Полностью позитивная карта

В математике положительное отображение — это отображение между C*-алгебрами , которое переводит положительные элементы в положительные элементы. Полностью положительная карта — это карта, которая удовлетворяет более сильному и устойчивому условию.

Определение

Позволять $A$ и $B$ быть C*-алгебрами . Линейная карта $\phi :A\to B$ называется положительным отображением, если $\phi$ отображает положительные элементы на положительные элементы: $a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0$.

Любая линейная карта $\phi :A\to B$ вызывает другую карту

${\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B$

естественным образом. Если $\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A$ отождествляется с C*-алгеброй $A^{k\times k}$ из $k\times k$-матрицы с записями в $A$, затем ${\textrm {id}}\otimes \phi$ действует как

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.$

$\phi$ называется k-положительным, если ${\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi$ является положительным отображением и вполне положительным, если $\phi$ является k-положительным для всех k.

Характеристики

• Положительные отображения монотонны, т.е. $a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})$ для всех самосопряженных элементов $a_{1},a_{2}\in A_{sa}$.
• С $-\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}$ для всех самосопряженных элементов $a\in A_{sa}$, каждое положительное отображение автоматически непрерывно относительно C*-норм и его операторная норма равна $\|\phi (1_{A})\|_{B}$. Аналогичное утверждение с приближенными единицами справедливо и для неединичных алгебр.
• Набор положительных функционалов $\to \mathbb {C}$ является двойственным конусом конуса положительных элементов $A$.

Примеры

• Всякий * -гомоморфизм вполне положителен.
• Для каждого линейного оператора $V:H_{1}\to H_{2}$ между гильбертовыми пространствами отображение $L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }$ носит полностью положительный характер. Теорема Стайнспринга утверждает, что все вполне положительные отображения являются композициями *-гомоморфизмов и этих специальных отображений.
• Каждый положительный функционал $\phi :A\to \mathbb {C}$ (в частности, каждое состояние ) автоматически полностью положительно.
• Учитывая алгебры $C(X)$ и $C(Y)$ комплекснозначных непрерывных функций на компактах Хаусдорфа $X,Y$, каждая положительная карта $C(X)\to C(Y)$ носит полностью положительный характер.
• Транспонирование матриц — стандартный пример положительного отображения, которое не может быть 2-положительным. Обозначим через T это отображение на $\mathbb {C} ^{n\times n}$. Ниже представлена ​​положительная матрица в $\mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}$: $${\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.$$ Изображение этой матрицы под $I_{2}\otimes T$ является $${\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},$$ который явно не положителен, имея определитель −1. Более того, собственные значения этой матрицы равны 1,1,1 и −1. эта матрица является матрицей Чоя для T .) ( Фактически
  Кстати, отображение Φ называется коположительным, если композиция Φ $\circ$ Т положительный. Карта транспозиции сама по себе является копозитивной картой.

См. также

• Теорема Чоя о вполне положительных отображениях