }{\big )}$

Второй срок в ${\hat {\Theta }}$ — температурная поправка с обратной температурой $\beta =1/k_{B}T$ и введено обозначение «Гипероператор».

${\hat {A}}^{\times }{\hat {\rho }}={\hat {A}}{\hat {\rho }}-{\hat {\rho }}{\hat {A}}$

${\hat {A}}^{\circ }{\hat {\rho }}={\hat {A}}{\hat {\rho }}+{\hat {\rho }}{\hat {A}}$

Как и в случае стохастического уравнения Лиувилля Кубо в иерархической форме, счетчик $n$ может достигать бесконечности, что является проблемой в числовом отношении, однако Танимура и Кубо предлагают метод, с помощью которого бесконечная иерархия может быть усечена до конечного набора $N$ дифференциальные уравнения, где $N$ определяется некоторым ограничением, чувствительным к характеристикам системы, т.е. частоте, амплитуде колебаний, связи ванны и т. д. «Терминатор» определяет глубину иерархии. Простое соотношение для устранения ${\hat {\rho }}_{n+1}$ термин найден. $\ {\hat {\rho }}_{N+1}=-{\hat {\Theta }}{\hat {\rho }}_{N}/\hbar \gamma$. Этим терминатором иерархия замыкается на глубине $N$ иерархии по последнему члену:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}_{N}=-({\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{A}^{\times }+N\gamma ){\hat {\rho }}_{N}-{i \over \gamma \hbar ^{2}}{\hat {V}}^{\times }{\hat {\Theta }}{\hat {\rho }}_{N}+{iN \over \hbar }{\hat {\Theta }}{\hat {\rho }}_{N-1}$.

Статистический характер подхода HEOM позволяет кодировать информацию о шуме ванны и реакции системы в уравнение движения, решая проблему бесконечной энергии СКВ Кубо путем введения оператора релаксации, обеспечивающего возврат к равновесию.

Стоимость вычислений

Когда открытая квантовая система представлена $M$ уровни и $M$ ванны, где каждая функция реакции ванны представлена $K$ экспоненты, иерархия с ${\mathcal {N}}$ слои будут содержать:

${\frac {\left(MK+{\mathcal {N}}\right)!}{\left(MK\right)!{\mathcal {N}}!}}$

матрицы, каждая из которых $M^{2}$ комплексные (содержащие как действительную, так и мнимую части) элементы. Следовательно, ограничивающим фактором в вычислениях HEOM является требуемый объем оперативной памяти , поскольку если хранится одна копия каждой матрицы, общий требуемый объем оперативной памяти будет:

$16M^{2}{\frac {\left(MK+{\mathcal {N}}\right)!}{\left(MK\right)!{\mathcal {N}}!}}$

байты (при условии двойной точности).

Реализации

Метод HEOM реализован в ряде свободно доступных кодов. Некоторые из них можно найти на сайте Ёситаки Танимура. включая версию для графических процессоров в котором использовались улучшения, внесенные Дэвидом Уилкинсом и Найком Даттани. Версия nanoHUB обеспечивает очень гибкую реализацию. Реализация параллельного ЦП с открытым исходным кодом доступна в группе Schulten .

См. также

• Квантовое главное уравнение
• Открытая квантовая система
• Уравнение Фоккера – Планка
• Квантовая динамическая полугруппа
• Квантовая диссипация