Алгебра Ивахори–Гекке

В математике алгебра Ивахори-Хекке , или алгебра Хекке , названная в честь Эриха Хекке и Нагайоши Ивахори , является деформацией групповой алгебры группы Коксетера .

Алгебры Гекке являются факторами групповых колец групп кос Артина . Эта связь нашла впечатляющее применение в Воаном Джонсом построении новых инвариантов узлов . Представления алгебр Гекке привели к открытию квантовых групп Мичио Джимбо . Майкл Фридман предложил алгебры Гекке в качестве основы для топологических квантовых вычислений .

Алгебры Гекке групп Кокстера

Начните со следующих данных:

( W , S ) — система Кокстера с матрицей Кокстера M = ( m _st ),
R — коммутативное кольцо с единицей.
{ q _с | s ∈ S } — семейство единиц R такое, что q _s = q _t всякий раз, когда s и t сопряжены в W
A — кольцо многочленов Лорана над Z с неопределенными q _s (и указанным выше ограничением, что q _s = q _t всякий раз, когда s и t сопряжены), то есть A = Z [ q ^±1
_с ]

Многопараметрические хедж-алгебры

Многопараметрическая Гекке HR _{алгебра} (W,S,q) — это унитальная ассоциативная R -алгебра с образующими T _s для всех s ∈ S и соотношениями:

Отношения кос: T _s T _t T _s ... = T _t T _s T _t ..., где каждая сторона имеет m _st < ∞ факторов и s,t принадлежат S .
Квадратное соотношение: Для всех s в S имеем: ( T _s - q _s )( T _s + 1) = 0.

Предупреждение : в более поздних книгах и статьях Люстиг использовал модифицированную форму квадратичного соотношения, которая гласит: $(T_{s}-q_{s}^{1/2})(T_{s}+q_{s}^{-1/2})=0.$ После расширения скаляров за счет включения полуцелых степеней q ^±1/2
_s результирующая алгебра Гекке изоморфна ранее определенной (но T _s здесь соответствует q ^-1/2
_s T _s в наших обозначениях). Хотя это не меняет общей теории, многие формулы выглядят иначе.

Общие многопараметрические хедж-алгебры

H _A (W,S,q) — многопараметрическая алгебра Гекке общего положения . Эта алгебра универсальна в том смысле, что любая другая многопараметрическая алгебра Гекке может быть получена из нее посредством (единственного) кольцевого гомоморфизма A → R , который отображает неопределенное q _s ∈ A в единицу q _s ∈ R . Этот гомоморфизм превращает R в A скалярное расширение H _A (W,S) ⊗ _A R канонически изоморфно алгебре Гекке HR _{-алгебру, и} (W,S,q), построенной выше. Этот процесс называют специализацией родовой алгебры.

Однопараметрические хедж-алгебры

Если каждый неопределенный q _s специализируется на одном неопределенном q над целыми числами (или q ^1/2
_{от s} до q ^1/2 соответственно), то получается так называемая генерическая однопараметрическая алгебра Гекке (W,S) .

Поскольку в группах Кокстера с одиночными ажурными диаграммами Дынкина (например, в группах типов A и D) каждая пара генераторов Кокстера сопряжена, вышеупомянутое ограничение на то, чтобы q _s было равным q _t всякий раз, когда s и t сопряжены в W, приводит к необходимости многопараметрического и однопараметрические алгебры Гекке равны. Поэтому очень часто рассматривают только однопараметрические алгебры Гекке.

Группы Кокстера с весами

определена интегральная весовая функция Если на W (т. е. отображение L:W → Z с L(vw)=L(v)+L(w) для всех v,w ∈ W с l(vw)=l(v) +l(w) ), то обычно следует рассматривать специализацию, индуцированную гомоморфизмом q _s ↦ q ^Л(ы), где q единственная неопределённость над Z. —

Если использовать соглашение с полуцелыми степенями, то весовая функция L:W → ⁠ 1 / 2 ⁠ Z также может быть разрешено. По техническим причинам также часто удобно рассматривать только положительные весовые функции.

Характеристики

1. Хедж-алгебра имеет базис $(T_{w})_{w\in W}$ над A, индексированный элементами группы Кокстера W . В частности, H — свободный A -модуль. Если $w=s_{1}s_{2}\ldots s_{n}$ является приведенным разложением w ∈ W то , $T_{w}=T_{s_{1}}T_{s_{2}}\ldots T_{s_{n}}$ . Этот базис алгебры Гекке иногда называют естественным базисом . Нейтральный элемент W = соответствует тождеству H : T _e 1.

