Теорема о расширении Стайнспринга

В математике , теорема Стайнспринга о расширении также называемая теоремой факторизации Стайнспринга , названная в честь У. Форреста Стайнспринга , является результатом теории операторов , которая представляет любое полностью положительное отображение на C*-алгебре A как композицию двух полностью положительных отображений, каждое из которых имеет специальную форму:

1. *-представление A в некотором вспомогательном гильбертовом пространстве K, за которым следует
2. Операторное отображение вида T ↦ V*TV .

Более того, теорема Стайнспринга представляет собой структурную теорему о переводе С*-алгебры в алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Показано, что вполне положительные отображения являются простыми модификациями *-представлений, иногда называемыми *-гомоморфизмами .

Формулировка

В случае единичной C*-алгебры результат следующий:

Теорема . Пусть A — C*-алгебра с единицей, H гильбертово пространство и B ( H ) — ограниченные операторы в H. — За каждое полностью положительное

$\Phi :A\to B(H),$

существует гильбертово пространство K и *-гомоморфизм с единицей

$\pi :A\to B(K)$

такой, что

$\Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,$

где $V:H\to K$ является ограниченным оператором. Кроме того, у нас есть

$\|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.$

Неформально можно сказать, что всякое вполне положительное отображение $\Phi$ можно « поднять » до карты вида $V^{*}(\cdot )V$.

Обратная теорема тривиально верна. Таким образом, результат Стайнспринга классифицирует полностью положительные отображения.

Эскиз доказательства

Теперь кратко наметим доказательство. Позволять $K=A\otimes H$. Для $a\otimes h,\ b\otimes g\in K$, определять

$\langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}$

и полулинейно распространяется на все K . Это эрмитова полуторалинейная форма , поскольку $\Phi$ совместим с операцией *. Полный позитив $\Phi$ затем используется, чтобы показать, что эта полуторалинейная форма на самом деле является положительно полуопределенной. Поскольку положительные полуопределенные эрмитовы полуторалинейные формы удовлетворяют неравенству Коши–Шварца, подмножество

$K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K$

является подпространством. Мы можем устранить вырождение , рассмотрев факторпространство $K/K'$. Пополнение обозначаемым этого факторпространства тогда является гильбертовым пространством, также $K$. Далее определите $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$ и $Vh=1_{A}\otimes h$. Это можно проверить $\pi$ и $V$ иметь желаемые свойства.

Обратите внимание, что $V$ это естественное алгебраическое вложение H K в . просто В этом можно убедиться $V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h$ держит. В частности $V^{\ast }V=\Phi (1)$ держится так, что $V$ является изометрией тогда и только тогда, когда $\Phi (1)=1$. В этом случае H можно вложить в смысле гильбертова пространства в K и $V^{\ast }$, действуя на K проекцией на H. , становится Символически мы можем написать

$\Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.$

На языке теории расширения это означает, что $\Phi (a)$ представляет сжатие собой $\pi (a)$. Следовательно, следствием теоремы Стайнспринга является то, что каждое вполне положительное отображение с единицей является сжатием некоторого *-гомоморфизма .

Минимальность

Тройка ( π , V , K ) называется представлением Стайнспринга группы Φ. Теперь возникает естественный вопрос: можно ли в некотором смысле сократить данное представление Стайнспринга?

Пусть K ₁ — замкнутая линейная оболочка π ( A ) VH . *-представлений вообще K ₁ является инвариантным подпространством π По свойству ( a ) для всех a . Кроме того, K ₁ содержит VH . Определять

$\pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.$

Мы можем вычислить напрямую

$${\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}$$

и если k и ℓ лежат в K ₁

$${\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}$$

Итак ( π ₁ , V , K ₁ ) также является представлением Стайнспринга Φ и обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что K ₁ является замкнутой линейной оболочкой π ( A ) VH . Такое представление называется минимальным представлением Стайнспринга .

Уникальность

Пусть ( π ₁ , V ₁ , K ₁ ) и ( π ₂ , V ₂ , K ₂ ) — два представления Стайнспринга данного Φ. Определим частичную изометрию W : K ₁ → K ₂ формулой

$\;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.$

На V ₁ H ⊂ K ₁ это дает переплетающее соотношение

$\;W\pi _{1}=\pi _{2}W.$

В частности, если оба представления Стайнспринга минимальны W унитарно , . Таким образом, минимальные представления Стайнспринга уникальны с точностью до унитарного преобразования.

Некоторые последствия

Упомянем некоторые результаты, которые можно рассматривать как следствия теоремы Стайнспринга. Исторически сложилось так, что некоторые из приведенных ниже результатов предшествовали теореме Стайнспринга.

строительство ГНС

Конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала (ГНС) заключается в следующем. Пусть H в теореме Стайнспринга будет 1-мерным, т.е. комплексным числом . Итак, Φ теперь является положительным линейным функционалом на A . Если мы предположим, что Φ является состоянием , то есть Φ имеет норму 1, то изометрия $V:H\to K$ определяется

$V1=\xi$

для некоторых $\xi \in K$ единицы нормы . Так

$${\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}$$

и мы восстановили представительство государств в ГНС. Это один из способов увидеть, что полностью положительные отображения, а не просто положительные, являются истинными обобщениями положительных функционалов .

