Неравенство Коши – Шварца

Неравенство Коши –Шварца (также называемое неравенством Коши–Буняковского–Шварца ) — это верхняя граница внутреннего продукта между двумя векторами в пространстве внутреннего продукта, выраженная в виде произведения векторных норм . Оно считается одним из самых важных и широко используемых неравенств в математике.

Неравенство для сумм было опубликовано Огюстеном-Луи Коши ( 1821 ). Соответствующее неравенство для интегралов опубликовал Виктор Буняковский ( 1859 г. ). и Герман Шварц ( 1888 ). Шварц дал современное доказательство интегральной версии.

Формулировка неравенства

Неравенство Коши – Шварца утверждает, что для всех векторов $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ внутреннего пространства продукта

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$ ( 1 )

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ это внутренний продукт . Примеры внутренних продуктов включают реальное и сложное скалярное произведение ; см. примеры во внутреннем продукте . Каждый внутренний продукт порождает евклидову $l_{2}$ норма , называемая канонической или индуцированной нормой , где норма вектора $\mathbf {u}$ обозначается и определяется $$\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},$$ где $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ всегда является неотрицательным действительным числом (даже если внутренний продукт является комплексным). Взяв квадратный корень из обеих частей приведенного выше неравенства, неравенство Коши – Шварца можно записать в его более знакомой форме с точки зрения нормы:

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$ ( 2 )

Более того, обе стороны равны тогда и только тогда, когда $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ зависимы линейно .

Особые случаи

Лемма Седракяна - Положительные действительные числа

Неравенство Седракяна , также известное как Бергстрема неравенство лемма , форма Энгеля, Титу (или лемма Т2), утверждает, что для действительных чисел $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ и положительные действительные числа $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$: $${\frac {\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.$$

Это прямое следствие неравенства Коши – Шварца, полученного с помощью скалярного произведения на $\mathbb {R} ^{n}$ после замены $u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}$ и $v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}$. Эта форма особенно полезна, когда неравенство включает в себя дроби, в которых числитель представляет собой полный квадрат .

Р ² - Самолет

Неравенство Коши-Шварца в единичной окружности евклидовой плоскости

Настоящее векторное пространство $\mathbb {R} ^{2}$ обозначает двумерную плоскость. Это также двумерное евклидово пространство , где скалярным произведением является скалярное произведение . Если $\mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)$ и $\mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)$ тогда неравенство Коши – Шварца принимает вид: $$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},$$где $\theta$ это угол между $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$.

Приведенная выше форма, пожалуй, самая простая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы направлены в одном или противоположном направлении. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат $u_{1}$, $u_{2}$, $v_{1}$, и $v_{2}$ как $$\left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),$$где равенство имеет место тогда и только тогда, когда вектор $\left(u_{1},u_{2}\right)$ находится в том же или противоположном направлении, что и вектор $\left(v_{1},v_{2}\right)$, или если один из них является нулевым вектором.

Р ^н : n -мерное евклидово пространство

В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартным внутренним продуктом, который представляет собой скалярное произведение , неравенство Коши – Шварца принимает вид: $$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).$$

Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только элементарную алгебру, заметив, что разность правой и левой частей равна $${\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,\ldots ,n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0$$

или рассмотрев следующий квадратичный полином в $x$$$\left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.$$

Поскольку последний многочлен неотрицательен, он имеет не более одного вещественного корня, следовательно, его дискриминант меньше или равен нулю. То есть, $$\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0.$$

С ^н : n -мерное комплексное пространство

Если $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ с $\mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)$ и $\mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)$ (где $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ и $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$) и если скалярное произведение в векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ — канонический комплексный внутренний продукт (определяемый формулой $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},$ используется обозначение штриха где для комплексного сопряжения ), то неравенство можно сформулировать более явно следующим образом: $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.$$

То есть, $$\left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).$$

л ²

Для пространства внутреннего произведения интегрируемых с квадратом комплекснозначных функций, , справедливо следующее неравенство: $$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$$

Неравенство Гёльдера является его обобщением.

Приложения

Анализ

В любом пространстве внутреннего продукта является неравенство треугольника следствием неравенства Коши – Шварца, как теперь показано: $${\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}$$

Извлечение квадратных корней дает неравенство треугольника: $$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.$$

Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывной функцией относительно топологии, индуцированной самим скалярным произведением.

Геометрия

Неравенство Коши – Шварца позволяет распространить понятие «угол между двумя векторами» на любое реальное пространство внутреннего продукта, определив: $$\cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.$$

Неравенство Коши-Шварца доказывает, что это определение разумно, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1], и подтверждает представление о том, что (реальные) гильбертовы пространства являются просто обобщениями евклидова пространства . Его также можно использовать для определения угла в сложных пространствах внутреннего продукта , принимая абсолютное значение или действительную часть правой части: как это делается при извлечении метрики из квантовой точности .

