Положительный линейный функционал

В математике , точнее в функциональном анализе , положительный линейный функционал в упорядоченном векторном пространстве. $(V,\leq )$ представляет собой линейный функционал $f$ на $V$ так что для всех положительных элементов $v\in V,$ то есть $v\geq 0,$ он утверждает, что $$f(v)\geq 0.$$

Другими словами, положительный линейный функционал гарантированно принимает неотрицательные значения для положительных элементов. Значение положительных линейных функционалов заключается в таких результатах, как теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

Когда $V$ является комплексным векторным пространством, предполагается, что для всех $v\geq 0,$ $f(v)$ реально. Как и в случае, когда $V$ является C*-алгеброй с частично упорядоченным подпространством самосопряженных элементов, иногда частичный порядок накладывается только на подпространство $W\subseteq V,$ и частичный порядок не распространяется на все $V,$ в этом случае положительные элементы $V$ являются положительными элементами $W,$ путем злоупотребления обозначениями. Это означает, что для C*-алгебры положительный линейный функционал отправляет любой $x\in V$ равный $s^{\ast }s$ для некоторых $s\in V$ к действительному числу, равному его комплексно-сопряженному, и поэтому все положительные линейные функционалы сохраняют самосопряженность таких $x.$ Это свойство используется в конструкции GNS для связи положительных линейных функционалов на C*-алгебре со скалярными произведениями .

Достаточные условия непрерывности всех положительных линейных функционалов

Существует сравнительно большой класс упорядоченных топологических векторных пространств , на которых каждая положительная линейная форма обязательно непрерывна. Сюда входят все топологические векторные решетки , которые являются секвенциально полными .

Теорема. Пусть $X$ быть упорядоченным топологическим векторным пространством с положительным конусом. $C\subseteq X$ и пусть ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ обозначают семейство всех ограниченных подмножеств $X.$ Тогда каждое из следующих условий достаточно для того, чтобы гарантировать, что каждый положительный линейный функционал на $X$ является непрерывным:

1. $C$ имеет непустую топологическую внутренность (в $X$).
2. $X$ является полным и метризуемым и $X=C-C.$
3. $X$ является борнологическим и $C$ является полуполным строгим ${\mathcal {B}}$-конус в $X.$
4. $X$ это индуктивный предел семейства $\left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ упорядоченных пространств Фреше относительно семейства положительных линейных отображений, где $X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }$ для всех $\alpha \in A,$ где $C_{\alpha }$ это положительный конус $X_{\alpha }.$

Постоянное позитивное расширение

Следующая теорема принадлежит Х. Бауэру и независимо Намиоке.

Теорема : Позволять $X$ быть упорядоченным топологическим векторным пространством (TVS) с положительным конусом. $C,$ позволять $M$ быть векторным подпространством $E,$ и пусть $f$ быть линейной формой на $M.$ Затем $f$ имеет продолжение до непрерывной положительной линейной формы на $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторая выпуклая окрестность $U$ из $0$ в $X$ такой, что $\operatorname {Re} f$ ограничено сверху на $M\cap (U-C).$

Следствие : Позволять $X$ быть упорядоченным топологическим векторным пространством с положительным конусом. $C,$ позволять $M$ быть векторным подпространством $E.$ Если $C\cap M$ содержит внутреннюю точку $C$ то каждая непрерывная положительная линейная форма на $M$ имеет продолжение до непрерывной положительной линейной формы на $X.$

Следствие : Позволять $X$ быть упорядоченным векторным пространством с положительным конусом $C,$ позволять $M$ быть векторным подпространством $E,$ и пусть $f$ быть линейной формой на $M.$ Затем $f$ имеет продолжение до положительной линейной формы на $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторое выпуклое поглощающее подмножество $W$ в $X$ содержащий происхождение $X$ такой, что $\operatorname {Re} f$ ограничено сверху на $M\cap (W-C).$

Доказательство: достаточно наделить $X$ с тончайшим созданием локально-выпуклой топологии $W$ в район $0\in X.$

Примеры

Рассмотрим в качестве примера $V,$ C*-алгебра комплексных квадратных матриц с положительными элементами, являющимися положительно определенными матрицами . Функция следа , определенная на этой C*-алгебре, является положительным функционалом, поскольку собственные значения любой положительно определенной матрицы положительны, и поэтому ее след положителен.

Рассмотрим пространство Рисса $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)$ всех непрерывных комплекснозначных функций с компактным носителем на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X.$ Рассмотрим регулярную борелевскую меру $\mu$ на $X,$ и функционал $\psi$ определяется $$\psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).$$ Тогда этот функционал положителен (интеграл от любой положительной функции является положительным числом). Более того, любой положительный функционал на этом пространстве имеет такой вид, как это следует из теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

Положительные линейные функционалы (C*-алгебры)

Позволять $M$ быть C*-алгеброй (в более общем смысле, операторной системой в C*-алгебре $A$) с личностью $1.$ Позволять $M^{+}$ обозначаем множество положительных элементов в $M.$

Линейный функционал $\rho$ на $M$ называется положительным, если $\rho (a)\geq 0,$ для всех $a\in M^{+}.$

Теорема. Линейный функционал $\rho$ на $M$ положительно тогда и только тогда, когда $\rho$ ограничен и $\|\rho \|=\rho (1).$

Неравенство Коши – Шварца

Если $\rho$ — положительный линейный функционал на C*-алгебре $A,$ то можно определить полуопределенную полуопределенную форму на $A$ к $\langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).$ Таким образом, из неравенства Коши–Шварца имеем $$\left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).$$

Приложения к экономике

Учитывая пространство $C$, систему цен можно рассматривать как непрерывный, положительный, линейный функционал от $C$.

См. также

• Позитивный элемент — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Положительный линейный оператор - концепция функционального анализа

Библиография

• Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN   978-0821808191 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .