Полное топологическое векторное пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики полное топологическое векторное пространство — это топологическое векторное пространство (TVS) со свойством, что всякий раз, когда точки становятся все ближе друг к другу, существует некоторая точка. $x$ к которому они все приближаются. Понятие «точки, которые становятся все ближе» становится строгим с помощью сетей Коши или фильтров Коши , которые являются обобщениями последовательностей Коши , в то время как «точка $x$ к которому они все приближаются» означает, что эта сеть или фильтр Коши сходится к $x.$ Понятие полноты TVS использует теорию равномерных пространств в качестве основы для обобщения понятия полноты метрических пространств . -полнота не зависит ни от какой метрики и определена для всех TVS, включая неметризуемые Но в отличие от метрической полноты, TVS или хаусдорфовые .

Полнота — чрезвычайно важное свойство топологического векторного пространства. Понятия полноты нормированных пространств и метризуемых TVS , которые обычно определяются в терминах полноты конкретной нормы или метрики, могут быть сведены к понятию TVS-полноты – понятию, которое не зависит от какой-либо конкретной нормы или метрики. . Метризуемое топологическое векторное пространство $X$ с метрикой, инвариантной к трансляции $d$ полно как TVS тогда и только тогда, когда $(X,d)$ является полным метрическим пространством , что по определению означает, что каждое $d$- Последовательность Коши сходится в некоторой точке $X.$ Яркие примеры полных TVS, которые также метризуемы, включают все F-пространства и, следовательно, также все пространства Фреше , банаховые пространства и гильбертовы пространства . Яркие примеры полных TVS, которые (обычно) не метризуемы, включают строгие LF-пространства, такие как пространство тестовых функций. $C_{c}^{\infty }(U)$ с ним каноническая LF-топология, сильное дуальное пространство любого ненормируемого пространства Фреше , а также многие другие полярные топологии на непрерывном дуальном пространстве или другие топологии на пространствах линейных отображений .

Явно, топологическое векторное пространство (TVS) является полным, если каждая сеть или, что то же самое, каждый фильтр , который является Коши относительно канонической однородности пространства , обязательно сходится к некоторой точке. Иными словами, ТВС является полной, если ее каноническая однородность является полной однородностью . Каноническая однородность на TVS $(X,\tau )$ является уникальным трансляционно-инвариантная однородность , которая индуцирует $X$ топология $\tau .$ Это понятие «TVS-полноты» зависит только от векторного вычитания и топологии TVS; следовательно, его можно применять ко всем ТВС, включая те, топологии которых не могут быть определены в терминах метрики или псевдометрики . TVS с первым счетом является полным тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр Коши) сходится к некоторой точке.

Каждое топологическое векторное пространство $X,$ даже если оно не метризуемо или нехаусдорфово , имеет пополнение , которое по определению является полным ТВС. $C$ в который $X$ может быть вложено в TVS как плотное векторное подпространство . Более того, каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое обязательно уникально с точностью до TVS-изоморфизма . Однако, как обсуждается ниже, все TVS имеют бесконечное количество нехаусдорфовых пополнений, которые не TVS-изоморфны друг другу.

Определения

Основные статьи: Сеть (математика) и Фильтры в топологии.

В этом разделе суммировано определение полного топологического векторного пространства (TVS) с точки зрения как сетей , так и предварительных фильтров . Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую ​​как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .

Каждое топологическое векторное пространство (TVS) представляет собой коммутативную топологическую группу с единицей при сложении, а каноническая однородность TVS полностью определяется в терминах вычитания (и, следовательно, сложения); скалярное умножение не используется и дополнительная структура не требуется.

Каноническая однородность

Диагональ ​ ​ $X$ это набор $$\Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}$$ и для любого $N\subseteq X,$ тот канонический антураж / окрестности вокруг $N$ это набор $${\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}$$ где если $0\in N$ затем $\Delta _{X}(N)$ содержит диагональ $\Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.$

Если $N$ является симметричным множеством (т.е. если $-N=N$), затем $\Delta _{X}(N)$ симметричен что , что по определению означает, $\Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }$ держится там, где $\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},$ этого симметричного набора и, кроме того, композиция сама с собой такова: $${\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}$$

Если ${\mathcal {L}}$ — любой базис окрестности в начале координат в $(X,\tau )$ тогда подмножеств семейство $X\times X:$ $${\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}$$ это предварительный фильтр на $X\times X.$ Если ${\mathcal {N}}_{\tau }(0)$ — фильтр окрестности в начале координат $(X,\tau )$ затем ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ образует основу антуражей для единой структуры на $X$ это считается каноническим . Явно, по определению , каноническая однородность на $X$ вызванный $(X,\tau )$ это фильтр ${\mathcal {U}}_{\tau }$ на $X\times X$ сгенерированный вышеуказанным префильтром : $${\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ and }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}$$ где ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }$ означает вверх закрытие ${\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ в $X\times X.$ Такая же каноническая однородность будет получена при использовании базиса окрестности начала координат, а не фильтра всех окрестностей начала координат. Если ${\mathcal {L}}$ — любой базис окрестности в начале координат в $(X,\tau )$ затем фильтр включен $X\times X$ генерируется префильтром ${\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}$ равно канонической однородности ${\mathcal {U}}_{\tau }$ вызванный $(X,\tau ).$

Сетка Коши

См. Также: Net (математика) и Convex. серии

В общей теории равномерных пространств есть свои определения «предфильтра Коши» и «сети Коши». Для канонической однородности на $X,$ эти определения сводятся к тем, которые приведены ниже.

Предполагать $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X$ и $y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}$ это сеть в $Y.$ Продукт $I\times J$ становится направленным множеством, объявляя $(i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)$ тогда и только тогда, когда $i\leq i_{2}$ и $j\leq j_{2}.$ Затем $$x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$$ обозначает ( декартову ) продуктовая сеть , где в частности ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ Если $X=Y$ то изображение этой сети под векторной картой сложения $X\times X\to X$ обозначает сумма этих двух сетей: $$x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}$$ и аналогично их Разность определяется как изображение сети продуктов под картой векторного вычитания. $(x,y)\mapsto x-y$: $$x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.$$ В частности, обозначения $x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ обозначает $I^{2}$-индексированная сеть $\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}$ и не $I$-индексированная сеть $\left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}$ поскольку использование последнего в качестве определения сделало бы обозначения бесполезными.

И не $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в ТВС $X$ называется сетью Коши если $$x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.$$ В явном виде это означает, что для каждой окрестности $N$ из $0$ в $X,$ существует некоторый индекс $i_{0}\in I$ такой, что $x_{i}-x_{j}\in N$ для всех индексов $i,j\in I$ которые удовлетворяют $i\geq i_{0}$ и $j\geq i_{0}.$ Достаточно проверить любое из этих определяющих условий для любого заданного окрестности базиса $0$ в $X.$ Последовательность Коши — это последовательность, которая также является сетью Коши.

Если $x_{\bullet }\to x$ затем $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)$ в $X\times X$ и, следовательно, непрерывность карты векторного вычитания $S:X\times X\to X,$ который определяется $S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,$ гарантирует, что $S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)$ в $X,$ где $S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }$ и $S(x,x)=x-x=0.$ Это доказывает, что каждая сходящаяся сеть является сетью Коши. По определению пространство называется полным, если всегда верно и обратное. То есть, $X$ является полным тогда и только тогда, когда выполняется следующее:

в любое время $x_{\bullet }$ это сеть в $X,$ затем $x_{\bullet }$ сходится (до некоторой точки) в $X$ тогда и только тогда, когда $x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0$ в $X.$

Аналогичная характеристика полноты сохраняется, если вместо сетей используются фильтры и предварительные фильтры.

