Квантовая граница Крамера – Рао

Квантовая граница Крамера–Рао является квантовым аналогом классической границы Крамера–Рао . Он ограничивает достижимую точность оценки параметров квантовой системой:

$(\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}},$

где $m$ - количество независимых повторений, а $F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]$ это квантовая информация Фишера .

Здесь, $\varrho$ это состояние системы и $H$ – гамильтониан системы. При рассмотрении унитарной динамики типа

$\varrho (\theta )=\exp(-iH\theta )\varrho _{0}\exp(+iH\theta ),$

где $\varrho _{0}$ – начальное состояние системы, $\theta$ параметр, который необходимо оценить на основе измерений на $\varrho (\theta ).$

Простой вывод из соотношения неопределенностей Гейзенберга

Рассмотрим разложение матрицы плотности на чистые компоненты как

$\varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .$

Соотношение неопределенностей Гейзенберга справедливо для всех $\vert \Psi _{k}\rangle$

$(\Delta A)_{\Psi _{k}}^{2}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle i[A,B]\rangle _{\Psi _{k}}|^{2}.$

Отсюда, используя неравенство Коши-Шварца, приходим к

$(\Delta \theta )_{A}^{2}\geq {\frac {1}{4\min _{\{p_{k},\Psi _{k}\}}[\sum _{k}p_{k}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}]}}.$

Здесь

$(\Delta \theta )_{A}^{2}={\frac {(\Delta A)^{2}}{|\partial _{\theta }\langle A\rangle |^{2}}}={\frac {(\Delta A)^{2}}{|\langle i[A,B]\rangle |^{2}}}$

— это формула распространения ошибок, которая примерно говорит нам, насколько хорошо $\theta$ можно оценить, измерив $A.$ Более того, выпуклая крыша дисперсии имеет вид

$\min _{\{p_{k},\Psi _{k}\}}\left[\sum _{k}p_{k}(\Delta B)_{\Psi _{k}}^{2}\right]={\frac {1}{4}}F_{Q}[\varrho ,B],$

где $F_{Q}[\varrho ,B]$ это квантовая информация Фишера .