*-алгебра

В математике , а точнее в абстрактной алгебре , *-алгебра (или инволютивная алгебра ; читается как «звездная алгебра») — это математическая структура, состоящая из двух инволютивных колец $R$ и $A$ , где $R$ коммутативна, а $A$ имеет структуру ассоциативная алгебра над $R$ . Инволютивные алгебры обобщают идею системы счисления, оснащенной сопряжением, например, комплексные числа и комплексное сопряжение , матрицы над комплексными числами и сопряженное транспонирование , а также линейные операторы над гильбертовым пространством и эрмитовыми сопряженными .Однако может случиться так, что алгебра не допускает инволюции . ^[а]

Определения

*-кольцо

В математике — *-кольцо это кольцо с отображением $*: A \to A$ , являющимся антиавтоморфизмом и инволюцией .

Точнее, $*$ требуется для удовлетворения следующих свойств: ^[1]

$(х + у)* = х * + у *$
$(х y)* = y * x *$
$1* = 1$
$(х *)* = х$

для $x, y$ в $A.$ всех

Его еще называют инволютивным кольцом , инволютивным кольцом и кольцом с инволюцией . Третья аксиома подразумевается второй и четвертой аксиомами, что делает ее излишней.

Элементы такие, что $x * = x,$ называются самосопряженными . ^[2]

Архетипическими примерами *-кольца являются поля комплексных чисел и алгебраических чисел с комплексным сопряжением в качестве инволюции. Над любым *-кольцом можно определить полуторалинейную форму .

Также можно определить *-версии алгебраических объектов, таких как идеал и подкольцо , с требованием *-инвариантности : x $\in I \Rightarrow x * \in I$ и так далее.

*-кольца не связаны со звездными полукольцами в теории вычислений.

*-алгебра

A *-алгебра $является$ *-кольцом, ^[б] с инволюцией *, которая является ассоциативной алгеброй над коммутативным *-кольцом $R$ с инволюцией $'$ , такая, что $(r x)* = r' x * \forall r \in R, x \in A$ . ^[3]

Базовое *-кольцо $R$ часто представляет собой комплексные числа (где $'$ действует как комплексное сопряжение).

Из аксиом следует, что * на $A$ сопряженно -линейно в $R$ , т.е.

(λ x + μ y)* знак равно λ' x * + μ' y *

для $λ, µ \in р, Икс, у \in А.$

A *-гомоморфизм $f : A \to B$ — это гомоморфизм алгебр , совместимый с инволюциями $A$ и $B$ , т. е.

$f (a *) = f (a)*$ для всех $a$ в $A$ . ^[2]

Философия *-операции

*-Операция над *-кольцом аналогична комплексному сопряжению комплексных чисел. *-Операция над *-алгеброй аналогична взятию сопряженных в комплексных матричных алгебрах .

Обозначения

Инволюция * — это унарная операция , записанная с помощью постфиксного значка звезды, расположенного над средней линией или рядом с ней :

х \mapsto х *

, или

х \mapsto х *

( Текс : x^*),

но не как « $x *$ »; см. в статье со звездочкой подробности .

Примеры

Любое коммутативное кольцо становится *-кольцом с тривиальной ( тождественной ) инволюцией.
Самый знакомый пример *-кольца и *-алгебры над вещественными числами — это поле комплексных чисел $C$ , где * — это просто комплексное сопряжение .
В более общем смысле расширение поля, созданное путем присоединения квадратного корня (например, мнимой единицы √ −1 ), представляет собой *-алгебру над исходным полем, рассматриваемую как тривиально *-кольцо. * меняет знак этого квадратного корня.
Квадратичное целочисленное кольцо (для некоторого $D$ ) — коммутативное *-кольцо с *, определенным аналогичным образом; квадратичные поля являются *-алгебрами над соответствующими квадратичными целочисленными кольцами.
Кватернионы , расщепленные комплексные числа , двойственные числа и, возможно, другие гиперкомплексные системы счисления образуют *-кольца (со встроенной операцией сопряжения) и *-алгебры над действительными числами (где * тривиально). Ни одна из трех не является комплексной алгеброй.
Кватернионы Гурвица образуют некоммутативное *-кольцо с кватернионным сопряжением.
Матричная алгебра размера $n \times n$ матриц над R с *, заданными транспозицией .
Матричная алгебра матриц размера $n \times n$ над C с *, заданная сопряженным транспонированием .
Ее обобщение — эрмитово сопряженное в алгебре ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве — также определяет *-алгебру.
Кольцо полиномов $R [x]$ над коммутативным тривиально-*-кольцом $R$ является *-алгеброй над $R$ с $P *(x) = P (- x)$ .
Если ( A , +, ×, *) одновременно является *-кольцом, алгеброй над кольцом R (коммутативным), и ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , A то *-алгебра над R (где * тривиально).
- В частном случае любое *-кольцо является *-алгеброй над целыми числами .
Любое коммутативное *-кольцо является *-алгеброй над самим собой и, в более общем смысле, над любым своим *-подкольцом .
Для коммутативного *-кольца R его фактор по любому его *-идеалу является *-алгеброй над R .
- Например, любое коммутативное тривиально-*-кольцо является *-алгеброй над своим кольцом двойственных чисел , *-кольцом с нетривиальным *, поскольку фактор по $ε = 0$ образует исходное кольцо.
- То же самое относится к коммутативному кольцу $K$ и его кольцу полиномов $[x] :$ частное по $x = 0$ восстанавливает $K.$ K
В алгебре Гекке инволюция важна для полинома Каждана-Люстига .
эллиптической Кольцо эндоморфизмов кривой становится *-алгеброй над целыми числами, где инволюция задается взятием двойственной изогении . Аналогичная конструкция работает для абелевых многообразий с поляризацией , и в этом случае она называется инволюцией Розати (см. конспект лекций Милна об абелевых многообразиях).

