Квантовая диссипация

Квантовая диссипация — раздел физики , изучающий квантовые аналоги процесса необратимой потери энергии, наблюдаемого на классическом уровне. Его основная цель — вывести законы классической диссипации из рамках квантовой механики . Он имеет много общих черт с предметами квантовой декогеренции и квантовой теории измерения .

Модели [ править ]

Типичный подход к описанию диссипации состоит в том, чтобы разделить всю систему на две части: квантовую систему, в которой происходит диссипация, и так называемую среду или ванну, в которую будет течь энергия первой. Способ соединения обеих систем зависит от деталей микроскопической модели и, следовательно, от описания ванны. Чтобы включить необратимый поток энергии (т.е. избежать повторений Пуанкаре , при которых энергия в конечном итоге возвращается в систему), требуется, чтобы ванна содержала бесконечное число степеней свободы. Заметим, что в силу принципа универсальности ожидается, что конкретное описание ванны не повлияет на существенные особенности диссипативного процесса, поскольку модель содержит минимальные ингредиенты, обеспечивающие эффект.

Самый простой способ моделирования ванны был предложен Фейнманом и Верноном в оригинальной статье 1963 года. ^[1] В этом описании ванна представляет собой сумму бесконечного числа гармонических осцилляторов, что в квантовой механике представляет собой набор свободных бозонных частиц.

ванны гармонической модель Кальдейра-Леггетт или

В 1981 году Амир Калдейра и Энтони Дж. Леггетт предложили простую модель для детального изучения того, как возникает диссипация с квантовой точки зрения. ^[2] Он описывает квантовую частицу в одном измерении, связанную с ванной. Гамильтониан гласит:

H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}

,

Первые два слагаемых соответствуют гамильтониану квантовой частицы массы $M$ и импульс $P$ , в потенциале $V$ на позиции $X$ . Третий член описывает ванну как бесконечную сумму гармонических осцилляторов с массами $m_{i}$ и импульс $p_{i}$ , на позициях $q_{i}$ . $\omega _{i}$ – частоты гармонических осцилляторов. Следующий термин описывает способ соединения системы и ванны. В модели Кальдейры-Леггетта ванна связана с положением частицы. $C_{i}$ — коэффициенты, которые зависят от деталей связи. Последний член является контрчленом, который необходимо включить, чтобы гарантировать однородность диссипации во всем пространстве. Поскольку ванна соединяется с положением, если этот термин не включен, модель не является трансляционно-инвариантной в том смысле, что связь различна, где бы ни находилась квантовая частица. Это приводит к нефизической перенормировке потенциала, которую, как можно показать, можно подавить, используя реальные потенциалы. ^[3]

Чтобы обеспечить хорошее описание механизма диссипации, важной величиной является спектральная функция ванны, определяемая следующим образом:

J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})

Спектральная функция ванны накладывает ограничение на выбор коэффициентов $C_{i}$ . Когда эта функция имеет вид $J(\omega )=\eta \omega$ , ^{[ нужны разъяснения ]} Можно показать, что соответствующий классический вид диссипации является омическим . Более общая форма – это $J(\omega )\propto \omega ^{s}$ . В этом случае, если $s>1$ диссипация называется «суперомической», а если $s<1$ является субомическим. Примером суперомной ванны является электромагнитное поле при определенных обстоятельствах.