Теория вероятностей

Позволять $X$ и $Y$ быть случайными величинами . Тогда ковариационное неравенство дается: $$\operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.$$

После определения внутреннего продукта на наборе случайных величин, используя математическое ожидание их продукта, $$\langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),$$неравенство Коши – Шварца принимает вид $$|\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).$$

Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши–Шварца, пусть $\mu =\operatorname {E} (X)$ и $\nu =\operatorname {E} (Y),$ затем $${\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}$$где $\operatorname {Var}$ обозначает дисперсию и $\operatorname {Cov}$ обозначает ковариацию .

Доказательства

Есть много разных доказательств неравенства Коши–Шварца, отличных от приведенных ниже. При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅,⋅⟩ как линейные по второму аргументу, а не по первому. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле $\mathbb {R}$ и не $\mathbb {C} .$

В этом разделе приведены два доказательства следующей теоремы:

Неравенство Коши – Шварца — Пусть $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ быть произвольными векторами в пространстве внутреннего произведения над скалярным полем $\mathbb {F} ,$ где $\mathbb {F}$ это поле действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$ Затем

$\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$ ( Неравенство Коши – Шварца )

с равенство выполняется в неравенстве Коши – Шварца тогда и только тогда, когда $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ зависимы линейно .

Более того, если $|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$ и $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ затем $\mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .$

В обоих доказательствах, приведенных ниже, доказательство в тривиальном случае, когда хотя бы один из векторов равен нулю (или, что то же самое, в случае, когда $\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0$) то же самое. Оно представлено непосредственно ниже только один раз, чтобы уменьшить повторение. Он также включает в себя простую часть доказательства характеристики равенства , приведенную выше; то есть это доказывает, что если $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ линейно зависимы, то $\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

показывать Доказательство тривиальных частей: случай, когда вектор $\mathbf {0}$ а также одно направление характеристики равенства

By definition, $\mathbf {u}$ and $\mathbf {v}$ are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. If $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ where $c$ is some scalar then $$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle c\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c|\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|c\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$$ which shows that equality holds in the Cauchy–Schwarz Inequality. The case where $\mathbf {v} =c\mathbf {u}$ for some scalar $c$ follows from the previous case:$$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle |=\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {u} \|.$$ In particular, if at least one of $\mathbf {u}$ and $\mathbf {v}$ is the zero vector then $\mathbf {u}$ and $\mathbf {v}$ are necessarily linearly dependent (for example, if $\mathbf {u} =\mathbf {0}$ then $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$ where $c=0$), so the above computation shows that the Cauchy-Schwarz inequality holds in this case.

только нетривиальное направление характеризации равенства Следовательно, неравенство Коши – Шварца необходимо доказывать только для ненулевых векторов, а также необходимо показать .

Доказательство с помощью теоремы Пифагора.

Особый случай $\mathbf {v} =\mathbf {0}$ было доказано выше, поэтому в дальнейшем предполагается, что $\mathbf {v} \neq \mathbf {0} .$ Позволять $$\mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .$$

Из линейности скалярного произведения в его первом аргументе следует, что: $$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.$$

Поэтому, $\mathbf {z}$ – вектор, ортогональный вектору $\mathbf {v}$ (Действительно, $\mathbf {z}$ это проекция ​ $\mathbf {u}$ на плоскость, ортогональную $\mathbf {v} .$) Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к $$\mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z}$$что дает $$\|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.$$

Неравенство Коши – Шварца получается путем умножения на $\|\mathbf {v} \|^{2}$ а затем извлекаем квадратный корень. Более того, если отношение $\geq$ в приведенном выше выражении на самом деле является равенством, тогда $\|\mathbf {z} \|^{2}=0$ и, следовательно, $\mathbf {z} =\mathbf {0} ;$ определение $\mathbf {z}$ затем устанавливает отношение линейной зависимости между $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v} .$ Обратное утверждение было доказано в начале этого раздела, поэтому доказательство завершено. $\blacksquare$

Доказательство путем анализа квадратичного

Рассмотрим произвольную пару векторов $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$. Определите функцию $p:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle$, где $\alpha$ комплексное число, удовлетворяющее $|\alpha |=1$ и $\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |$.Такой $\alpha$ существует, поскольку если $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0$ затем $\alpha$ можно принять равным 1.

Поскольку внутренний продукт положительно определен, $p(t)$ принимает только неотрицательные действительные значения. С другой стороны, $p(t)$ можно расширить, используя билинейность внутреннего продукта: $${\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}$$Таким образом, $p$ является полиномом степени $2$ (пока не $\mathbf {u} =0,$ это случай, который был проверен ранее). Поскольку знак $p$ не меняется, дискриминант этого многочлена должен быть неположительным: $$\Delta =4\left(|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.$$Вывод следующий.

В случае равенства обратите внимание, что $\Delta =0$ произойдет тогда и только тогда, когда $p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}.$ Если $t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,$ затем $p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,$ и, следовательно, $\mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .$

Обобщения

Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает его на $L^{p}$ нормы. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора в банаховом пространстве (а именно, когда это пространство является гильбертовым ). Дальнейшие обобщения находятся в контексте теории операторов , например, для операторно-выпуклых функций и операторных алгебр , где область определения и/или диапазон заменяются C*-алгеброй или W*-алгеброй .

Внутренний продукт можно использовать для определения положительного линейного функционала . Например, учитывая гильбертово пространство $L^{2}(m),m$ будучи конечной мерой, стандартное скалярное произведение порождает положительный функционал $\varphi$ к $\varphi (g)=\langle g,1\rangle .$ Обратно, всякий положительный линейный функционал $\varphi$ на $L^{2}(m)$ может использоваться для определения внутреннего продукта $\langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),$ где $g^{*}$ является поточечным комплексным сопряжением $g.$ На этом языке неравенство Коши – Шварца принимает вид $$\left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),$$

которое дословно расширяется до положительных функционалов на C*-алгебрах:

Неравенство Коши–Шварца для положительных функционалов на C*-алгебрах - Если $\varphi$ — положительный линейный функционал на C*-алгебре $A,$ тогда для всех $a,b\in A,$ $\left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).$

Следующие две теоремы являются дальнейшими примерами операторной алгебры.

Неравенство Кадисона – Шварца  (Назван в честь Ричарда Кэдисона ) — Если $\varphi$ — унитарное положительное отображение, то для каждого нормального элемента $a$ в его области у нас есть $\varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)$ и $\varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).$

Это расширяет факт $\varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},$ когда $\varphi$ является линейным функционалом. Тот случай, когда $a$ является самосопряженным, то есть $a=a^{*},$ иногда называют неравенством Кадисона .

Неравенство Коши – Шварца   (Модифицированное неравенство Шварца для 2-положительных отображений ) — Для 2-положительной карты $\varphi$ между C*-алгебрами, для всех $a,b$ в своей сфере, $$\varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}$$$$\Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .$$

Другое обобщение представляет собой уточнение, полученное путем интерполяции между обеими частями неравенства Коши – Шварца:

Неравенство Каллебо — По настоящему $0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1,$$$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).$$

Эту теорему можно вывести из неравенства Гёльдера . Существуют также некоммутативные версии для операторов и тензорных произведений матриц.

Несколько матричных версий неравенства Коши – Шварца и неравенства Канторовича применяются к моделям линейной регрессии.

См. также

• Неравенство Бесселя - Теорема об ортонормированных последовательностях
• Неравенство Гельдера - Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Неравенство Йенсена - Теорема о выпуклых функциях
• Неравенство Канторовича
• Неравенство Куниты – Ватанабэ
• Неравенство Минковского - неравенство, установившее L ^п пространства являются нормированными векторными пространствами
• Неравенство Пэли – Зигмунда - неравенство, применимое к случайным переменным с конечной дисперсией. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Алдас, Дж. М.; Барза, С.; Фуджи, М.; Мослехиан, М.С. (2015), «Достижения в области операторных неравенств Коши — Шварца и их обратные варианты» , Annals of Functional Analysis , 6 (3): 275–295, doi : 10.15352/afa/06-3-20 , S2CID   122631202
• Буняковский, Виктор (1859), «О некоторых неравенствах, касающихся конечно-разностных интегралов» (PDF) , Mem. акад. наук. Санкт-Петербург , 7 (1):6, в архиве (PDF) с оригинала 09.10.2022.
• Коши, А.-Л. (1821), «О формулах, возникающих в результате использования знака и > или <, а также о средних значениях между несколькими величинами», Курс анализа, 1-я часть: Алгебраический анализ 1821; Сочинения Сер.2 III 373-377
• Драгомир, С. С. (2003), «Обзор дискретных неравенств типа Коши – Буняковского – Шварца» , Журнал «Неравенства в чистой и прикладной математике» , 4 (3): 142 стр., заархивировано из оригинала 20 июля 2008 г.
• Гриншпан, А.З. (2005), «Общие неравенства, последствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi : 10.1016/j.aam.2004.05.001
• Халмос, Пол Р. (8 ноября 1982 г.). Книга задач о гильбертовом пространстве . Тексты для аспирантов по математике . Том. 19 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90685-0 . OCLC   8169781 .
• Кадисон, Р.В. (1952), «Обобщенное неравенство Шварца и алгебраические инварианты для операторных алгебр», Annals of Mathematics , 56 (3): 494–503, doi : 10.2307/1969657 , JSTOR   1969657 .
• Лоуотер, Артур (1982), Введение в неравенства , электронная онлайн-книга в формате PDF
• Полсен, В. (2003), Полностью ограниченные карты и операторные алгебры , издательство Кембриджского университета .
• Шварц, Х.А. (1888), «О проблеме вариационного исчисления, касающейся поверхностей наименьшей площади» (PDF) , Acta Societatis Scientiarum Fennicae , XV : 318, заархивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Неравенство Коши» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Стил, Дж. М. (2004), Мастер-класс Коши – Шварца , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-54677-Х

Внешние ссылки

• Самое раннее использование: статья о неравенстве Коши – Шварца содержит некоторую историческую информацию.
• Пример применения неравенства Коши – Шварца для определения линейно независимых векторов . Учебное пособие и интерактивная программа.