Линейный положительный функционал на С*-алгебре абсолютно непрерывен относительно другого такого функционала (называемого эталонным функционалом), если он равен нулю на любом положительном элементе , на котором эталонный положительный функционал равен нулю. Это приводит к некоммутативному обобщению теоремы Радона–Никодима . Обычный оператор плотности состояний матричных алгебр относительно стандартного следа представляет собой не что иное, как производную Радона–Никодима, когда опорный функционал выбран в качестве следа. Белавкин ввел понятие полной абсолютной непрерывности одного вполне положительного отображения относительно другого (эталонного) отображения и доказал операторный вариант некоммутативной теоремы Радона–Никодима для вполне положительных отображений. Частный случай этой теоремы, соответствующий вполне положительному отображению следа на матричных алгебрах, приводит к оператору Чоя как производной Радона–Никодима CP-отображения относительно стандартного следа (см. теорему Чоя).

Теорема Чоя

Чой показал, что если $\Phi :B(G)\to B(H)$ вполне положителен, где G и H — конечномерные гильбертовы пространства размерностей n и m соответственно, то Φ принимает вид:

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.$

Это называется теоремой Чоя о вполне положительных отображениях . Чой доказал это, используя методы линейной алгебры, но его результат также можно рассматривать как частный случай теоремы Стайнспринга: пусть ( π , V , K ) — минимальное представление Стайнспринга Φ. По минимальности K имеет размерность меньшую, чем у $C^{n\times n}\otimes C^{m}$. Таким образом, без ограничения общности, K можно отождествить с

$K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.$

Каждый $C_{i}^{n}$ является копией n -мерного гильбертова пространства. От $\pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g$, мы видим, что приведенное выше отождествление K можно организовать так $\;P_{i}\pi (a)P_{i}=a$, где Pi _— проекция из K на $C_{i}^{n}$. Позволять $V_{i}=P_{i}V$. У нас есть

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}$

и результат Чоя доказан.

Результат Чоя представляет собой частный случай некоммутативной теоремы Радона–Никодима для вполне положительных (CP) отображений, соответствующих следовому вполне положительному эталонному отображению на матричных алгебрах. В сильной операторной форме эта общая теорема была доказана Белавкиным в 1985 году, который показал существование оператора положительной плотности, представляющего CP-отображение, которое совершенно абсолютно непрерывно относительно эталонного CP-отображения. Единственность этого оператора плотности в эталонном представлении Стейнспринга просто следует из минимальности этого представления. Таким образом, оператор Чоя является производной Радона–Никодима конечномерного CP-отображения относительно стандартного следа.

Обратите внимание, что при доказательстве теоремы Чоя, а также теоремы Белавкина, основанной на формулировке Стайнспринга, аргумент не дает явно операторы Крауса , _VI если не сделать явным различные идентификации пространств. С другой стороны, оригинальное доказательство Чоя предполагает прямое вычисление этих операторов.

Теорема Наймарка о расширении

Теорема Наймарка утверждает, что каждую B ( H )-значную слабо счетно-аддитивную меру на некотором компакте Хаусдорфовом пространстве X можно «поднять», так что эта мера становится спектральной мерой . Это можно доказать, объединив тот факт, что C ( X ) является коммутативной C*-алгеброй, и теорему Стайнспринга.

Теорема Ш.-Надя о расширении

Этот результат утверждает, что каждое сжатие в гильбертовом пространстве имеет унитарное расширение со свойством минимальности.

Приложение

В теории информации квантовой квантовые каналы или квантовые операции определяются как полностью положительные отображения между C*-алгебрами. Будучи классификацией всех таких карт, теорема Стайнспринга важна в этом контексте. Например, часть теоремы, касающаяся единственности, использовалась для классификации определенных классов квантовых каналов.

Для сравнения различных каналов и расчета их взаимной достоверности и информации полезно другое представление каналов через их производные «Радон–Никодим», введенное Белявкиным. В конечномерном случае актуальна также теорема Чоя как следовый вариант теоремы Радона–Никодима Белавкина для вполне положительных отображений. Операторы $\{V_{i}\}$ из выражения

$\Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.$

называются операторами Крауса группы Φ. Выражение

$\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}$

иногда называют операторным представлением суммы Φ.

Ссылки

• М.-Д. Чой, Вполне положительные линейные отображения комплексных матриц , Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
• В. П. Белавкин, П. Сташевский, Теорема Радона–Никодима для вполне положительных отображений , Доклады по математической физике, т. 24, № 1, 49–55 (1986).
• В. Полсен, Полностью ограниченные карты и операторные алгебры , Cambridge University Press, 2003.
• В. Ф. Стайнспринг, Положительные функции на C*-алгебрах , Труды Американского математического общества, 6, 211–216 (1955).