Как уже упоминалось, основная идея в области квантовой диссипации состоит в том, чтобы объяснить, как классическая диссипация может быть описана с точки зрения квантовой механики. Чтобы получить классический предел модели Кальдейры-Леггетта, ванну необходимо проинтегрировать (или проследить ), что можно понимать как взятие среднего по всем возможным реализациям ванны и изучение эффективной динамики квантовой системы. В качестве второго шага ограничение $\hbar \rightarrow 0$ необходимо предпринять для восстановления классической механики . Чтобы математически выполнить эти технические шаги, с помощью интеграла по траекториям описание квантовой механики обычно используется . Полученные классические уравнения движения :

M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))

где:

\alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega

– ядро, характеризующее эффективную силу, влияющую на движение частицы при наличии диссипации. Для так называемых марковских ванн , не хранящих памяти о взаимодействии с системой, и для омической диссипации уравнения движения упрощаются до классических уравнений движения частицы с трением:

M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}

Следовательно, можно увидеть, как модель Калдейры-Леггетта достигает цели получения классической диссипации из структуры квантовой механики. Модель Калдейры-Леггетта использовалась для изучения проблем квантовой диссипации с момента ее появления в 1981 году, а также широко использовалась в области квантовой декогеренции .

Диссипативная двухуровневая система [ править ]

Диссипативная двухуровневая система представляет собой частную реализацию модели Кальдейры–Леггетта, заслуживающую особого внимания из-за ее интереса к области квантовых вычислений . Цель модели — изучить эффекты диссипации в динамике частицы, которая может прыгать между двумя разными положениями, а не с непрерывной степенью свободы. Это сокращенное гильбертово пространство позволяет описать проблему в терминах 1/2 операторы – спиновые . В литературе ее иногда называют моделью спин-бозона, и она тесно связана с моделью Джейнса – Каммингса .

Гамильтониан для диссипативной двухуровневой системы имеет вид:

$H=\Delta {\frac {\sigma _{x}}{2}}+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_{i}q_{i}}$ ,

где $\sigma _{x}$ и $\sigma _{z}$ матрицы Паули и $\Delta$ – это амплитуда скачка между двумя возможными положениями. Обратите внимание, что в этой модели контрчлен больше не нужен, поскольку связь с $S_{z}$ дает уже однородную диссипацию.

Модель имеет множество применений. В квантовой диссипации он используется как простая модель для изучения динамики диссипативной частицы, удерживаемой в двухямном потенциале. В контексте квантовых вычислений он представляет собой кубит, связанный с окружающей средой, которая может вызывать декогеренцию . При изучении аморфных твердых тел он обеспечивает основу стандартной теории для описания их термодинамических свойств.

Диссипативная двухуровневая система представляет собой также парадигму в изучении квантовых фазовых переходов . При критическом значении связи с ванной он показывает фазовый переход от режима, в котором частица делокализована между двумя положениями, в другой, в котором она локализована только в одном из них. Переход имеет вид Костерлица–Таулесса , в чем можно убедиться, выведя уравнения потока ренормгруппы для прыжкового члена.

энергии в гамильтоновом формализме Диссипация

Другой подход к описанию диссипации энергии состоит в рассмотрении гамильтонианов, зависящих от времени. Вопреки распространенному заблуждению, результирующая унитарная динамика может описывать рассеяние энергии, поскольку определенные степени свободы теряют энергию, а другие получают энергию. ^[4] Однако квантовомеханическое состояние системы остается чистым , поэтому такой подход не может описать дефазировку , если не выбрана подсистема и не проанализирована приведенная матрица плотности этой открытой квантовой системы. ^[5] Дефазировка приводит к квантовой декогеренции или рассеиванию информации и часто важна при описании открытых квантовых систем . Однако этот подход обычно используется, например, при описании оптических экспериментов. Там световой импульс (описываемый полуклассическим гамильтонианом, зависящим от времени) может изменить энергию в системе путем вынужденного поглощения или излучения. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Фейнман, Р.П.; Вернон, Флорида (1963). «Теория общей квантовой системы, взаимодействующей с линейной диссипативной системой» (PDF) . Анналы физики . 24 : 118–173. Бибкод : 1963AnPhy..24..118F . дои : 10.1016/0003-4916(63)90068-X . ISSN 0003-4916 .
^ Кальдейра, АО; Леггетт, Эй Джей (1981). «Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах». Письма о физических отзывах . 46 (4): 211–214. Бибкод : 1981PhRvL..46..211C . doi : 10.1103/PhysRevLett.46.211 . ISSN 0031-9007 .
^ Цеков Р.; Рукенштейн, Э. (1994). «Стохастическая динамика подсистемы, взаимодействующей с твердым телом, применительно к диффузионным процессам в твердых телах». Дж. Хим. Физ . 100 (2): 1450–1455. Бибкод : 1994JChPh.100.1450T . дои : 10.1063/1.466623 .
^ Грюбеле, М.; Вонг, В. (2002). «Субэкспоненциальная декогерентность спин-бозона в конечной ванне». Химическая физика . 284 (1–2): 29–44. Бибкод : 2002CP....284...29W . дои : 10.1016/S0301-0104(02)00534-7 .
^ Грюбеле, М.; Вонг, В. (2001). «Неэкспоненциальная дефазировка в локальной случайной матричной модели». Физический обзор А. 63 (2): 22502. Бибкод : 2001PhRvA..63b2502W . дои : 10.1103/PhysRevA.63.022502 .