Серия $\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$ называется Ряд Коши (соответственно сходящийся ряд ), если последовательность частичных сумм $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ является последовательностью Коши (соответственно сходящейся последовательностью ). Любой сходящийся ряд обязательно является рядом Коши. В полной TVS каждый ряд Коши обязательно является сходящимся рядом.

Фильтр Коши и предварительный фильтр Коши

См. также: Фильтры в топологии.

фильтр Предварительный ${\mathcal {B}}$ в топологическом векторном пространстве $X$ называется префильтром Коши если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ в $X.$
   • Семья ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}$ является предфильтром.
   • Явно, ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0$ означает, что для каждой окрестности $N$ происхождения в $X,$ существуют $B,C\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B-C\subseteq N.$
2. $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ в $X.$
   • Семья $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}$ является префильтром, эквивалентным ${\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}$ ( эквивалентность означает, что эти предварительные фильтры генерируют один и тот же фильтр на $X$).
   • Явно, $\{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0$ означает, что для каждой окрестности $N$ происхождения в $X,$ существует какой-то $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B-B\subseteq N.$
3. Для каждого района $N$ происхождения в $X,$ ${\mathcal {B}}$ содержит некоторые $N$-малое множество (т. е. существует некоторое $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B-B\subseteq N$).
   • Подмножество $B\subseteq X$ называется $N$-маленький или маленький порядок $N$ если $B-B\subseteq N.$
4. Для каждого района $N$ происхождения в $X,$ существует какой-то $x\in X$ и некоторые $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\subseteq x+N.$
   • Это утверждение остается верным, если « $B\subseteq x+N$" заменяется на " $x+B\subseteq N.$"
5. Каждая окрестность начала в $X$ содержит некоторое подмножество формы $x+B$ где $x\in X$ и $B\in {\mathcal {B}}.$

Достаточно проверить любое из приведенных выше условий для любого заданного окрестности базиса $0$ в $X.$ Фильтр Коши — это предварительный фильтр Коши, который также является фильтром для $X.$

Если ${\mathcal {B}}$ это предфильтр в топологическом векторном пространстве $X$ и если $x\in X,$ затем ${\mathcal {B}}\to x$ в $X$ тогда и только тогда, когда $x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {B}}$ является Коши.

Полное подмножество

Основная статья: Полное однородное пространство

Для любого $S\subseteq X,$ предварительный фильтр ${\mathcal {C}}$ на $S$ обязательно является подмножеством $\wp (S)$; то есть, ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).$

Подмножество $S$ ТВС $(X,\tau )$ называется полное подмножество , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Любой предварительный фильтр Коши ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)$ на $S$ сходится хотя бы к одной точке $S.$
   • Если $X$ является Хаусдорфом, то каждый предварительный фильтр включен $S$ сходится не более чем к одной точке $X.$ Но если $X$ не является Хаусдорфом, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам $X.$ То же самое справедливо и для сетей.
2. Каждая сеть Коши в $S$ сходится хотя бы к одной точке $S.$
3. $S$ является полным равномерным пространством (в соответствии с определением топологии множества точек « полное равномерное пространство »), когда $S$ наделен однородностью, наведенной на него канонической однородностью $X.$

Подмножество $S$ называется последовательно полное подмножество, если каждая последовательность Коши в $S$ (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр/предварительный фильтр Коши на $S$) сходится хотя бы к одной точке $S.$

Важно отметить, что сходимость к точкам вне $S$ не препятствует завершению набора : если $X$ не является Хаусдорфом, и если каждый предварительный фильтр Коши на $S$ сходится к некоторой точке $S,$ затем $S$ будет полным, даже если некоторые или все предварительные фильтры Коши включены. $S$ также сходятся к точкам в $X\setminus S.$ Короче говоря, нет никаких требований, чтобы эти предварительные фильтры Коши были включены. $S$ сходятся только к точкам $S.$ То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в $S.$

Как следствие, если TVS $X$ является не Хаусдорфом, то каждое подмножество замыкания $\{0\}$ в $X$ полно, потому что оно компактно и каждый компакт обязательно полон. В частности, если $\varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ является правильным подмножеством, например $S=\{0\}$ например, тогда $S$ будет полной, даже если каждая сеть Коши в $S$ (а также каждый префильтр Коши на $S$) сходится к каждой точке $\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ включая те пункты в $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ которые не принадлежат $S.$ Этот пример также показывает, что полные подмножества (и даже компактные подмножества) нехаусдорфовой ТВС могут оказаться незамкнутыми. Например, если $\varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ затем $S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ тогда и только тогда, когда $S$ закрыт в $X.$

Полное топологическое векторное пространство

Топологическое векторное пространство $X$ называется полное топологическое векторное пространство , если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

1. $X$ является полным однородным пространством, если оно наделено своей канонической однородностью.
   • В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством, если каждый фильтр Коши на $X$ сходится к некоторой точке $X$ в топологии, индуцированной однородностью. Когда $X$ является TVS, то топология, индуцированная канонической однородностью, равна $X$заданной топологии (поэтому сходимость в этой индуцированной топологии — это обычная сходимость в $X$).
2. $X$ является полным подмножеством самого себя.
3. Существует окрестность начала координат в $X$ это тоже полное подмножество $X.$
   • Отсюда следует, что всякая локально компактная ТВС полна (даже если ТВС не хаусдорфова).
4. Любой предварительный фильтр Коши ${\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)$ на $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$
   • Если $X$ является Хаусдорфом, то каждый предварительный фильтр включен $X$ сходится не более чем к одной точке $X.$ Но если $X$ не является Хаусдорфом, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам $X.$ То же самое справедливо и для сетей.
5. Коши Каждый фильтр включен $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$
6. Каждая сеть Коши в $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$

где, если в дополнение $X$ является псевдометризуемым или метризуемым (например, нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив в него:

7. $X$ является последовательно завершенным.

Топологическое векторное пространство $X$ является последовательно завершается, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $X$ является последовательно полным подмножеством самого себя.
2. Любая последовательность Коши в $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$
3. Каждый элементарный префильтр Коши на $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$
4. Каждый элементарный фильтр Коши на $X$ сходится в $X$ хотя бы в одну точку $X.$

Единственность канонической однородности

См. также: Топологическая группа.

Существование канонической однородности было продемонстрировано выше путем ее определения. Следующая теорема устанавливает, что каноническая однородность любой TVS $(X,\tau )$ единственное единообразие на $X$ это одновременно (1) трансляционный инвариант и (2) генерируется на $X$ топология $\tau .$

Теорема  (Существование и уникальность канонической однородности) — Топология любой TVS может быть получена из уникальной трансляционно-инвариантной однородности. Если ${\mathcal {N}}(0)$ — любая база окрестности начала, то семейство $\left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}$ является основой этого единообразия.

Этот раздел посвящен объяснению точного значения терминов, включенных в это заявление об уникальности.