Инволютивные алгебры Хопфа — важные примеры *-алгебр (с дополнительной структурой совместимого коумножения ); наиболее знакомый пример:

Групповая алгебра Хопфа : групповое кольцо с инволюцией, заданной $g \mapsto g. -1$ .

Непример

Не каждая алгебра допускает инволюцию:

2×2 Рассмотрим матрицы для комплексных чисел. Рассмотрим следующую подалгебру: ${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}$

Любой нетривиальный антиавтоморфизм обязательно имеет вид: ^[4] $\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ для любого комплексного числа $z\in \mathbb {C}$ .

Отсюда следует, что любой нетривиальный антиавтоморфизм не может быть инволютивным: $\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

Делаем вывод, что подалгебра не допускает инволюции.

Дополнительные структуры

Многие свойства транспонирования справедливы для общих *-алгебр:

Эрмитовы элементы образуют йорданову алгебру ;
Косые эрмитовы элементы образуют алгебру Ли ;
Если 2 обратим в *-кольце, то операторы $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/2 ⁠ и ( 1 + *$ ) $⁠ 1/2 ⁠ (— 1 - *)$ ортогональные идемпотенты , ^[2] называются симметризирующими и антисимметризирующими , поэтому алгебра разлагается как прямая сумма модулей ( векторных пространств , если *-кольцо является полем) симметричных и антисимметричных (эрмитовых и косоэрмитовых) элементов. Эти пространства, как правило, не образуют ассоциативных алгебр, поскольку идемпотенты являются операторами , а не элементами алгебры.

Косые структуры

Для *-кольца существует также отображение $-* : x \mapsto - x *$ .Он не определяет *-кольцевую структуру (если только характеристика не равна 2, и в этом случае −* идентична исходной *), поскольку $1 \mapsto -1$ , она также не является антимультипликативной, но удовлетворяет другим аксиомам (линейная, инволюционная ) и, следовательно, очень похожа на *-алгебру, где $x \mapsto x *$ .

Элементы, зафиксированные этим отображением (т.е. такие, что $a = - a *$ ), называются косыми эрмитовыми .

Для комплексных чисел с комплексным сопряжением действительные числа являются эрмитовыми элементами, а мнимые числа — косыми эрмитовыми.

См. также

Примечания

^ В этом контексте инволюция понимается как инволютивный антиавтоморфизм, также известный как антиинволюция .
^ Большинство определений не требуют, чтобы *-алгебра имела единицу , т.е. *-алгебра может быть только * -rng .

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. (2015). «С-звездная алгебра» . Вольфрам Математический мир .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Баэз, Джон (2015). «Октонионы» . Кафедра математики . Калифорнийский университет, Риверсайд. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 года . Проверено 27 января 2015 г.
^ звездная алгебра в n Lab
^ Винкер, СК; Вос, Л.; Ласк, Э.Л. (1981). «Полугруппы, антиавтоморфизмы и инволюции: компьютерное решение открытой проблемы I» . Математика вычислений . 37 (156): 533–545. дои : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

[1] В этом контексте инволюция понимается как инволютивный антиавтоморфизм, также известный как антиинволюция .

[4] Большинство определений не требуют, чтобы *-алгебра имела единицу , т.е. *-алгебра может быть только * -rng .

[2] Вайсштейн, Эрик В. (2015). «С-звездная алгебра» . Вольфрам Математический мир .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с Баэз, Джон (2015). «Октонионы» . Кафедра математики . Калифорнийский университет, Риверсайд. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 года . Проверено 27 января 2015 г.

[5] звездная алгебра в n Lab

[6] Винкер, СК; Вос, Л.; Ласк, Э.Л. (1981). «Полугруппы, антиавтоморфизмы и инволюции: компьютерное решение открытой проблемы I» . Математика вычислений . 37 (156): 533–545. дои : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

[а]

[1]

[2]

[б]

[3]

[4]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem