Квантовая марковская полугруппа

В квантовой механике квантовая марковская полугруппа описывает динамику в марковской открытой квантовой системе . Аксиоматическое определение прототипа квантовых марковских полугрупп впервые было введено А. М. Коссаковским. в 1972 г., а затем разработаны В. Горини, А. М. Коссаковским , ЭКГ Сударшаном. и Йоран Линдблад в 1976 году.

Мотивация

Идеальная квантовая система нереалистична, поскольку она должна быть полностью изолирована, в то время как на практике на нее влияет связь с окружающей средой, которая обычно имеет большое количество степеней свободы (например, атом, взаимодействующий с окружающим полем излучения). . Полное микроскопическое описание степеней свободы окружающей среды обычно слишком сложно. Следовательно, нужно искать более простые описания динамики открытой системы. В принципе, следует исследовать унитарную динамику всей системы, то есть системы и окружающей среды, чтобы получить информацию о сокращенной интересующей системе путем усреднения соответствующих наблюдаемых по степеням свободы окружающей среды. Для моделирования диссипативных эффектов, возникающих из-за взаимодействия с окружающей средой, уравнение Шредингера заменяется подходящим основным уравнением , таким как уравнение Линдблада или стохастическое уравнение Шредингера, в котором бесконечные степени свободы окружающей среды «синтезируются» как немного квантовые шумы . Математически эволюция во времени в марковской открытой квантовой системе больше не описывается с помощью однопараметрических групп унитарных отображений, но необходимо ввести квантовые марковские полугруппы .

Определения

динамическая полугруппа (

В общем, квантовые динамические полугруппы могут быть определены на алгебрах фон Неймана , поэтому размерность системы может быть бесконечной. Позволять ${\mathcal {A}}$ — алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}$, квантовая динамическая полугруппа на ${\mathcal {A}}$ представляет собой набор ограниченных операторов на ${\mathcal {A}}$, обозначенный ${\mathcal {T}}:=\left({\mathcal {T}}_{t}\right)_{t\geq 0}$, со следующими свойствами:

1. ${\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a$, $\forall a\in {\mathcal {A}}$,
2. ${\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)$, $\forall s,t\geq 0$, $\forall a\in {\mathcal {A}}$,
3. ${\mathcal {T}}_{t}$ абсолютно позитивен для всех $t\geq 0$,
4. ${\mathcal {T}}_{t}$ это $\sigma$-слабо непрерывный оператор в ${\mathcal {A}}$ для всех $t\geq 0$,
5. Для всех $a\in {\mathcal {A}}$, карта $t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)$ является непрерывным относительно $\sigma$-слабая топология на ${\mathcal {A}}$.

При условии полной положительности операторы ${\mathcal {T}}_{t}$ являются $\sigma$-слабо непрерывен тогда и только тогда, когда ${\mathcal {T}}_{t}$ нормальны. Напомним, что, позволив ${\mathcal {A}}_{+}$ обозначим выпуклый конус положительных элементов в ${\mathcal {A}}$, положительный оператор $T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ называется нормальным, если для каждой возрастающей сети $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }$ в ${\mathcal {A}}_{+}$ с наименьшей верхней границей $x$ в ${\mathcal {A}}_{+}$ у одного есть

$\lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle$

для каждого $u$ в плотном по норме подмногообразии линейном ${\mathcal {H}}$.

марковская полугруппа (

Квантовая динамическая полугруппа ${\mathcal {T}}$ называется сохраняющим идентичность (или консервативным, или марковским), если

${\mathcal {T}}_{t}\left({\boldsymbol {1}}\right)={\boldsymbol {1}},\quad \forall t\geq 0,$ ( 1 )

где ${\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}$ является элементом идентичности. Для простоты, ${\mathcal {T}}$ называется квантовой марковской полугруппой. сохранения идентичности и положительность Обратите внимание, что свойство ${\mathcal {T}}_{t}$ подразумевать $\left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1$ для всех $t\geq 0$ а потом ${\mathcal {T}}$ является сжимающей полугруппой .

Условие ( 1 ) играет важную роль не только в доказательстве единственности и унитарности решения Хадсона – Партасарати квантового стохастического дифференциального уравнения , но и в выводе условий регулярности траекторий классических марковских процессов с точки зрения теории операторов .

