Теорема Чоя о вполне положительных отображениях

В математике вполне теорема Чоя о вполне положительных отображениях — это результат, который классифицирует положительные отображения между конечномерными (матричными) C*-алгебрами . Бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя известно как теорема Белавкина « Радона – Никодима » для вполне положительных отображений.

Заявление

Теорема Чоя. Позволять $\Phi :\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}$ быть линейной картой. Следующие действия эквивалентны:

(i)

Φ

является

n

-положительным (т. е.

\left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)(A)\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}

положителен всякий раз, когда

A\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{n\times n}

является положительным).

(ii) Матрица с записями операторов

C_{\Phi }=\left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)\left(\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij}\right)=\sum _{ij}E_{ij}\otimes \Phi (E_{ij})\in \mathbb {C} ^{nm\times nm}

положительно, где

E_{ij}\in \mathbb {C} ^{n\times n}

— матрица с 1 в

ij

-й записи и 0 в остальных местах. (Матрицу C _Φ иногда называют матрицей Чоя Φ

)

.

(iii)

Φ

вполне положительно.

Доказательство

(i) подразумевает (ii)

Мы наблюдаем, что если

E=\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij},

тогда Е = Е ^* и Е ²= nE , поэтому E = n ⁻¹ЭЭ ^* что положительно. Поэтому C _Φ =( I _n ⊗ Φ)( E ) положителен в силу n -положительности Φ.

(iii) подразумевает (i)

Это тривиально.

(ii) подразумевает (iii)

В основном это связано с поиском различных способов взглянуть на C. ^{nm × nm}:

\mathbb {C} ^{nm\times nm}\cong \mathbb {C} ^{nm}\otimes (\mathbb {C} ^{nm})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes (\mathbb {C} ^{n})^{*}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}.

Пусть разложение C _Φ по собственным векторам будет

C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}v_{i}v_{i}^{*},

где векторы $v_{i}$ лежать в C ^нм . По предположению каждое собственное значение $\lambda _{i}$ неотрицательен, поэтому мы можем поглотить собственные значения в собственных векторах и переопределить $v_{i}$ так что

\;C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}v_{i}v_{i}^{*}.

Векторное пространство C ^нм можно рассматривать как прямую сумму $\textstyle \oplus _{i=1}^{n}\mathbb {C} ^{m}$ совместимо с вышеуказанной идентификацией $\textstyle \mathbb {C} ^{nm}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}$ и стандартный базис C ^н.

Если Pk ∈ C ^{м × нм} является проекцией на k -ю копию C ^м, то P _k^* ∈ С ^{nm × m} является включение C ^м в качестве k -го слагаемого прямой суммы и

\;\Phi (E_{kl})=P_{k}\cdot C_{\Phi }\cdot P_{l}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}.

Теперь, если операторы V _i ∈ C ^{m × n} определены по k -му стандарту базисный вектор e _k группы C ^н к

\;V_{i}e_{k}=P_{k}v_{i},

затем

\Phi (E_{kl})=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}e_{k}e_{l}^{*}V_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}E_{kl}V_{i}^{*}.

Расширение по линейности дает нам

\Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}AV_{i}^{*}

для любого A ∈ C ^{n × n}. Любая карта такого вида явно полностью положительна: карта $A\to V_{i}AV_{i}^{*}$ полностью положительна, а сумма (по $i$ ) вполне положительных операторов снова вполне положителен. Таким образом $\Phi$ полностью положительный, желаемый результат.

По сути, вышеизложенное является оригинальным доказательством Чоя. Известны и альтернативные доказательства.

Последствия

Операторы Крауса

В контексте квантовой теории информации операторы { V _i } называются операторами Крауса (в честь Карла Крауса ) функции Φ. Заметим, что при полностью положительном Φ его операторы Крауса не обязательно должны быть уникальными. Например, любая факторизация «квадратного корня» матрицы Чоя $C Φ = B * B$ дает набор операторов Крауса.

Позволять

B^{*}=[b_{1},\ldots ,b_{nm}],

где b _i * - векторы-строки B , тогда

C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}b_{i}b_{i}^{*}.

Соответствующие операторы Крауса можно получить точно таким же рассуждением из доказательства.

Когда операторы Крауса получаются из разложения по собственным векторам матрицы Чоя, поскольку собственные векторы образуют ортогональный набор, соответствующие операторы Крауса также ортогональны в Гильберта – Шмидта скалярном произведении . В общем случае это неверно для операторов Крауса, полученных в результате факторизации квадратного корня. (Положительные полуопределенные матрицы обычно не имеют уникальной факторизации с квадратным корнем.)

Если два набора операторов Крауса { A _i } ₁^нм и { B _i } ₁^нм представляют одно и то же вполне положительное отображение Φ, то существует унитарная операторная матрица

\{U_{ij}\}_{ij}\in \mathbb {C} ^{nm^{2}\times nm^{2}}\quad {\text{such that}}\quad A_{i}=\sum _{j=1}U_{ij}B_{j}.

Это можно рассматривать как частный случай результата, касающегося двух минимальных представлений Стайнспринга .

В качестве альтернативы существует скалярная матрица изометрии { u _ij } _ij ∈ C ^{нм × нм} такой, что

A_{i}=\sum _{j=1}u_{ij}B_{j}.

Это следует из того, что для двух квадратных матриц и N MM M * = NN* тогда и только тогда, когда M = NU для некоторого унитарного U .

Полностью копозитивные карты

Из теоремы Чоя непосредственно следует, что Φ вполне копозитивна тогда и только тогда, когда она имеет вид

\Phi (A)=\sum _{i}V_{i}A^{T}V_{i}^{*}.

Карты, сохраняющие эрмитовость

Технику Чоя можно использовать для получения аналогичного результата для более общего класса карт. Говорят, что Φ сохраняет эрмит, если A эрмитово, то из этого следует, что Φ( A ) также эрмитово. Можно показать, что Φ сохраняет эрмитово тогда и только тогда, когда оно имеет вид

\Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}V_{i}AV_{i}^{*}

λ _i — действительные числа, собственные значения C _Φ , и каждое Vi _где соответствует собственному вектору C _Φ . В отличие от полностью положительного случая, C _Φ может не быть положительным. Поскольку эрмитовы матрицы вообще не допускают факторизации вида B*B , представление Крауса для данного Φ больше невозможно.

См. также

Ссылки

М.-Д. Чой, Вполне положительные линейные отображения комплексных матриц , Линейная алгебра и ее приложения, 10, 285–290 (1975).
В. П. Белавкин, П. Сташевский, Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений, Доклады по математической физике, т. 24, № 1, 49–55 (1986).
Дж. де Пиллис, Линейные преобразования, сохраняющие эрмитовы и положительно полуопределенные операторы , Тихоокеанский журнал математики, 23, 129–137 (1967).