2. Элементы естественного базиса мультипликативны , а именно T _yw = T _y T _w всякий раз, когда l(yw)=l(y)+l(w) , где l обозначает функцию длины на группе Кокстера W .

3. Элементы естественной основы обратимы. Например, из квадратичного соотношения заключаем, что T ⁻¹
_s = q ⁻¹
_s T _s + ( q ⁻¹
_с -1).

4. Предположим, что W — конечная группа, а основное кольцо — поле C комплексных чисел. Жак Тит доказал, что если неопределенное q специализировано для любого комплексного числа вне явно заданного списка (состоящего из корней из единицы), то результирующая однопараметрическая алгебра Гекке полупроста и изоморфна комплексной групповой алгебре C [ W ] ( что также соответствует специализации q ↦ 1) ^{[ нужна ссылка ]}.

5. В более общем смысле, если W — конечная группа, а основное кольцо R — поле нулевой характеристики , то однопараметрическая алгебра Гекке является полупростой ассоциативной алгеброй над R [ q ^±1]. Более того, расширяя более ранние результаты Бенсона и Кертиса, Джордж Люстиг предоставил явный изоморфизм между алгеброй Гекке и групповой алгеброй после расширения скаляров до поля факторов R [ q ^±1/2]

Каноническая основа

Великим открытием Каждана и Люстига было то, что алгебра Гекке допускает другой базис, который в некотором смысле управляет теорией представлений множества связанных объектов.

Типичная многопараметрическая алгебра Гекке ( _HA W,S,q) инволюции имеет полосу , которая отображает q ^1/2 в q ^−1/2 и действует как тождество на Z . Тогда H допускает единственный кольцевой автоморфизм i , который полулинейен относительно барной инволюции A и отображает T _s в T ⁻¹
_с . Далее можно доказать, что этот автоморфизм инволютивен (имеет второй порядок) и переводит любое T _w в $T_{w^{-1}}^{-1}.$

Теорема Каждана – Люстига: для каждого w ∈ W существует единственный элемент $C_{w}^{\prime }$ которая инвариантна относительно инволюции i , и если записать ее разложение в терминах естественного базиса:
$C'_{w}=\left(q^{-1/2}\right)^{l(w)}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y},$
у одного есть следующее:
P _w,w =1,
P _y,w в Z [ q ] имеет степень меньшую или равную ⁠ 1/2 y если ⁠ (l(w)-l(y)-1), < w в порядке Брюа ,
P _y,w =0, если $y\nleq w.$

Элементы $C_{w}^{\prime }$ где w меняется над W, образуют базис алгебры H , который называется двойственным каноническим базисом алгебры H. Гекке Канонический базис { C _w | w ∈ W } получается аналогичным образом. Полиномы P _y,w ( q ), встречающиеся в этой теореме, являются полиномами Каждана–Люстига .

Понятия Каждана–Люстига о левой, правой и двусторонней ячейке в группах Кокстера определяются через поведение канонического базиса под действием H .

Алгебра Гекке локально компактной группы

Алгебры Ивахори–Гекке впервые появились как важный частный случай очень общей конструкции в теории групп. Пусть (G,K) пара, состоящая из унимодулярной локально компактной топологической группы G и замкнутой подгруппы K группы G . Тогда пространство K -биинвариантных непрерывных функций с компактным носителем Cc ( _{операции} K\G/K) может быть наделено структурой ассоциативной алгебры относительно свертки . Эта алгебра обозначается H(G//K) и называется кольцом Гекке пары (G,K) .

Пример: Если G = SL( n , Q _p ) и K = SL( n , Z _p ), то кольцо Гекке коммутативно, и его представления изучались Яном Г. Макдональдом . В более общем смысле, если (G,K) — пара Гельфанда , то результирующая алгебра оказывается коммутативной.

Пример: если G = SL(2, Q ) и K = SL(2, Z ), мы получаем абстрактное кольцо операторов Гекке в теории модулярных форм , которое дало название алгебрам Гекке в целом.

