Атомный оператор

В математике ядерные операторы — это важный класс линейных операторов, введенный Александром Гротендиком в его докторской диссертации. Ядерные операторы тесно связаны с проективным тензорным произведением двух топологических векторных пространств (TVS).

Предварительные сведения и обозначения

Везде пусть X , Y и Z — топологические векторные пространства (TVS), а L : X → Y — линейный оператор (никаких предположений о непрерывности не делается, если не указано иное).

• Проективное тензорное произведение двух локально выпуклых ТВС X и Y обозначается через $X\otimes _{\pi }Y$ и пополнение этого пространства будем обозначать через $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$.
• L : X → Y является топологическим гомоморфизмом или гомоморфизмом , если он линейный, непрерывный и $L:X\to \operatorname {Im} L$ это открытая карта , где $\operatorname {Im} L$, образ L , имеет топологию подпространства, индуцированную Y .
  • Если S — подпространство X , то и фактор-отображение X → X / S , и каноническая инъекция S → X являются гомоморфизмами.
• Множество непрерывных линейных отображений X → Z (соответственно непрерывных билинейных отображений $X\times Y\to Z$) будет обозначаться L( X , Z ) (соответственно B( X , Y ; Z )) где, если Z является основным скалярным полем, тогда мы можем вместо этого написать L( X ) (соответственно B( X , Y )) .
• Любая линейная карта $L:X\to Y$ можно канонически разложить следующим образом: $X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y$ где $L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)$ определяет биекцию, называемую канонической биекцией, связанной с L .
• Х * или $X'$ будет обозначать непрерывное двойственное пространство к X .
  • Для повышения наглядности изложения мы воспользуемся общепринятыми правилами написания элементов $X'$ с штрихом после символа (например, $x'$ обозначает элемент $X'$ а не, скажем, производная и переменные x и $x'$ не обязательно должны быть каким-либо образом связаны).
• $X^{\#}$ будет обозначать алгебраическое двойственное пространство к X (которое является векторным пространством всех линейных функционалов на X , независимо от того, непрерывны они или нет).
• Линейное отображение L : H → H из гильбертова пространства в себя называется положительным , если $\langle L(x),x\rangle \geq 0$ для каждого $x\in H$. В этом случае существует единственное положительное отображение r : H → H , называемое квадратным корнем из L , такое, что $L=r\circ r$.
  • Если $L:H_{1}\to H_{2}$ — любое непрерывное линейное отображение между гильбертовыми пространствами, тогда $L^{*}\circ L$ всегда положительный. Теперь пусть R : H → H положительный квадратный корень, который называется абсолютным значением L обозначает его . Определять $U:H_{1}\to H_{2}$ сначала на $\operatorname {Im} R$ установив $U(x)=L(x)$ для $x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R$ и расширение $U$ постоянно, чтобы ${\overline {\operatorname {Im} R}}$, а затем определим U на $\ker R$ установив $U(x)=0$ для $x\in \ker R$ и распространим эту карту линейно на все $H_{1}$. Карта $U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L$ является сюръективной изометрией и $L=U\circ R$.
• Линейная карта $\Lambda :X\to Y$ называется компактным или вполне непрерывным, если существует окрестность U начала координат в X такая, что $\Lambda (U)$ предкомпактно ​ в Y .

В гильбертовом пространстве положительные компактные линейные операторы, скажем, L : H → H имеют простое спектральное разложение, открытое в начале 20 века Фредгольмом и Ф. Риссом:

Существует последовательность положительных чисел, убывающая и либо конечная, либо сходящаяся к 0: $r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots$ и последовательность ненулевых конечномерных подпространств $V_{i}$ H ( i = 1, 2, $\ldots$) со следующими свойствами: (1) подпространства $V_{i}$ попарно ортогональны; (2) для каждого i и каждого $x\in V_{i}$, $L(x)=r_{i}x$; и (3) ортогональ подпространства, натянутого на ${\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}$ равен ядру L .