Источники [ править ]

У. Вайс, Квантовые диссипативные системы (1992), World Scientific.
Леггетт, Эй Джей; Чакраварти, С.; Дорси, AT; Фишер, Мэтью Пенсильвания; Гарг, Анупам; Цвергер, В. (1 декабря 1986 г.). «Динамика диссипативной системы двух состояний». Обзоры современной физики . 59 (1). Американское физическое общество (APS): 1–85. дои : 10.1103/revmodphys.59.1 . hdl : 2142/94708 . ISSN 0034-6861 .
П. Хэнги и Г. Л. Ингольд, Фундаментальные аспекты квантового броуновского движения , Хаос, том. 15, АРТН 026105 (2005); http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/378.pdf

Внешние ссылки [ править ]

Визуализация квантовой динамики: гамильтониан спин-бозона. Архивировано 13 февраля 2015 г. в Wayback Machine , Джаред Остмейер и Хулио Хеа-Банаклош, Университет Арканзаса.
Визуализация квантовой динамики: модель Джейнса-Каммингса. Архивировано 1 июля 2014 г. в Wayback Machine , Джаред Остмейер и Хулио Хеа-Банаклош, Университет Арканзаса.

[FeynmanVernon1963-1] Фейнман, Р.П.; Вернон, Флорида (1963). «Теория общей квантовой системы, взаимодействующей с линейной диссипативной системой» (PDF) . Анналы физики . 24 : 118–173. Бибкод : 1963AnPhy..24..118F . дои : 10.1016/0003-4916(63)90068-X . ISSN 0003-4916 .

[CaldeiraLeggett1981-2] Кальдейра, АО; Леггетт, Эй Джей (1981). «Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах». Письма о физических отзывах . 46 (4): 211–214. Бибкод : 1981PhRvL..46..211C . doi : 10.1103/PhysRevLett.46.211 . ISSN 0031-9007 .

[3] Цеков Р.; Рукенштейн, Э. (1994). «Стохастическая динамика подсистемы, взаимодействующей с твердым телом, применительно к диффузионным процессам в твердых телах». Дж. Хим. Физ . 100 (2): 1450–1455. Бибкод : 1994JChPh.100.1450T . дои : 10.1063/1.466623 .

[4] Грюбеле, М.; Вонг, В. (2002). «Субэкспоненциальная декогерентность спин-бозона в конечной ванне». Химическая физика . 284 (1–2): 29–44. Бибкод : 2002CP....284...29W . дои : 10.1016/S0301-0104(02)00534-7 .

[5] Грюбеле, М.; Вонг, В. (2001). «Неэкспоненциальная дефазировка в локальной случайной матричной модели». Физический обзор А. 63 (2): 22502. Бибкод : 2001PhRvA..63b2502W . дои : 10.1103/PhysRevA.63.022502 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]