Инволюция Розати

В математике инволюция Розати , названная в честь Карло Розати , является инволюцией кольца рациональных эндоморфизмов абелева многообразия , индуцированного поляризацией .

Позволять $A$ быть абелевым многообразием , пусть ${\hat {A}}=\mathrm {Pic} ^{0}(A)$ быть двойственным абелевым многообразием , и для $a\in A$ , позволять $T_{a}:A\to A$ быть переводом- $a$ карта, $T_{a}(x)=x+a$ . Тогда каждый делитель $D$ на $A$ определяет карту $\phi _{D}:A\to {\hat {A}}$ с помощью $\phi _{D}(a)=[T_{a}^{*}D-D]$ . Карта $\phi _{D}$ является поляризацией, если $D$ достаточно . Инволюция Розати $\mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ относительно поляризации $\phi _{D}$ отправляет карту $\psi \in \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ на карту $\psi '=\phi _{D}^{-1}\circ {\hat {\psi }}\circ \phi _{D}$ , где ${\hat {\psi }}:{\hat {A}}\to {\hat {A}}$ – двойственное отображение, индуцированное действием $\psi ^{*}$ на $\mathrm {Pic} (A)$ .

Позволять $\mathrm {NS} (A)$ обозначим Нерона–Севери группу $A$ . Поляризация $\phi _{D}$ также вызывает включение $\Phi :\mathrm {NS} (A)\otimes \mathbb {Q} \to \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q}$ с помощью $\Phi _{E}=\phi _{D}^{-1}\circ \phi _{E}$ . Образ $\Phi$ равно $\{\psi \in \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} :\psi '=\psi \}$ , т. е. множество эндоморфизмов, фиксируемых инволюцией Розати. Операция $E\star F={\frac {1}{2}}\Phi ^{-1}(\Phi _{E}\circ \Phi _{F}+\Phi _{F}\circ \Phi _{E})$ затем дает $\mathrm {NS} (A)\otimes \mathbb {Q}$ структура формально вещественной йордановой алгебры .