Обозначения топологий

Основные статьи: Топология равномерной сходимости и топология Макки

• σ ( X , X ′) обозначает самую грубую топологию на X, делающую каждое отображение в X ′ непрерывным и $X_{\sigma \left(X,X'\right)}$ или $X_{\sigma }$ обозначает X , наделенный этой топологией .
• σ ( X ′, X ) обозначает топологию слабой* на X* и $X_{\sigma \left(X',X\right)}$ или $X'_{\sigma }$ обозначает X ', наделенный этой топологией .
  • Обратите внимание, что каждый $x_{0}\in X$ вызывает карту $X'\to \mathbb {R}$ определяется $\lambda \mapsto \lambda (x_{0})$. σ (X′, X) — самая грубая топология на X′, делающая все такие отображения непрерывными.
• b(X, X′) обозначает топологию ограниченной сходимости на X и $X_{b\left(X,X'\right)}$ или $X_{b}$ обозначает X , наделенный этой топологией .
• b(X′, X) обозначает топологию ограниченной сходимости на X′ или сильную двойственную топологию на X′ и $X_{b\left(X',X\right)}$ или $X'_{b}$ обозначает X ', наделенный этой топологией .
  • Как обычно, если X * рассматривается как топологическое векторное пространство, но не выяснено, какой топологией оно наделено, то топологией будет считаться b( X ′, X ).

Каноническое тензорное произведение как подпространство двойственного к Bi( X , Y )

Пусть X и Y — векторные пространства (топология пока не нужна) и пусть Bi( X , Y ) — пространство всех билинейных отображений, определенных на $X\times Y$ и переходя в основное скалярное поле.

Для каждого $(x,y)\in X\times Y$, позволять $\chi _{(x,y)}$ — каноническая линейная форма на Bi( X , Y ), определенная формулой $\chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)$ для каждого u ∈ Bi( X , Y ). Это индуцирует каноническое отображение $\chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}$ определяется $\chi (x,y):=\chi _{(x,y)}$, где $\mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}$ обозначает алгебраический двойственный элемент Bi( X , Y ). Если мы обозначим диапазон диапазона 𝜒 через X ⊗ Y , то можно показать, что X ⊗ Y вместе с 𝜒 образует тензорное произведение X Y и y (где x ⊗ ( := 𝜒 ) ) x , y . каноническое тензорное произведение X и Y. Это дает нам

Если Z — любое другое векторное пространство, то отображение Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z ), заданное формулой u ↦ u ∘ 𝜒 , является изоморфизмом векторных пространств. В частности, это позволяет отождествить алгебраическое двойственное к X ⊗ Y пространство билинейных форм на X × Y . Более того, если X и Y — локально выпуклые топологические векторные пространства (TVS) и если X ⊗ Y задана π -топология, то для каждого локально выпуклого TVS Z это отображение ограничивается изоморфизмом векторного пространства $L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)$ из пространства непрерывных линейных отображений на пространство непрерывных билинейных отображений. В частности, непрерывное двойственное к X ⊗ Y канонически можно отождествить с пространством B( X , Y ) непрерывных билинейных форм на X × Y ; более того, при этом отождествлении равностепенные подмножества B( X , Y ) совпадают с равностепенными подмножествами B(X, Y). $(X\otimes _{\pi }Y)'$.

Ядерные операторы между банаховыми пространствами

Основные статьи: Ядерные операторы между банаховыми пространствами и проективное тензорное произведение

Существует вложение в каноническое векторное пространство. $I:X'\otimes Y\to L(X;Y)$ определяется отправкой ${\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}$ на карту

$x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.$

Если предположить, что X и Y — банаховы пространства, то отображение $I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)$ имеет норму $1$ (чтобы увидеть, что это норма $\leq 1$, Обратите внимание, что ${\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}$ так что $\left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }$). Таким образом, оно имеет непрерывное расширение до отображения ${\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)$, где известно, что это отображение не обязательно инъективно. Диапазон этой карты обозначен $L^{1}(X;Y)$ и его элементы называются ядерными операторами . $L^{1}(X;Y)$ TVS-изоморфен $\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}$ и норма на этом факторпространстве при переносе на элементы $L^{1}(X;Y)$ через индуцированное отображение ${\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)$, называется нормой-следом и обозначается $\|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }$. Явно, если $T:X\to Y$ тогда это ядерный оператор ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}$.

Характеристика

Предположим, что X и Y — банаховы пространства и что $N:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор.

• Следующие действия эквивалентны:
  1. $N:X\to Y$ является ядерным.
  2. Существует последовательность $\left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }$ в замкнутом единичном шаре $X'$, последовательность $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в замкнутом единичном шаре $Y$и сложная последовательность $\left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ такой, что ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ и $N$ равно отображению: ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ для всех $x\in X$. Кроме того, след-норма $\|N\|_{\operatorname {Tr} }$ равен нижней части числа ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}$ над множеством всех представлений $N$ как раз такой сериал.
• Если Y рефлексивно , то $N:X\to Y$ является ядерным тогда и только тогда, когда ${}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}$ является ядерным, и в этом случае ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$.

Характеристики

Пусть X и Y — банаховы пространства и пусть $N:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор.

