Супероператор

В физике супероператор действующий — это линейный оператор, в векторном пространстве линейных операторов .

Иногда этот термин более конкретно относится к полностью позитивной карте , которая также сохраняет или не увеличивает след своего аргумента . Это специализированное значение широко используется в области квантовых вычислений , особенно в квантовом программировании , поскольку они характеризуют отображения между матрицами плотности .

Использование здесь приставки супер- никоим образом не связано с другим ее применением в математической физике. То есть супероператоры не имеют никакого отношения к суперсимметрии и супералгебре , которые являются расширением обычных математических понятий, определяемых путем расширения кольца чисел за счет включения чисел Грассмана . Поскольку супероператоры сами являются операторами, использование суперпрефикса используется для того, чтобы отличать их от операторов, на которые они действуют.

Левое/правое умножение

Определение левого и правого супероператоров умножения с помощью ${\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho$ и ${\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A$ соответственно можно выразить коммутатор как

$[A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].$

Далее векторизуем матрицу $\rho$ что такое отображение

$\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\to |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,$

где $|\cdot \rangle \!\rangle$ обозначает вектор в пространстве Фока-Лиувилля.Матричное представление ${\mathcal {L}}(A)$ затем рассчитывается с использованием того же отображения

$A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],$

указывая на то, что ${\mathcal {L}}(A)=A\otimes I$. Аналогичным образом можно показать, что ${\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})$. Эти представления позволяют нам вычислять такие вещи, как собственные значения, связанные с супероператорами. Эти собственные значения особенно полезны в области открытых квантовых систем, где действительные части собственных значений супероператора Линдблада будут указывать, будет ли квантовая система релаксировать или нет.

Пример уравнения Неймана

В механике уравнение Шрёдингера квантовой $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ выражает временную эволюцию вектора состояния $\psi$ действием гамильтониана ${\hat {H}}$ который представляет собой оператор, отображающий векторы состояния в векторы состояния.

В более общей формулировке Джона фон Неймана статистические состояния и ансамбли выражаются операторами плотности, а не векторами состояний. В этом контексте временная эволюция оператора плотности выражается через уравнение фон Неймана , в котором на оператор плотности действует супероператор ${\mathcal {H}}$ отображение операторов на операторы. Он определяется взятием коммутатора относительно оператора Гамильтона:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]$

где

${\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}$

Поскольку в КМ широко используются коммутаторные скобки, это явное супероператорное представление действия гамильтониана обычно опускается.

Примеры производных функций в пространстве операторов

При рассмотрении операторнозначной функции операторов ${\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})$ например, когда мы определяем квантово-механический гамильтониан частицы как функцию операторов положения и импульса, мы можем (по любой причине) определить «производную оператора» ${\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}$как супероператор, отображающий оператор на оператор.

Например, если $H(P)=P^{3}=PPP$ тогда его операторная производная является супероператором, определяемым следующим образом:

${\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X$

Эта «производная оператора» представляет собой просто матрицу Якоби функции (операторов), где ввод и вывод оператора просто рассматриваются как векторы и расширяется пространство операторов в некотором базисе. Матрица Якоби тогда является оператором (на одном более высоком уровне абстракции), действующим в этом векторном пространстве (операторов).

См. также

Линдблад супероператор