Неравенство Пэли – Зигмунда

В математике неравенство Пэли – Зигмунда ограничивает вероятность того, что положительная случайная величина мала с точки зрения его первые два момента . Неравенство было доказали Раймонд Пейли и Антони Зигмунд .

Теорема : Если Z ≥ 0 — случайная величина с конечная дисперсия, и если $0\leq \theta \leq 1$ , затем

\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq (1-\theta )^{2}{\frac {\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}.

Доказательство : Во-первых,

\operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z\leq \theta \operatorname {E} [Z]\}}]+\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}].

Первое сложение не более $\theta \operatorname {E} [Z]$ , а второе не более $\operatorname {E} [Z^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}$ по неравенству Коши–Шварца . Отсюда следует желаемое неравенство. ∎

Связанные неравенства

Неравенство Пэли – Зигмунда можно записать как

\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+\operatorname {E} [Z]^{2}}}.

Это можно улучшить ^{[ нужна ссылка ]}. По неравенству Коши–Шварца ,

\operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}

что после перестановки означает, что

\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {Var} Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E} [Z]^{2}}}.

Это неравенство является резким; равенство достигается, если Z почти наверняка равно положительной константе.

В свою очередь, это влечет за собой другую удобную форму (известную как неравенство Кантелли ), которая имеет вид

\operatorname {P} (Z>\mu -\theta \sigma )\geq {\frac {\theta ^{2}}{1+\theta ^{2}}},

где $\mu =\operatorname {E} [Z]$ и $\sigma ^{2}=\operatorname {Var} [Z]$ . Это следует из замены $\theta =1-\theta '\sigma /\mu$ действителен, когда $0\leq \mu -\theta \sigma \leq \mu$ .

Усиленная форма неравенства Пэли-Зигмунда гласит, что если Z является неотрицательной случайной величиной, то

\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} [Z]^{2}}{\operatorname {E} [Z^{2}]}}

для каждого $0\leq \theta \leq 1$ . Это неравенство получается путем применения обычного неравенства Пэли-Зигмунда к условному распределению Z, учитывая, что оно положительно, и с учетом того, что различные факторы $\operatorname {P} (Z>0)$ отмена.

И это неравенство, и обычное неравенство Пэли-Зигмунда также допускают $L^{p}$ версии: ^{[ 1 ]} Если Z — неотрицательная случайная величина и $p>1$ затем

\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{p/(p-1)}\,\operatorname {E} [Z]^{p/(p-1)}}{\operatorname {E} [Z^{p}]^{1/(p-1)}}}.

для каждого $0\leq \theta \leq 1$ . Это следует из того же доказательства, что и выше, но с использованием неравенства Гёльдера вместо неравенства Коши-Шварца.

См. также

Неравенство Кантелли
Метод второго момента
Неравенство концентрации - сводка хвостовых границ случайных величин.

Ссылки

^ Петров, Валентин В. (1 августа 2007 г.). «О нижних границах хвостовых вероятностей». Журнал статистического планирования и выводов . 137 (8): 2703–2705. дои : 10.1016/j.jspi.2006.02.015 .

Дальнейшее чтение

Пейли, REAC; Зигмунд, А. (апрель 1932 г.). «О некоторых сериях функций (3)». Математические труды Кембриджского философского общества . 28 (2): 190–205. Бибкод : 1932PCPS...28..190P . дои : 10.1017/S0305004100010860 . S2CID 178702376 .
Пейли, REAC; Зигмунд, А. (июль 1932 г.). «Заметка об аналитических функциях в единичном круге». Математические труды Кембриджского философского общества . 28 (3): 266–272. Бибкод : 1932PCPS...28..266P . дои : 10.1017/S0305004100010112 . S2CID 122832495 .

[1] Петров, Валентин В. (1 августа 2007 г.). «О нижних границах хвостовых вероятностей». Журнал статистического планирования и выводов . 137 (8): 2703–2705. дои : 10.1016/j.jspi.2006.02.015 .

[ 1 ]