Случай, ведущий к алгебре Гекке конечной группы Вейля, - это случай, когда G - конечная группа Шевалле над конечным полем с p ^к элементы, а B — ее борелевская подгруппа . Ивахори показал, что кольцо Гекке H(G//B) получается из общей алгебры Гекке H _q группы Вейля W группы G путем специализации неопределенного q последней алгебры к p ^к, мощность конечного поля. Джордж Люстиг заметил в 1984 году ( Характеры редуктивных групп над конечным полем , xi, сноска):

Я думаю, правильнее всего было бы назвать ее алгеброй Ивахори, но название «кольцо (или алгебра) Гекке», данное самим Ивахори, используется уже почти 20 лет, и сейчас, вероятно, уже слишком поздно его менять.

Ивахори и Мацумото (1965) рассмотрели случай, когда G — группа точек редуктивной алгебраической группы над неархимедовым локальным полем K таким как Qp _K , и — это то, что сейчас называется подгруппой Ивахори в G. , Полученное кольцо Гекке изоморфно алгебре Гекке аффинной группы Вейля группы G или аффинной алгебре Гекке где неопределенное q специализировано по мощности поля вычетов группы K. ,

Работа Роджера Хоу в 1970-х годах и его статьи с Алленом Мой о представлениях p -адических GL( n ) открыли возможность классификации неприводимых допустимых представлений редуктивных групп над локальными полями в терминах правильно построенных алгебр Гекке. (Важный вклад также внесли Джозеф Бернштейн и Андрей Зелевинский .) Эти идеи получили гораздо дальнейшее развитие в Колина Бушнелла и Филипа Куцко теории типов , что позволило им завершить классификацию в общем линейном случае. Многие методы можно распространить на другие редуктивные группы, что остается областью активных исследований. Была высказана гипотеза, что все когда-либо необходимые алгебры Гекке являются мягкими обобщениями аффинных алгебр Гекке.

Представления алгебр Гекке

Из работы Ивахори следует, что комплексные представления алгебр Гекке конечного типа тесно связаны со структурой представлений сферических главных серий конечных групп Шевалле.

Джордж Люстиг развил эту связь гораздо дальше и смог описать большинство характеров конечных групп лиева типа в терминах теории представлений алгебр Гекке. В этой работе использовалась смесь геометрических приемов и различных редукций, что привело к введению различных объектов, обобщающих алгебры Гекке, и детальному пониманию их представлений (поскольку q не является корнем из единицы). Модульные представления алгебр Гекке и представления с корнями из единицы оказались связаны с теорией канонических базисов в аффинных квантовых группах и комбинаторикой.

Теория представлений аффинных алгебр Гекке была развита Люстигом с целью применить ее к описанию представлений p -адических групп. Он отличается во многих отношениях ^{[ как? ]} из конечного случая. Обобщение аффинных алгебр Гекке, названное двойной аффинной алгеброй Гекке , было использовано Иваном Чередником в его доказательстве гипотезы о постоянном члене Макдональда .

См. также

Абстрактная алгебра

Ссылки

Дэвид Гольдшмидт Групповые характеры, симметрические функции и алгебра Гекке MR 1225799 , ISBN 0-8218-3220-4
Ивахори, Нагаёси; Мацумото, Хидэя О некотором разложении Брюа и строении колец Гекке p-адических групп Шевалле. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 25 (1965), стр. 5–48. МИСТЕР 0185016
Александр Клещев, Линейные и проективные представления симметрических групп , Кембриджские трактаты по математике, вып. 163. Издательство Кембриджского университета, 2005. MR. 2165457 , ISBN 0-521-83703-0
Джордж Люстиг, Алгебры Гекке с неравными параметрами , серия монографий CRM, том 18, Американское математическое общество, 2003. MR 1974442 , ISBN 0-8218-3356-1
Эндрю Мэтас, Алгебры Ивахори-Хеке и алгебры Шура симметричной группы , Серия университетских лекций, том 15, Американское математическое общество, 1999. MR 1711316 , ISBN 0-8218-1926-7
Люстиг, Джордж, Об одной теореме Бенсона и Кертиса , J. Algebra 71 (1981), вып. 2, 490–498. МИСТЕР 0630610 , дои : 10.1016/0021-8693(81)90188-5
Колин Бушнелл и Филип Куцко, Допустимый двойственный GL (n) через компактные открытые подгруппы , Анналы математических исследований, том. 129, Princeton University Press, 1993. MR. 1204652 , ISBN 0-691-02114-7