Неравенство Канторовича

В математике является неравенство Канторовича частным случаем неравенства Коши–Шварца , которое само по себе является обобщением неравенства треугольника .

Неравенство треугольника гласит, что длина двух сторон любого треугольника, сложенная вместе, будет равна или больше длины третьей стороны. Проще говоря, неравенство Канторовича переводит основную идею неравенства треугольника в термины и соглашения об обозначениях линейного программирования . ( в разделе «Векторное пространство» , «Внутреннее произведение» и «Нормированное векторное пространство» Другие примеры того, как основные идеи, присущие неравенству треугольника — отрезок и расстояние — можно обобщить в более широком контексте, см. .)

Более формально неравенство Канторовича можно выразить так:

Позволять

$p_{i}\geq 0,\quad 0<a\leq x_{i}\leq b{\text{ for }}i=1,\dots ,n.$

Позволять $A_{n}=\{1,2,\dots ,n\}.$

Затем

${\begin{aligned}&{}\qquad \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}-{\frac {(a-b)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}$

Неравенство Канторовича используется в анализе сходимости ; он ограничивает скорость сходимости наикрутейшего спуска Коши .

Эквиваленты неравенства Канторовича возникли в ряде различных областей. Например, неравенство Коши-Шварца-Буняковского и неравенство Виланда эквивалентны неравенству Канторовича, и все они, в свою очередь, являются частными случаями неравенства Гельдера .

Неравенство Канторовича названо в честь советского экономиста, математика, Нобелевской премии лауреата Леонида Канторовича , пионера в области линейного программирования .

Существует также матричная версия неравенства Канторовича, предложенная Маршаллом и Олкином (1990). Доступны его расширения и их приложения к статистике; см., например, Liu and Neudecker (1999) и Liu et al. (2022).

См. также

• Неравенство Коши – Шварца - математическое неравенство, связывающее внутренние продукты и нормы.

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Канторовича» . Математический мир .
• Неравенство Коши-Шварца в PlanetMath .
• Запись в Глоссарии математического программирования по теме «неравенство Канторовича».
• Маршалл А.В. и Олкин И.Матричные версии неравенств Коши и Канторовича. Aequationes Mathematicae 40 (1990) 89–93.
• Лю, Шуанже и Нойдекер, Хайнц, Обзор матричных неравенств типа Коши-Шварца и Канторовича. Статистические документы 40 (1999) 55-73.
• Лю, Шуанже, Лейва, Виктор, Чжуан, Дэн, Ма, Тифенг и Фигероа-Суньига, Хорхе И., Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в многомерной линейной модели и ее диагностика. Журнал многомерного анализа 188 (2022) 104849. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2021.104849.

Внешние ссылки

• Биография Леонида Витальевича Канторовича