Равномерные пространства и трансляционно-инвариантные однородности

Основная статья: Единое пространство

Для любых подмножеств $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X,$ позволять $$\Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}$$ и пусть $${\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}$$ Непустая семья ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)$ называется база окружения или фундаментальная система окружения, если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X\times X$ удовлетворяющий всем следующим условиям:

1. Каждый набор в ${\mathcal {B}}$ содержит диагональ $X$ как подмножество; то есть, $\Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi$ для каждого $\Phi \in {\mathcal {B}}.$ Другими словами, предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ зафиксировано ​ на $\Delta _{X}.$
2. Для каждого $\Omega \in {\mathcal {B}}$ существует какой-то $\Phi \in {\mathcal {B}}$ такой, что $\Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .$
3. Для каждого $\Omega \in {\mathcal {B}}$ существует какой-то $\Phi \in {\mathcal {B}}$ такой, что $\Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.$

А единообразие или однородная структура на $X$ это фильтр ${\mathcal {U}}$ на $X\times X$ который генерируется какой-то базой окружения ${\mathcal {B}},$ в этом случае мы говорим, что ${\mathcal {B}}$ является базой окружения для ${\mathcal {U}}.$

Для коммутативной аддитивной группы $X,$ а трансляционно-инвариантная фундаментальная система окружений это фундаментальная система окружения ${\mathcal {B}}$ такой, что для каждого $\Phi \in {\mathcal {B}},$ $(x,y)\in \Phi$ тогда и только тогда, когда $(x+z,y+z)\in \Phi$ для всех $x,y,z\in X.$ Однородность ${\mathcal {B}}$ называется трансляционно-инвариантная однородность если у него есть база окружений, инвариантная к трансляции. Каноническая однородность на любом TVS трансляционно-инвариантна.

Бинарный оператор $\;\circ \;$ удовлетворяет всем следующим требованиям:

• $(\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.$
• Если $\Phi \subseteq \Phi _{2}$ и $\Psi \subseteq \Psi _{2}$ затем $\Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.$
• Ассоциативность: $\Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .$
• Личность: $\Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .$
• Ноль: $\Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi$

Симметричные антуражи

Вызов подмножества $\Phi \subseteq X\times X$ симметрично, если $\Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },$ что эквивалентно $\Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .$ Эта эквивалентность следует из тождества $\left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi$ и тот факт, что если $\Psi \subseteq X\times X,$ затем $\Phi \subseteq \Psi$ тогда и только тогда, когда $\Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.$ Например, набор $\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi$ всегда симметричен для любого $\Phi \subseteq X\times X.$ И потому что $(\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },$ если $\Phi$ и $\Psi$ симметричны, то так же $\Phi \cap \Psi .$

Топология, порожденная однородностью

См. также: Топологическое пространство § Определение окрестности и Характеристики категории топологических пространств.

Родственники

Позволять $\Phi \subseteq X\times X$ быть произвольным и пусть $\operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X$ – канонические проекции на первую и вторую координаты соответственно.

Для любого $S\subseteq X,$ определять $$S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))$$ $$\Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)$$ где $\Phi \cdot S$ (соответственно, $S\cdot \Phi$) называется множеством левых (соответственно правых ) $\Phi$-родственники (указывает) $S.$ Обозначим частный случай, когда $S=\{p\}$ это одноэлементный набор для некоторых $p\in X$ к: $$p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}$$ $$\Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)$$ Если $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X$ затем ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ Более того, $\,\cdot \,$ право распространяется как на соединения, так и на пересечения, а это означает, что если $R,S\subseteq X$ затем $(R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )$ и $(R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).$

Соседства и открытые наборы

Две точки $x$ и $y$ являются $\Phi$-закрыть, если $(x,y)\in \Phi$ и подмножество $S\subseteq X$ называется $\Phi$-маленький, если $S\times S\subseteq \Phi .$

Позволять ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)$ быть основой окружения на $X.$ предварительный фильтр окрестности в точке $p\in X$ и, соответственно, на подмножестве $S\subseteq X$ являются семействами множеств : $${\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}$$ и фильтры включены $X$ каждый из которых генерирует, известен как фильтр соседства $p$ (соответственно, из $S$). Назначить каждому $x\in X$ предварительный фильтр соседства $${\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}$$ и использовать определение окрестности «открытого множества», чтобы получить топологию на $X$ называется топологией, индуцированной ${\mathcal {B}}$ или индуцированная топология . Явно, подмножество $U\subseteq X$ открыто в этой топологии тогда и только тогда, когда для любого $u\in U$ существует какой-то $N\in {\mathcal {B}}\cdot u$ такой, что $N\subseteq U;$ то есть, $U$ открыт тогда и только тогда, когда для каждого $u\in U$ существует какой-то $\Phi \in {\mathcal {B}}$ такой, что $\Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.$

Закрытие подмножества $S\subseteq X$ в этой топологии: $$\operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).$$

Предварительные фильтры Коши и полная однородность

Предварительный фильтр ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)$ на едином пространстве $X$ с единообразием ${\mathcal {U}}$ называется префильтром Коши, если для любого окружения $N\in {\mathcal {U}},$ существует какой-то $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F\times F\subseteq N.$

Единое пространство $(X,{\mathcal {U}})$ называется полное однородное пространство (соответственно секвенциально полное равномерное пространство ), если каждый префильтр Коши (соответственно каждый элементарный префильтр Коши) на $X$ сходится хотя бы к одной точке $X$ когда $X$ наделен топологией, индуцированной ${\mathcal {U}}.$

Случай топологического векторного пространства

Если $(X,\tau )$ является топологическим векторным пространством, тогда для любого $S\subseteq X$ и $x\in X,$ $$\Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,$$ и топология, индуцированная на $X$ по канонической однородности совпадает с топологией, которую $X$ началось с (то есть это $\tau$).

Равномерная непрерывность

Позволять $X$ и $Y$ быть ТВС, $D\subseteq X,$ и $f:D\to Y$ быть картой. Затем $f:D\to Y$ если равномерно непрерывен, для каждой окрестности $U$ происхождения в $X,$ существует район $V$ происхождения в $Y$ такой, что для всех $x,y\in D,$ если $y-x\in U$ затем $f(y)-f(x)\in V.$

Предположим, что $f:D\to Y$ является равномерно непрерывным. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является сетью Коши в $D$ затем $f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}$ является сетью Коши в $Y.$ Если ${\mathcal {B}}$ представляет собой предварительный фильтр Коши в $D$ (имеется в виду, что ${\mathcal {B}}$ представляет собой семейство подмножеств $D$ это Коши в $X$) затем $f\left({\mathcal {B}}\right)$ представляет собой предварительный фильтр Коши в $Y.$ Однако, если ${\mathcal {B}}$ это фильтр Коши на $D$ тогда хотя $f\left({\mathcal {B}}\right)$ будет предварительный фильтр Коши, это будет фильтр Коши в $Y$ тогда и только тогда, когда $f:D\to Y$ является сюръективным.

Полнота TVS против полноты (псевдо)метрик

Предварительные сведения: полные псевдометрические пространства.

Основные статьи: Полное метрическое пространство , Псевдометрическое пространство и последовательность Коши.

Дан обзор основных понятий, связанных с общей теорией полных псевдометрических пространств. Напомним, что каждая метрика является псевдометрикой и что псевдометрика $p$ является метрикой тогда и только тогда, когда $p(x,y)=0$ подразумевает $x=y.$ Таким образом, каждое метрическое пространство является псевдометрическим пространством и псевдометрическим пространством. $(X,p)$ является метрическим пространством тогда и только тогда, когда $p$ является метрикой.