Бесконечно-малый генератор QDS

Инфинитезимальный генератор квантовой динамической полугруппы ${\mathcal {T}}$ это оператор ${\mathcal {L}}$ с доменом $\operatorname {Dom} ({\mathcal {L}})$, где

$\operatorname {Dom} \left({\mathcal {L}}\right):=\left\{a\in {\mathcal {A}}~\left\vert ~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}}=b{\text{ in }}\sigma {\text{-weak topology}}\right.\right\}$

и ${\mathcal {L}}(a):=b$.

генераторов равномерно

Основная статья: Линдбладиан

Если квантовая марковская полугруппа ${\mathcal {T}}$ кроме того, равномерно непрерывен, что означает $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}_{t}-{\mathcal {T}}_{0}\right\|=0$, затем

• бесконечно малый генератор ${\mathcal {L}}$ будет ограниченным оператором на алгебре фон Неймана ${\mathcal {A}}$ с доменом $\mathrm {Dom} ({\mathcal {L}})={\mathcal {A}}$,
• карта $t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}a$ автоматически будет непрерывным для каждого $a\in {\mathcal {A}}$,
• бесконечно малый генератор ${\mathcal {L}}$ будет также $\sigma$-слабо непрерывный.

При таком предположении бесконечно малый генератор ${\mathcal {L}}$ имеет характеристику

${\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum _{j}\left(V_{j}^{\dagger }aV_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V_{j}^{\dagger }V_{j},a\right\}\right)$

где $a\in {\mathcal {A}}$, $V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$, $\sum _{j}V_{j}^{\dagger }V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$, и $H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ является самосопряженным . Более того, выше $\left[\cdot ,\cdot \right]$ обозначает коммутатор , а $\left\{\cdot ,\cdot \right\}$ антикоммутатор ​ .

Избранные недавние публикации

• Чеботарев А.М.; Фаньола, Ф (март 1998 г.). «Достаточные условия консервативности минимальных квантовых динамических полугрупп». Журнал функционального анализа . 153 (2): 382–404. arXiv : funct-an/9711006 . дои : 10.1006/jfan.1997.3189 . S2CID   18823390 .
• Фаньола, Франко; Реболледо, Роландо (1 июня 2003 г.). «Быстрость и рекуррентность квантовых марковских полугрупп» . Теория вероятностей и смежные области . 126 (2): 289–306. дои : 10.1007/s00440-003-0268-0 . S2CID   123052568 .
• Реболледо, Р. (май 2005 г.). «Декогеренция квантовых марковских полугрупп» . Анналы Института Анри Пуанкаре Б. 41 (3): 349–373. Бибкод : 2005AIHPB..41..349R . дои : 10.1016/j.anihpb.2004.12.003 .
• Уманита, Вероника (апрель 2006 г.). «Классификация и разложение квантовых марковских полугрупп» . Теория вероятностей и смежные области . 134 (4): 603–623. дои : 10.1007/s00440-005-0450-7 . S2CID   119409078 .
• Фаньола, Франко; Уманита, Вероника (1 сентября 2007 г.). «Генераторы квантовых марковских полугрупп детального баланса». Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и смежные темы . 10 (3): 335–363. arXiv : 0707.2147 . дои : 10.1142/S0219025707002762 . S2CID   16690012 .
• Карлен, Эрик А.; Маас, Ян (сентябрь 2017 г.). «Градиентный поток и энтропийные неравенства для квантовых марковских полугрупп с подробным балансом». Журнал функционального анализа . 273 (5): 1810–1869. arXiv : 1609.01254 . дои : 10.1016/j.jfa.2017.05.003 . S2CID   119734534 .

См. также

• Операторные топологии - Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве.
• Алгебра фон Неймана - *-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
• Полугруппа C0 – обобщение экспоненциальной функции. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Полугруппа сокращения – обобщение экспоненциальной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Линдбладиан – марковское квантовое главное уравнение для матриц плотности (смешанных состояний)
• Цепь Маркова - случайный процесс, не зависящий от прошлой истории.
• Квантовая механика - описание физических свойств на атомном и субатомном уровне.
• Открытая квантовая система - квантовомеханическая система, взаимодействующая с квантовомеханической средой.