Групповая алгебра Хопфа

В математике групповая алгебра Хопфа данной группы — это некоторая конструкция, связанная с симметриями действий группы . Деформации групповых алгебр Хопфа лежат в основе теории квантовых групп .

Определение

Пусть G — группа , а k поле — . Групповая алгебра Хопфа группы G над k , обозначаемая kG (или k [ G ]), представляет собой множество (и векторное пространство ) свободное векторное пространство на G над k . Как алгебра , ее произведение определяется линейным расширением состава группы в G , где мультипликативная единица равна тождеству в G ; этот продукт также известен как свертка .

Обратите внимание: хотя групповую алгебру конечной группы можно отождествить с пространством функций на группе, для бесконечной группы они другие. Групповая алгебра, состоящая из конечных сумм, соответствует функциям группы, которые обращаются в нуль для коконечного числа точек; топологически (с использованием дискретной топологии ) — это функции с компактным носителем .

Однако групповая алгебра $k[G]$ и $k^{G}$ – коммутативная алгебра функций из G в k – двойственны: задан элемент групповой алгебры $x=\sum _{g\in G}a_{g}g$ и функция в группе $f\colon G\to k,$ эти пары, чтобы дать элемент k через $(x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),$ что является корректно определенной суммой, поскольку она конечна.

Структура алгебры Хопфа

Мы придаем kG структуру кокоммутативной алгебры Хопфа, определив копроизведение, коединицу и антипод как линейные расширения следующих отображений, определенных на G :

$\Delta (x)=x\otimes x;$

$\epsilon (x)=1_{k};$

$S(x)=x^{-1}.$

Требуемые аксиомы совместимости алгебры Хопфа легко проверяются. Обратите внимание, что ${\mathcal {G}}(kG)$, множество группоподобных элементов kG (т.е. элементов $a\in kG$ такой, что $\Delta (a)=a\otimes a$ и $\epsilon (a)=1$), это именно G .

Симметрии групповых действий

Пусть G — группа, а X — топологическое пространство . Любое действие $\alpha \colon G\times X\to X$ группы G на X дает гомоморфизм $\phi _{\alpha }\colon G\to \mathrm {Aut} (F(X))$, где F ( X ) — подходящая алгебра k -значных функций, такая как алгебра Гельфанда–Наймарка $C_{0}(X)$ непрерывных исчезающих функций, на бесконечности . Гомоморфизм $\phi _{\alpha }$ определяется $\phi _{\alpha }(g)=\alpha _{g}^{*}$, с сопряженным $\alpha _{g}^{*}$ определяется

$\alpha _{g}^{*}(f)x=f(\alpha (g,x))$

для $g\in G,f\in F(X)$, и $x\in X$.

Это можно описать линейным отображением

$\lambda \colon kG\otimes F(X)\to F(X)$

$\lambda ((c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}+\cdots )\otimes f)(x)=c_{1}f(g_{1}\cdot x)+c_{2}f(g_{2}\cdot x)+\cdots$

где $c_{1},c_{2},\ldots \in k$, $g_{1},g_{2},\ldots$ являются элементами G , а $g_{i}\cdot x:=\alpha (g_{i},x)$, который обладает свойством группировать элементы в $kG$ приводят к F ( ) X автоморфизмам .

$\lambda$ наделяет F ( X ) важной дополнительной структурой, описанной ниже.

Алгебры модулей Хопфа и смэш-произведение Хопфа

Пусть H — алгебра Хопфа. (Левая) H-модульная алгебра Хопфа A — это алгебра, которая является (левым) модулем над алгеброй H такая, что $h\cdot 1_{A}=\epsilon (h)1_{A}$ и

$h\cdot (ab)=(h_{(1)}\cdot a)(h_{(2)}\cdot b)$

в любое время $a,b\in A$, $h\in H$ и $\Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}$ в безсуммной записи Свидлера . Когда $\lambda$ определена, как и в предыдущем разделе, это превращает F ( X ) в левую kG -модульную алгебру Хопфа, что допускает следующую конструкцию.

Пусть H — алгебра Хопфа и A — левая H -модульная алгебра Хопфа. сногсшибательного произведения Алгебра $A\mathop {\#} H$ векторное пространство $A\otimes H$ с продуктом

$(a\otimes h)(b\otimes k):=a(h_{(1)}\cdot b)\otimes h_{(2)}k$,

и мы пишем $a\mathop {\#} h$ для $a\otimes h$ в этом контексте.

В нашем случае $A=F(X)$ и $H=kG$, и у нас есть

$(a\mathop {\#} g_{1})(b\mathop {\#} g_{2})=a(g_{1}\cdot b)\mathop {\#} g_{1}g_{2}$.

В этом случае алгебра смес-продуктов $A\mathop {\#} kG$ также обозначается $A\mathop {\#} G$.

Вычислены циклические гомологии продуктов Хопфа. Однако там это произведение называется скрещенным произведением и обозначается $A\rtimes H$- не путать со скрещенным произведением, полученным из $C^{*}$-динамические системы.