Если $S$ является подмножеством псевдометрического пространства $(X,d)$ тогда диаметр ​ $S$ определяется как $$\operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.$$

Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ в псевдометрическом пространстве $(X,d)$ называется $d$-Префильтр Коши или просто предфильтр Коши, если для каждого реального $r>0,$ есть некоторые $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что диаметр $B$ меньше, чем $r.$

Предполагать $(X,d)$ является псевдометрическим пространством. сеть ​ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ называется $d$-Сеть Коши или просто сеть Коши, если $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ является предварительным фильтром Коши, который происходит тогда и только тогда, когда

для каждого $r>0$ есть некоторые $i\in I$ такое, что если $j,k\in I$ с $j\geq i$ и $k\geq i$ затем $d\left(x_{j},x_{k}\right)<r$

или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $\left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0$ в $\mathbb {R} .$ Это аналогично следующей характеристике сходимости $x_{\bullet }$ в точку: если $x\in X,$ затем $x_{\bullet }\to x$ в $(X,d)$ тогда и только тогда, когда $\left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0$ в $\mathbb {R} .$

Последовательность Коши — это последовательность, которая также является сетью Коши.

Каждая псевдометрика $p$ на съемочной площадке $X$ индуцирует обычную каноническую топологию на $X,$ который мы обозначим через $\tau _{p}$; это также приводит к канонической однородности на $X,$ который мы обозначим через ${\mathcal {U}}_{p}.$ Топология на $X$ вызванное однородностью ${\mathcal {U}}_{p}$ равно $\tau _{p}.$ И не $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ является Коши относительно $p$ тогда и только тогда, когда оно является Коши относительно равномерности ${\mathcal {U}}_{p}.$ Псевдометрическое пространство $(X,p)$ является полным (соответственно секвенциально полным) псевдометрическим пространством тогда и только тогда, когда $\left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)$ является полным (соответственно секвенциально полным) однородным пространством. Более того, псевдометрическое пространство $(X,p)$ (соответственно однородное пространство $\left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)$) полно тогда и только тогда, когда оно секвенциально полно.

Псевдометрическое пространство $(X,d)$ (например, метрическое пространство ) называется полным и $d$ называется полной псевдометрикой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый предварительный фильтр Коши включен $X$ сходится хотя бы к одной точке $X.$
2. Вышеприведенное утверждение, но слово «предварительный фильтр» заменено на «фильтр».
3. Каждая сеть Коши в $X$ сходится хотя бы к одной точке $X.$
   • Если $d$ является показателем $X$ то любая предельная точка обязательно уникальна, и то же самое верно для пределов предфильтров Коши на $X.$
4. Любая последовательность Коши в $X$ сходится хотя бы к одной точке $X.$
   • Таким образом, чтобы доказать, что $(X,d)$ полно, достаточно рассматривать только последовательности Коши в $X$ (при этом нет необходимости рассматривать более общие сети Коши).
5. Каноническая однородность на $X$ индуцированный псевдометрикой $d$ это полное единообразие.

И если дополнение $d$ является метрикой, то мы можем добавить к этому списку:

6. Любая убывающая последовательность замкнутых шаров, диаметры которых уменьшаются до $0$ имеет непустое пересечение.

Полная псевдометрика и полные TVS

Каждое F-пространство , а, следовательно, и каждое пространство Фреше , банахово пространство и гильбертово пространство , является полным TVS. Обратите внимание, что каждое F -пространство является пространством Бэра , но существуют нормированные пространства, которые являются бэровскими, но не банаховыми.

Псевдометрический $d$ в векторном пространстве $X$ Говорят, что это инвариант трансляции псевдометрический, если $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ для всех векторов $x,y,z\in X.$

Предполагать $(X,\tau )$ является псевдометризуемым TVS (например, метризуемым TVS) и что $p$ любая псевдометрика на $X$ такая, что топология на $X$ вызванный $p$ равно $\tau .$ Если $p$ является трансляционно-инвариантным, то $(X,\tau )$ является полным TVS тогда и только тогда, когда $(X,p)$ является полным псевдометрическим пространством. Если $p$ является не трансляционно-инвариантным, то это может быть возможно для $(X,\tau )$ быть полноценным TVS, но $(X,p)$ быть не полным псевдометрическим пространством (см. эту сноску для примера).

Теорема  (Клее) — Пусть $d$ быть любым метрика в векторном пространстве $X$ такая, что топология $\tau$ вызванный $d$ на $X$ делает $(X,\tau )$ в топологическое векторное пространство. Если $(X,d)$ является полным метрическим пространством, то $(X,\tau )$ это полноценный ТВС.

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы векторного пространства называются эквивалентными тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию. Если $p$ и $q$ две эквивалентные нормы в векторном пространстве $X$ тогда нормированное пространство $(X,p)$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда $(X,q)$ является банаховым пространством. В этой сноске приведен пример непрерывной нормы в банаховом пространстве, которая не эквивалентна заданной норме этого банахового пространства. Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством. Каждое банахово пространство является полным TVS. Нормированное пространство является банаховым (то есть его каноническая метрика, индуцированная нормой, является полной) тогда и только тогда, когда оно полно как топологическое векторное пространство.

Завершения

См. Также: Завершение (равномерное пространство) и Завершение (метрическое пространство).

Завершение ​ ТВС $X$ является полным TVS, содержащим плотное векторное подпространство, TVS-изоморфное $X.$ Другими словами, это полноценный ТВС. $C$ в который $X$ может быть вложено в TVS как плотное векторное подпространство . Каждое TVS-вложение является однородным вложением .

Каждое топологическое векторное пространство имеет пополнение. Более того, каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое обязательно уникально с точностью до TVS-изоморфизма . Однако все TVS, даже те, которые являются хаусдорфовыми, (уже) полными и/или метризуемыми, имеют бесконечное количество нехаусдорфовых пополнений, которые не TVS-изоморфны друг другу.

Примеры доработок

Например, векторное пространство, состоящее из простых скалярных функций $f$ для чего $|f|_{p}<\infty$ (где эта полунорма определяется обычным способом в терминах интегрирования Лебега ) становится полунормированным пространством , если наделить его этой полунормой, что, в свою очередь, превращает его как в псевдометрическое пространство , так и в нехаусдорфовскую неполную ТВС; любое пополнение этого пространства является нехаусдорфовым полным полунормированным пространством, которое при факторизации по замыканию его начала (чтобы получить хаусдорфово TVS ) приводит к (пространству, линейно изометрически изоморфному ) обычному полному хаусдорфову пространству. $L^{p}$-пространство (наделенное обычным полным $\|\cdot \|_{p}$ норма ).

В качестве еще одного примера, демонстрирующего полезность пополнений, пополнения топологических тензорных произведений , таких как проективные тензорные произведения или инъективные тензорные произведения , банахового пространства. $\ell ^{1}(S)$ с полной хаусдорфовой локально выпуклой ТВС $Y$ приводит к полной TVS, которая TVS-изоморфна «обобщенной» $\ell ^{1}(S;Y)$-пространство, состоящее $Y$-значные функции на $S$ (где эта «обобщенная» ТВС определяется аналогично исходному пространству $\ell ^{1}(S)$ скалярных функций на $S$). Аналогично, пополнение инъективного тензорного произведения пространства скалярных чисел $C^{k}$-проверить функции с таким ТВС $Y$ TVS-изоморфен аналогично определенному TVS $Y$-ценный $C^{k}$ тестовые функции.

