Дилатация (теория операторов)

В теории операторов расширением T оператора T. в гильбертовом пространстве H является оператор в большем гильбертовом пространстве , ограничение которого на H, с ортогональной проекцией на H, есть K составленное

Более формально, пусть T — ограниченный оператор в некотором гильбертовом пространстве H , а H — подпространство большего гильбертова пространства H' . Ограниченный оператор V в H' является расширением T, если

P_{H}\;V|_{H}=T

где $P_{H}$ является ортогональным проектором на H .

V называется унитарным расширением (соответственно нормальным, изометрическим и т. д.), если V унитарным (соответственно нормальным, изометрическим и т. д.). является Говорят, что сжатием V T . Если оператор T имеет спектральное множество $X$ , мы говорим, что V — нормальное расширение границы или нормальное расширение границы. $\partial X$ расширение, если V является нормальным расширением T и $\sigma (V)\subseteq \partial X$ .

Некоторые тексты налагают дополнительное условие. А именно, что расширение удовлетворяет следующему свойству (исчисления):

P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)

где f(T) — некоторое заданное функциональное исчисление (например, полином или H ^∞ исчисление). Полезность расширения состоит в том, что оно позволяет «поднимать» объекты, связанные с T, до уровня V , где поднятые объекты могут иметь более приятные свойства. См., например, коммутантную теорему о подъеме .

Приложения

Мы можем показать, что каждое сжатие в гильбертовом пространстве имеет унитарное расширение. Возможная конструкция этого расширения следующая. Для сжатия T оператор

D_{T}=(I-T^{*}T)^{\frac {1}{2}}

является положительным, где непрерывное функциональное исчисление используется для определения квадратного корня. Оператор D _T называется дефекта T оператором . Пусть V — оператор

H\oplus H

определяется матрицей

V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.

V явно является расширением T . Кроме того, T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) T и предельный аргумент ^{[ 1 ]} подразумевать

TD_{T}=D_{T^{*}}T.

Используя это, можно путем прямых вычислений показать, что V унитарно, следовательно, является унитарным расширением T . оператор V иногда называют оператором Жюлиа T Этот .

Обратите внимание, что когда T является действительным скаляром, скажем $T=\cos \theta$ , у нас есть

V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.

это просто унитарная матрица, описывающая вращение на θ. причине оператор Жюлиа V(T) иногда называют элементарным вращением T По этой .

Заметим здесь, что в приведенном выше обсуждении мы не требовали свойства исчисления для расширения. Действительно, прямой расчет показывает, что оператор Жюлиа в целом не является расширением «степени 2», т. е. не обязательно, что

T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}

.

Однако можно также показать, что любое сокращение имеет унитарное расширение, которое действительно обладает указанным выше свойством исчисления. Это теорема расширения С.-Надя . В более общем смысле, если ${\mathcal {R}}(X)$ является алгеброй Дирихле , любой оператор T с $X$ как спектральный набор будет иметь нормальное $\partial X$ расширение с этим свойством. Это обобщает теорему С.-Надя о расширении, поскольку все сжатия имеют единичный круг как спектральный набор.

Примечания

^ Сз.-Надь и Фояш 1970 , 3.1.

Ссылки

Константинеску, Т. (1996), Параметры Шура, проблемы расширения и факторизации , том. 82, Биркхаузер Верлаг, ISBN 3-7643-5285-Х .
Полсен, В. (2002), Полностью ограниченные карты и операторные алгебры , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-81669-6 .
Сз.-Надь, Б.; Фойаш, К. (1970), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве , Издательство Северной Голландии, ISBN 9780720420357 .

[1] Сз.-Надь и Фояш 1970 , 3.1.

[ 1 ]