• Если $N:X\to Y$ это ядерная карта, то ее транспонировать ${}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}$ является непрерывным ядерным отображением (когда двойственные пространства несут свою сильную двойственную топологию) и ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$.

Ядерные операторы между гильбертовыми пространствами

См. также: Класс трассировки.

Ядерные автоморфизмы гильбертова пространства называются ядерного класса операторами .

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, и пусть N : X → Y — непрерывное линейное отображение. Предположим, что $N=UR$ где R : X → X — квадратный корень из $N^{*}N$ и U : X → Y таков, что $U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N$ является сюръективной изометрией. Тогда N — ядерное отображение тогда и только тогда, когда R — ядерное отображение; следовательно, для изучения ядерных отображений между гильбертовыми пространствами достаточно ограничиться положительными самосопряженными операторами R .

Характеристики

Пусть X и Y — гильбертовы пространства, и пусть N : X → Y — непрерывное линейное отображение, абсолютное значение которого R : X → X. равно Следующие действия эквивалентны:

1. N : X → Y ядерный.
2. R : X → X является ядерным.
3. R : X → X компактно и $\operatorname {Tr} R$ конечно, и в этом случае $\operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }$.
   • Здесь, $\operatorname {Tr} R$ является следом R R и определяется следующим образом: поскольку — непрерывный компактный положительный оператор, существует (возможно, конечная) последовательность $\lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots$ положительных чисел с соответствующими нетривиальными конечномерными и взаимно ортогональными векторными пространствами $V_{1},V_{2},\ldots$ такая, что ортогональная (в H ) $\operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)$ равно $\ker R$ (и, следовательно, также $\ker N$) и для всех k , $R(x)=\lambda _{k}x$ для всех $x\in V_{k}$; след определяется как ${\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}$.
4. ${}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}$ является ядерным, и в этом случае $\|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }$.
5. Имеются две ортогональные последовательности $(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ в X и $(y_{i})_{i=1}^{\infty }$ в Y и последовательность $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $\ell ^{1}$ такой, что для всех $x\in X$, ${\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}$.
6. N : X → Y — целочисленное отображение .

Ядерные операторы между локально выпуклыми пространствами

См. Также: Вспомогательные нормированные пространства.

Предположим, что U — выпуклая сбалансированная замкнутая окрестность начала координат в X , а B — выпуклый сбалансированный ограниченный банахов диск в Y , где X и Y локально выпуклые пространства. Позволять ${\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}$ и пусть $\pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)$ быть канонической проекцией. Можно определить вспомогательное банахово пространство ${\hat {X}}_{U}$ с канонической картой ${\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}$ чей образ, $X/p_{U}^{-1}(0)$, плотен в ${\hat {X}}_{U}$ а также вспомогательное пространство $F_{B}=\operatorname {span} B$ нормируется ${\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}$ и с канонической картой $\iota :F_{B}\to F$ являющееся (непрерывной) канонической инъекцией. Учитывая любое непрерывное линейное отображение $T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}$ посредством композиции получается непрерывное линейное отображение ${\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y$; таким образом, у нас есть инъекция ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}$ и впредь мы используем эту карту для идентификации ${\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ как подпространство $L(X;Y)$.

Определение : Пусть X и Y — хаусдорфовые локально выпуклые пространства. Союз всех ${\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}$ поскольку U пробегает все замкнутые выпуклые сбалансированные окрестности начала координат в X , а B пробегает все ограниченные банаховы диски в Y , обозначается $L^{1}(X;Y)$ называются ядерными отображениями X и его элементы в Y .

Когда X и Y являются банаховыми пространствами, то это новое определение ядерного отображения согласуется с исходным, данным для особого случая, когда X и Y — банаховы пространства.

Достаточные условия для ядерности

• Пусть W , X , Y и Z — хаусдорфовые локально выпуклые пространства, $N:X\to Y$ ядерная карта и $M:W\to X$ и $P:Y\to Z$ — непрерывные линейные отображения. Затем $N\circ M:W\to Y$, $P\circ N:X\to Z$, и $P\circ N\circ M:W\to Z$ являются ядерными, и если, кроме того, W , X , Y и Z являются банаховыми пространствами, то ${\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}$.
• Если $N:X\to Y$ является ядерным отображением между двумя хаусдорфовыми локально выпуклыми пространствами, то его транспонировать ${}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}$ является непрерывным ядерным отображением (когда дуальные пространства несут свою сильную двойственную топологию).
  • Если к тому же X и Y — банаховы пространства, то ${\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}$.
• Если $N:X\to Y$ является ядерным отображением двух хаусдорфовых локально выпуклых пространств, и если ${\hat {X}}$ является пополнением X , то единственное непрерывное расширение ${\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y$ N является ядерным .

Характеристики

Пусть X и Y — хаусдорфовые локально выпуклые пространства и пусть $N:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор.

• Следующие действия эквивалентны:
  1. $N:X\to Y$ является ядерным.
  2. (Определение) Существуют выпуклая сбалансированная окрестность U начала координат в X и ограниченный банахов круг B в Y такие, что $N(U)\subseteq B$ и индуцированное отображение ${\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}$ является ядерным, где ${\overline {N}}_{0}$ является единственным непрерывным продолжением $N_{0}:X_{U}\to Y_{B}$, которое является уникальным отображением, удовлетворяющим $N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}$ где $\operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y$ – естественное включение и $\pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)$ является канонической проекцией.
  3. Существуют банаховы пространства $B_{1}$ и $B_{2}$ и непрерывные линейные карты $f:X\to B_{1}$, $n:B_{1}\to B_{2}$, и $g:B_{2}\to Y$ такой, что $n:B_{1}\to B_{2}$ является ядерным и $N=g\circ n\circ f$.
  4. Существует эквинепрерывная последовательность $\left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X'$, ограниченный банахов диск $B\subseteq Y$, последовательность $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в B и комплексную последовательность $\left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ такой, что ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$ и $N$ равно отображению: ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ для всех $x\in X$.
• Если X является бочоночным, а , то Y квазиполным N является ядерным тогда и только тогда, когда N имеет представление в виде ${\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}$ с $\left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }$ ограниченный $X'$, $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничено по Y и ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }$.

Характеристики

Ниже приводится разновидность теоремы Хана-Банаха для расширения ядерных отображений:

• Если $E:X\to Z$ является TVS-вложением и $N:X\to Y$ это ядерная карта, то существует ядерная карта ${\tilde {N}}:Z\to Y$ такой, что ${\tilde {N}}\circ E=N$. Более того, когда X и Y — банаховы пространства, а E — изометрия, то для любого $\epsilon >0$, ${\tilde {N}}$ можно подобрать так, чтобы $\|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon$.
• Предположим, что $E:X\to Z$ является TVS-вложением, образ которого замкнут в Z и пусть $\pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E$ быть канонической проекцией. Предположим, что каждый компакт-диск в $Z/\operatorname {Im} E$ это изображение под $\pi$ ограниченного банахова диска в Z (это верно, например, если X и Z оба являются пространствами Фреше или если Z является сильным двойственным пространством Фреше и $\operatorname {Im} E$ слабо замкнуто в Z ). Тогда для каждой ядерной карты $N:Y\to Z/\operatorname {Im} E$ существует ядерная карта ${\tilde {N}}:Y\to Z$ такой, что $\pi \circ {\tilde {N}}=N$.
  • Более того, когда X и Z — банаховы пространства, а E — изометрия, то для любого $\epsilon >0$, ${\tilde {N}}$ можно подобрать так, чтобы ${\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }$.

Пусть X и Y — хаусдорфовые локально выпуклые пространства и пусть $N:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор.

• Любая ядерная карта компактна.
• Для любой топологии равномерной сходимости на $L(X;Y)$, ядерные карты содержатся в замыкании $X'\otimes Y$ (когда $X'\otimes Y$ рассматривается как подпространство $L(X;Y)$).

См. также

• Вспомогательные нормированные пространства
• Ковариационный оператор - Оператор в теории вероятностей
• Начальная топология - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
• Индуктивное тензорное произведение — бинарная операция над топологическими векторными пространствами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами - операторы в банаховых пространствах со свойствами, аналогичными конечномерным операторам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение - тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - тензорное произведение, наделенное особым внутренним произведением.
• Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.
• Класс трассировки - компактный оператор, для которого можно определить конечный след.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4440-3 . OCLC   185095773 .
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09504-7 . OCLC   5126156 .
• Гротендик, Александр (1966). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1216-5 . OCLC   1315788 .
• Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09096-7 . OCLC   4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Нленд, Х (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности топологии-борнологии и ее использованию в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN  0-7204-0712-5 . ОСЛК   2798822 .
• Нленд, Х (1981). Ядерное и ядерное пространство: вводные курсы по ядерному и ядерному пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN  0-444-86207-2 . ОСЛК   7553061 .
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-05644-0 . OCLC   539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .

Внешние ссылки

• Ядерный космос в ncatlab