Неединственность всех пополнений

Как показывает пример ниже, независимо от того, является ли пространство Хаусдорфовым или уже полным, каждое топологическое векторное пространство (TVS) имеет бесконечное количество неизоморфных пополнений.

Однако каждая хаусдорфова TVS имеет хаусдорфово пополнение, единственное с точностью до TVS-изоморфизма. Но тем не менее каждая хаусдорфова ТВС по-прежнему имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.

Пример ( Неединственность пополнений ): Позволять $C$ обозначим любую полную TVS и пусть $I$ обозначаем любую ТВС, наделенную недискретной топологией , что делает напоминание $I$ в полноценный ТВС. Поскольку оба $I$ и $C$ являются полноценными ТВСами, как и их продукт $I\times C.$ Если $U$ и $V$ являются непустыми открытыми подмножествами $I$ и $C,$ соответственно, тогда $U=I$ и $(U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,$ что показывает, что $\{0\}\times C$ является плотным подпространством $I\times C.$ Таким образом, по определению «завершения» $I\times C$ является завершением $\{0\}\times C$ (это не имеет значения $\{0\}\times C$ уже завершено). Итак, определив $\{0\}\times C$ с $C,$ если $X\subseteq C$ является плотным векторным подпространством $C,$ затем $X$ имеет оба $C$ и $I\times C$ как доработки.

Доработки Хаусдорфа

Каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, единственное с точностью до TVS-изоморфизма. Но тем не менее, как показано выше, каждая хаусдорфова ТВС все равно имеет бесконечное число неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.

Свойства хаусдорфовых пополнений — Предположим, что $X$ и $C$ являются хаусдорфовыми ТВС с $C$ полный. Предположим, что $E:X\to C$ является TVS-вложением в плотное векторное подпространство $C.$ Затем

Универсальное свойство : для любого непрерывного линейного отображения. $f:X\to Z$ в полноценный ТВС Хаусдорфа $Z,$ существует единственное непрерывное линейное отображение $F:C\to Z$ такой, что $f=F\circ E.$

Если $E_{2}:X\to C_{2}$ является ТВС-вложением в плотное векторное подпространство полной хаусдорфовой ТВС. $C_{2}$ обладая указанным выше универсальным свойством, то существует единственный (биективный) TVS-изоморфизм $I:C\to C_{2}$ такой, что $E_{2}=I\circ E.$

Следствие - Предполагать $C$ является полным хаусдорфовым ТВС и $X$ является плотным векторным подпространством $C.$ Тогда каждое непрерывное линейное отображение $f:X\to Z$ в полноценный ТВС Хаусдорфа $Z$ имеет единственное непрерывное линейное расширение на карту $C\to Z.$

Существование пополнений Хаусдорфа

См. также: Фильтры в топологии.

Фильтр Коши ${\mathcal {B}}$ на ТВС $X$ называется минимальный фильтр Коши если не существует фильтра Коши на $X$ это строго грубее, чем ${\mathcal {B}}$ (то есть «строго грубее, чем ${\mathcal {B}}$" означает, что оно содержится как правильное подмножество ${\mathcal {B}}$).

Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр Коши на $X$ затем фильтр, созданный следующим префильтром: $$\left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}$$ — уникальный минимальный фильтр Коши на $X$ который содержится как подмножество ${\mathcal {B}}.$ В частности, для любого $x\in X,$ фильтр соседства в $x$ — минимальный фильтр Коши.

Позволять $\mathbb {M}$ — множество всех минимальных фильтров Коши на $X$ и пусть $E:X\rightarrow \mathbb {M}$ быть картой, определенной отправкой $x\in X$ к фильтру соседства $x$ в $X.$ Даровать $\mathbb {M}$ со следующей структурой векторного пространства: Данный ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M}$ и скаляр $s,$ позволять ${\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}$ (соответственно $s{\mathcal {B}}$) обозначают уникальный минимальный фильтр Коши, содержащийся в фильтре, порожденном $\left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}$ (соответственно $\{sB:B\in {\mathcal {B}}\}$).

Для каждого сбалансированного соседства $N$ происхождения в $X,$ позволять $$\mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}$$

Если $X$ является Хаусдорфом, тогда совокупность всех множеств $\mathbb {U} (N),$ как $N$ распространяется по всем сбалансированным окрестностям начала координат в $X,$ образует векторную топологию на $\mathbb {M}$ изготовление $\mathbb {M}$ в полную хаусдорфовую ТВС. Более того, карта $E:X\rightarrow \mathbb {M}$ является TVS-вложением в плотное векторное подпространство $\mathbb {M} .$

Если $X$ является метризуемым TVS , то является хаусдорфовым пополнением $X$ могут быть построены с использованием классов эквивалентности последовательностей Коши вместо минимальных фильтров Коши.

Нехаусдорфские завершения

В этом подразделе подробно описано, как каждый нехаусдорфовый TVS $X$ может быть TVS-вложено в плотное векторное подпространство полного TVS. Доказательство того, что каждая хаусдорфова TVS имеет хаусдорфово пополнение, широко доступно, и поэтому этот факт будет использоваться (без доказательства), чтобы показать, что каждая нехаусдорфова TVS также имеет пополнение. Эти детали иногда полезны для распространения результатов от TVS Хаусдорфа на нехаусдорфские TVS.

Позволять $I=\operatorname {cl} \{0\}$ обозначают замыкание начала координат в $X,$ где $I$ наделен топологией подпространства, индуцированной $X$ (так что $I$ имеет недискретную топологию ). С $I$ имеет тривиальную топологию, легко показать, что каждое векторное подпространство $X$ это алгебраическое дополнение $I$ в $X$ обязательно является топологическим дополнением $I$ в $X.$ Позволять $H$ обозначают любое топологическое дополнение $I$ в $X,$ которая обязательно является хаусдорфовой TVS (поскольку она TVS-изоморфна фактор-TVS $X/I$). С $X$ является топологической прямой суммой $I$ и $H$ (что означает, что $X=I\oplus H$ в категории ТВС) каноническое отображение $$I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y$$ является TVS-изоморфизмом. Позволять $A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H$ обозначим обратное к этому каноническому отображению. (Кстати, отсюда следует, что каждое открытое и каждое закрытое подмножество $U$ из $X$ удовлетворяет $U=I+U.$)

Хаусдорф ТВС $H$ может быть встроен в TVS, скажем, через карту $\operatorname {In} _{H}:H\to C,$ на плотное векторное подпространство его пополнения $C.$ С $I$ и $C$ полны, как и их продукт $I\times C.$ Позволять $\operatorname {Id} _{I}:I\to I$ обозначим карту идентичности и заметим, что карта продукта $\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C$ представляет собой TVS-вложение, изображение которого плотно в $I\times C.$ Определите карту $$B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A$$ которое представляет собой TVS-вложение $X=I\oplus H$ на плотное векторное подпространство полной TVS $I\times C.$ Более того, заметим, что замыкание начала координат в $I\times C$ равно $I\times \{0\},$ и это $I\times \{0\}$ и $\{0\}\times C$ являются топологическими дополнениями в $I\times C.$

Подводя итог, учитывая любое алгебраическое (и, следовательно, топологическое) дополнение $H$ из $I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}$ в $X$ и при любом завершении $C$ Хаусдорфа ТВС $H$ такой, что $H\subseteq C,$ тогда естественное включение $$\operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C$$ является четко определенным TVS-вложением $X$ на плотное векторное подпространство полной TVS $I\oplus C$ где, кроме того, $$X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.$$

Топология завершения

Теорема  (Топология пополнения) — Пусть $C$ быть полным TVS и пусть $X$ быть плотным векторным подпространством $X.$ Если ${\mathcal {N}}_{X}(0)$ — любая база окрестности начала координат в $X$ тогда набор $${\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}$$ является окрестностью начала координат в пополнении $C$ из $X.$

Если $X$ является локально выпуклым и ${\mathcal {P}}$ является семейством непрерывных полунорм на $X$ которые генерируют топологию $X,$ то семейство всех непрерывных расширений на $C$ всех членов ${\mathcal {P}}$ является порождающим семейством полунорм для $C.$

Говоря иначе, если $C$ является завершением ТВС $X$ с $X\subseteq C$ и если ${\mathcal {N}}$ является базой окрестности начала координат в $X,$ тогда семейство множеств $$\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}$$ является базисом окрестности в начале координат в $C.$

Теорема  (Пополнения частных) — Пусть $M$ — метризуемое топологическое векторное пространство и пусть $N$ быть замкнутым векторным подпространством $M.$ Предположим, что $C$ является завершением $M.$ Затем завершение $M/N$ TVS-изоморфен $C/\operatorname {cl} _{C}N.$ Если вдобавок $M$ является нормированным пространством, то этот TVS-изоморфизм также является изометрией.

Теорема Гротендика о полноте.

См. также: Фильтры в топологии.

Позволять ${\mathcal {E}}$ обозначают эквинепрерывная компактология в непрерывном дуальном пространстве $X^{\prime },$ которое по определению состоит из всех равнонепрерывных слабо* замкнутых и слабо* ограниченных абсолютно выпуклых подмножеств $X^{\prime }$ (которые обязательно являются слабо* компактными подмножествами $X^{\prime }$). Предположим, что каждый $E^{\prime }\in {\mathcal {E}}$ наделен топологиейweak-* . Фильтр ​ ${\mathcal {B}}$ на $X^{\prime }$ говорят, что непрерывно сходятся к $x^{\prime }\in X^{\prime }$ если существует какой-то $E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}$ содержащий $x^{\prime }$ (то есть, $x^{\prime }\in E^{\prime }$) такой, что след ${\mathcal {B}}$ на $E^{\prime },$ что такое семья ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},$ сходится к $x^{\prime }$ в $E^{\prime }$ (то есть, если ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }$ в данной топологииweak-*). Фильтр ${\mathcal {B}}$ непрерывно сходится к $x^{\prime }$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}-x^{\prime }$ непрерывно сходится к началу координат, что происходит тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X,$ фильтр $\langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle$ в скалярном поле (которое $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) где ${\mathcal {N}}$ обозначает любой базис окрестности в начале координат в $X,$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает дуальное спаривание и $\langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle$ обозначает фильтр, сгенерированный $\{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.$ Карта $f:X^{\prime }\to T$ в топологическое пространство (такое как $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) говорят, что $\gamma$-непрерывно, если всякий раз, когда фильтр ${\mathcal {B}}$ на $X^{\prime }$ непрерывно сходится к $x^{\prime }\in X^{\prime },$ затем $f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).$

Теорема Гротендика о полноте. - Если $X$ является топологическим векторным пространством Хаусдорфа, то его пополнение линейно изоморфно множеству всех $\gamma$-непрерывные линейные функции на $X^{\prime }.$

Недвижимость, сохраненная после достройки

Если ТВС $X$ имеет любое из следующих свойств, то и его завершение тоже:

• Хаусдорф
• Локально выпуклый
• Псевдометризуемый
• метризуемый
• Полунормативный
• Нормативный
  • Более того, если $(X,p)$ является нормированным пространством, то пополнение можно выбрать банаховым пространством $(B,q)$ такое, что TVS-вложение $(X,p)$ в $(B,q)$ является изометрией.
• Хаусдорф до Гильберта . То есть TVS, вызванное внутренним продуктом .
• Ядерный
• ствольный
• Макки
• DF-пространство

Пополнения гильбертовых пространств

Каждое внутреннее пространство продукта $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$ имеет завершение $\left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)$ это гильбертово пространство, где скалярное произведение $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}$ является уникальным непрерывным продолжением ${\overline {H}}$ исходного внутреннего продукта $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$ Норма, индуцированная $\left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)$ также является уникальным непрерывным расширением ${\overline {H}}$ нормы, вызванной $\langle \cdot ,\cdot \rangle .$

Другие сохранившиеся объекты

Если $X$ является хаусдорфовой TVS, то непрерывное дуальное пространство $X$ тождественно непрерывному дуальному пространству пополнения $X.$ Пополнением локально-выпуклого борнологического пространства является бочкообразное пространство . Если $X$ и $Y$ являются DF-пространствами , то проективное тензорное произведение и его пополнение этих пространств является DF-пространством.

Пополнение проективного тензорного произведения двух ядерных пространств является ядерным. Пополнение ядерного пространства TVS-изоморфно проективному пределу гильбертовых пространств .

Если $X=Y\oplus Z$ (это означает, что карта сложения $Y\times Z\to X$ является TVS-изоморфизмом) имеет хаусдорфово пополнение $C$ затем $\left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.$ Если вдобавок $X$ является внутренним пространством продукта и $Y$ и $Z$ являются ортогональными дополнениями друг друга в $X$ (то есть, $\langle Y,Z\rangle =\{0\}$), затем $\operatorname {cl} _{C}Y$ и $\operatorname {cl} _{C}Z$ являются ортогональными дополнениями в гильбертовом пространстве $C.$

Свойства карт, сохраняемых расширениями до завершения

Если $f:X\to Y$ является ядерным линейным оператором между двумя локально выпуклыми пространствами, и если $C$ быть завершением $X$ затем $f$ имеет единственное непрерывное линейное расширение до ядерного линейного оператора $F:C\to Y.$

Позволять $X$ и $Y$ быть двумя хаусдорфовыми ТВС с $Y$ полный. Позволять $C$ быть завершением $X.$ Позволять $L(X;Y)$ обозначим векторное пространство непрерывных линейных операторов и пусть $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ обозначают карту, которая отправляет каждый $f\in L(X;Y)$к его единственному непрерывному линейному продолжению на $C.$ Затем $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ является (сюръективным) изоморфизмом векторного пространства. Более того, $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ отображает семейства равнонепрерывных подмножеств друг на друга. Предположим, что $L(X;Y)$ наделен ${\mathcal {G}}$-топология и все такое ${\mathcal {H}}$ обозначает замыкания в $C$ наборов в ${\mathcal {G}}.$ Тогда карта $I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)$ также является TVS-изоморфизмом.

Примеры и достаточные условия полной ТВС.

Теорема — Позволять $d$ быть любой (не предполагаемой трансляционно-инвариантной) метрикой векторного пространства $X$ такая, что топология $\tau$ вызванный $d$ на $X$ делает $(X,\tau )$ в топологическое векторное пространство. Если $(X,d)$ является полным метрическим пространством, то $(X,\tau )$ это полноценный ТВС.

• Любая ТВС, наделенная тривиальной топологией , полна и каждое ее подмножество полно. Более того, каждая ТВС с тривиальной топологией компактна и, следовательно, локально компактна. Таким образом, полная полунормируемая локально выпуклая и локально компактная ТВС не обязана быть конечномерной, если она не хаусдорфова.
• Тем же свойством обладает произвольное произведение полных (соответственно секвенциально полных, квазиполных) ТВС. Если все пространства хаусдорфовы, то верно и обратное. Произведение хаусдорфовых пополнений семейства (Хаусдорфовых) TVS является хаусдорфовым пополнением их произведения TVS. В более общем смысле, произвольный продукт полных подмножеств семейства TVS является полным подмножеством продукта TVS.
• Тем же свойством обладает проективный предел проективной системы полных по Хаусдорфу (соответственно секвенциально полных, квазиполных) ТВС. Проективный предел хаусдорфовых пополнений обратной системы (Хаусдорфовых) ТВС есть хаусдорфово пополнение их проективного предела.
• Если $M$ — замкнутое векторное подпространство полной псевдометризуемой ТВС $X,$ тогда факторпространство $X/M$ завершен.
• Предполагать $M$ является полным векторным подпространством метризуемого TVS $X.$ Если факторпространство $X/M$ завершено, то так же $X.$ Однако существует полноценная ТВС $X$ наличие замкнутого векторного подпространства $M$ такой, что частное TVS $X/M$ является не полным.
• Каждое F-пространство , пространство Фреше , банахово пространство и гильбертово пространство является полным TVS.
• Строгие LF-пространства и строгие LB-пространства полны.
• Предположим, что $D$ является плотным подмножеством TVS $X.$ Если каждый фильтр Коши включен $D$ сходится к некоторой точке $X$ затем $X$ завершен.
• Пространство Шварца гладких функций полно.
• Пространства распределений и тестовых функций полны.
• Предположим, что $X$ и $Y$ являются локально выпуклыми TVS и что пространство непрерывных линейных отображений $L_{b}(X;Y)$ наделена топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X.$ Если $X$ является борнологическим пространством , и если $Y$ тогда завершено $L_{b}(X;Y)$ это полноценный ТВС. В частности, сильный дуал борнологического пространства является полным. Однако оно не обязательно должно быть роднологическим.
• Каждое квазиполное DF-пространство полно.
• Позволять $\omega$ и $\tau$ быть ТВС-топологиями Хаусдорфа в векторном пространстве. $X$ такой, что $\omega \subseteq \tau .$ Если существует предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ такой, что ${\mathcal {B}}$ является базисом окрестности в начале координат для $(X,\tau )$ и такой, что каждый $B\in {\mathcal {B}}$ представляет собой полное подмножество $(X,\omega ),$ затем $(X,\tau )$ это полноценный ТВС.

Характеристики

Полные ТВС

Любая ТВС имеет пополнение , а каждая ТВС Хаусдорфа имеет пополнение Хаусдорфа. Всякая полная TVS является квазиполным пространством и секвенциально полной . Однако обратные выводы из вышеизложенных выводов, как правило, ошибочны. Существует секвенциально полная локально выпуклая ТВС, не являющаяся квазиполной .

Если ТВС имеет полную окрестность начала координат, то она полная. Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочоночным пространством и пространством Бэра (и, следовательно, нетощим). Размерность полной метризуемой ТВС либо конечна, либо несчетна.

Сети Коши и предварительные фильтры

Любой базис окрестности любой точки TVS является предварительным фильтром Коши.

Каждая сходящаяся сеть (соответственно префильтр) в ТВС обязательно является сетью Коши (соответственно префильтром Коши). Любой предварительный фильтр, который является подчиненным (то есть более тонким, чем) предварительному фильтру Коши, обязательно также является предварительным фильтром Коши. и любой предварительный фильтр, более тонкий, чем предварительный фильтр Коши, также является предварительным фильтром Коши. Фильтр, связанный с последовательностью в TVS, является Коши тогда и только тогда, когда последовательность является последовательностью Коши. Каждый конвергентный предварительный фильтр является предварительным фильтром Коши.

Если $X$ это TVS, и если $x\in X$ является точкой кластера сети Коши (соответственно префильтра Коши), то эта сеть Коши (соответственно этого префильтра Коши) сходится к $x$ в $X.$ Если фильтр Коши в ТВС имеет точку накопления $x$ тогда он сходится к $x.$

Равномерно непрерывные отображения переводят сети Коши в сети Коши. Последовательность Коши в ТВС Хаусдорфа $X,$ если рассматривать его как множество, оно не обязательно является относительно компактным (т. е. его замыкание в $X$ не обязательно компактный ), хотя он предкомпакт (т.е. его замыкание при завершении $X$ компактен).

Любая последовательность Коши является ограниченным подмножеством , но это не обязательно верно для сети Коши. Например, пусть $\mathbb {N}$ пусть будет обычный порядок, пусть $\,\leq \,$ обозначаем любой предпорядок на неиндискретном TVS $X$ (то есть, $X$ не имеет тривиальной топологии ; также предполагается, что $X\cap \mathbb {N} =\varnothing$) и расширим эти два предварительных порядка до объединения $I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N}$ заявив, что $x\leq n$ держится для каждого $x\in X$ и $n\in \mathbb {N} .$ Позволять $f:I\to X$ определяться $f(i)=i$ если $i\in X$ и $f(i)=0$ в противном случае (то есть, если $i\in \mathbb {N}$), который представляет собой сеть в $X$ так как предзаказ установлен $(I,\leq )$ направлен на (этот предзаказ $I$ также является частичным порядком (соответственно, полным порядком ), если это верно для $(X,\leq )$). Эта сеть $f$ является сетью Коши в $X$ потому что оно сходится к началу координат, но множество $\{f(i):i\in I\}=X$ не является ограниченным подмножеством $X$ (потому что $X$ не имеет тривиальной топологии).

Предположим, что $X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ это семейство телевизоров, и это $X$ обозначает произведение этих TVS. Предположим, что для каждого индекса $i,$ ${\mathcal {B}}_{i}$это предварительный фильтр на $X_{i}.$ Тогда продуктом этого семейства предфильтров является фильтр Коши на $X$ тогда и только тогда, когда каждый ${\mathcal {B}}_{i}$это фильтр Коши на $X_{i}.$

Карты

Если $f:X\to Y$ является инъективным топологическим гомоморфизмом полной ТВС в хаусдорфовую ТВС, то образ $f$ (то есть, $f(X)$) является замкнутым подпространством $Y.$ Если $f:X\to Y$ является топологическим гомоморфизмом полной метризуемой ТВС в хаусдорфовую ТВС, тогда образ $f$ является замкнутым подпространством $Y.$ Если $f:X\to Y$ является равномерно непрерывным отображением между двумя хаусдорфовыми ТВС, тогда изображение под $f$ вполне ограниченного подмножества $X$ является полностью ограниченным подмножеством $Y.$

Равномерно непрерывные расширения

Предположим, что $f:D\to Y$ — равномерно непрерывное отображение плотного подмножества $D$ ТВС $X$ в полноценный ТВС Хаусдорфа $Y.$ Затем $f$ имеет единственное равномерно непрерывное продолжение на все $X.$ Если вдобавок $f$ является гомоморфизмом, то его единственное равномерно непрерывное расширение также является гомоморфизмом. Это останется верным, если «TVS» заменить «коммутативной топологической группой». Карта $f$ не обязательно должно быть линейным отображением и что $D$ не обязательно должно быть векторным подпространством $X.$

Равномерно непрерывные линейные расширения

Предполагать $f:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор между двумя хаусдорфовыми ТВС. Если $M$ является плотным векторным подпространством $X$ и если ограничение $f{\big \vert }_{M}:M\to Y$ к $M$ является топологическим гомоморфизмом, то $f:X\to Y$ также является топологическим гомоморфизмом. Итак, если $C$ и $D$ являются хаусдорфовыми пополнениями $X$ и $Y,$ соответственно, и если $f:X\to Y$ является топологическим гомоморфизмом, то $f$уникальное непрерывное линейное расширение $F:C\to D$ является топологическим гомоморфизмом. (Обратите внимание, что это возможно для $f:X\to Y$ быть сюръективным, но для $F:C\to D$ чтобы не быть инъективным.)

Предполагать $X$ и $Y$ являются хаусдорфовыми ТВС, $M$ является плотным векторным подпространством $X,$ и $N$ является плотным векторным подпространством $Y.$ Если $M$ и $N$ являются топологически изоморфными аддитивными подгруппами посредством топологического гомоморфизма $f$ то то же самое верно и для $X$ и $Y$ посредством уникального равномерно непрерывного продолжения $f$ (что также является гомеоморфизмом).

Подмножества

Полные подмножества

Каждое полное подмножество TVS является секвенциально полным . Полное подмножество телевизоров Хаусдорфа. $X$ является закрытым подмножеством $X.$

Каждое компактное подмножество ТВС полно (даже если ТВС не хаусдорфово или неполно). Закрытые подмножества полной TVS полны; однако, если TVS $X$ тогда не полный $X$ является закрытым подмножеством $X$ это не полно. Пустое множество является полным подмножеством каждого TVS. Если $C$ является полным подмножеством TVS (TVS не обязательно является Хаусдорфовым или полным), то любое подмножество TVS $C$ который закрыт в $C$ завершен.

Топологические дополнения

Если $X$ — ненормируемое пространство Фреше , на котором существует непрерывная норма, то $X$ содержит замкнутое векторное подпространство, не имеющее топологического дополнения . Если $X$ представляет собой полноценный TVS и $M$ является замкнутым векторным подпространством $X$ такой, что $X/M$ не является полным, то $H$ не имеет топологического дополнения в $X.$

Подмножества завершений

Позволять $M$ — сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство и пусть $C$ быть его завершением. Если $S$ является ограниченным подмножеством $C$ тогда существует ограниченное подмножество $R$ из $X$ такой, что $S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.$

Отношение к компактным подмножествам

Подмножество ТВС ( не предполагаемое хаусдорфовым или полным) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . Таким образом, замкнутое и вполне ограниченное подмножество полной ТВС компактно.

В хаусдорфовой локально выпуклой TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. Следовательно, в полной локально выпуклой хаусдорфовой ТВС замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна.

Выпуклая оболочка компактного подмножества гильбертова пространства не обязательно замкнута и, следовательно, не обязательно компактна. Например, пусть $H$ — сепарабельное гильбертово пространство $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ суммируемых с квадратом последовательностей с обычной нормой $\|\cdot \|_{2}$ и пусть $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ быть стандартным ортонормированным базисом (т.е. $1$ в $n^{\text{th}}$-координата). Закрытый набор $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}$ компактен, но его выпуклая оболочка $\operatorname {co} S$ является не замкнутым множеством, поскольку $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ относится к закрытию $\operatorname {co} S$ в $H$ но $h\not \in \operatorname {co} S$ (поскольку каждая последовательность $z\in \operatorname {co} S$ есть конечная выпуклая комбинация элементов $S$ и так обязательно $0$ во всех координатах, кроме конечного числа, чего нельзя сказать о $h$). Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ этого компактного подмножества компактно. Векторное подпространство $X:=\operatorname {span} S$ является предгильбертовым пространством , если оно наделено подструктурой, которую имеет гильбертово пространство. $H$ побуждает к этому, но $X$ не является полным и $h\not \in K\cap X$ (с $h\not \in X$). Замкнутая выпуклая оболочка $S$ в $X$ (здесь «закрытый» означает по отношению к $X,$ и не $H$ как и раньше) равно $K\cap X,$ которое не является компактным (поскольку оно не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ).

Всякое полное вполне ограниченное множество относительно компактно. Если $X$ является любым TVS, то фактор-карта $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ это закрытая карта и таким образом $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ Подмножество $S$ ТВС $X$ вполне ограничен тогда и только тогда, когда его образ при каноническом факторотображении $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ полностью ограничен. Таким образом $S$ вполне ограничен тогда и только тогда, когда $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ полностью ограничен. В любом TVS замыкание вполне ограниченного подмножества снова вполне ограничено. В локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки вполне ограниченного множества вполне ограничены. Если $S$ это подмножество TVS $X$ такая, что каждая последовательность в $S$ имеет точку кластера в $S$ затем $S$ полностью ограничен. Подмножество $S$ хаусдорфского ТВС $X$ вполне ограничен тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на $S$ является Коши, что происходит тогда и только тогда, когда оно предкомпактно (т. е. его замыкание при завершении $X$ компактен).

Если $S\subseteq X$ компактен, то $\operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ и этот набор компактен. Таким образом, замыкание компакта компактно (т. е. все компакты относительно компактны ). Таким образом, замыкание компакта компактно. Каждое относительно компактное подмножество хаусдорфовой ТВС вполне ограничено.

В полном локально выпуклом пространстве выпуклая и дисковая оболочки компакта компактны. В более общем смысле, если $K$ — компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка $\operatorname {co} K$ (соответственно дисковый корпус $\operatorname {cobal} K$) компактен тогда и только тогда, когда он полон. Каждое подмножество $S$ из $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ компактен и, следовательно, полон. В частности, если $X$ не является Хаусдорфом, то существуют незамкнутые компактные полные множества.

См. также

• Полное метрическое пространство - Метрическая геометрия
• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Псевдометрическое пространство - Обобщение метрических пространств в математике.
• Квазиполное пространство - топологическое векторное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество полно.
• Последовательное завершение
• Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.

Примечания

Доказательства

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN  978-90-277-1355-1 . OCLC   9944489 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Богачев Владимир I; Смолянов, Олег Георгиевич (2017). Топологические векторные пространства и их приложения . Монографии Спрингера по математике . Чам, Швейцария: Springer International Publishing. ISBN  978-3-319-57117-1 . OCLC   987790956 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN  978-0201029857 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN.  0-387-98431-3
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Осборн, Мейсон Скотт (2013). Локально выпуклые пространства . Тексты для аспирантов по математике. Том. 269. Чам Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-319-02045-7 . OCLC   865578438 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co.  978-0-356-02077-8 . OCLC   463753 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель . ISBN  978-3-030-32945-7 . OCLC   1145563701 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .