Расстояние трассировки

В квантовой механике , особенно в квантовой информации и изучении открытых квантовых систем , расстояние следа T является метрикой пространства матриц плотности и дает меру различимости между двумя состояниями. Это квантовое обобщение расстояния Колмогорова для классических распределений вероятностей.

Определение

Расстояние следа определяется как половина трассовой нормы разности матриц: $$T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{2}}\|\rho -\sigma \|_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right],$$где $\|A\|_{1}\equiv \operatorname {Tr} [{\sqrt {A^{\dagger }A}}]$ является следовой нормой $A$, и ${\sqrt {A}}$ является единственным положительно полуопределенным $B$ такой, что $B^{2}=A$ (который всегда определен для положительного полуопределенного $A$). Это можно рассматривать как матрицу, полученную из $A$ извлечение алгебраических квадратных корней из его собственных значений. Для трассового расстояния у нас есть более конкретное выражение вида $|C|\equiv {\sqrt {C^{\dagger }C}}={\sqrt {C^{2}}}$ где $C=\rho -\sigma$ является эрмитовым. Эта величина равна сумме сингулярных значений $C$, который является $C$ Эрмитиан, равен сумме абсолютных значений его собственных значений. Более явно, $$T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{r}|\lambda _{i}|,$$где $\lambda _{i}\in \mathbb {R}$ это $i$-е собственное значение $\rho -\sigma$, и $r$ это его ранг.

Коэффициент два гарантирует, что расстояние следа между нормализованными матрицами плотности принимает значения в диапазоне $[0,1]$.

Связь с общим расстоянием изменения

Расстояние следа можно рассматривать как прямое квантовое обобщение общего вариационного расстояния между распределениями вероятностей. Учитывая пару вероятностных распределений $P,Q$, их общее расстояние изменения равно $$\delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{k}|P_{k}-Q_{k}|.$$Попытка напрямую применить это определение к квантовым состояниям поднимает проблему: квантовые состояния могут привести к различным распределениям вероятностей в зависимости от того, как они измеряются. Тогда естественным выбором будет рассмотрение общего расстояния вариации между классическим распределением вероятностей, полученного при измерении двух состояний, максимизированного по возможным вариантам измерения, что приводит именно к следовому расстоянию между квантовыми состояниями. Точнее, это величина $$\max _{\Pi }{\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\sigma )|,$$с максимизацией, выполняемой по всем возможным POVM $\{\Pi _{i}\}_{i}$.

Чтобы понять, почему это так, мы начнем наблюдать, что существует уникальное разложение $\rho -\sigma =P-Q$ с $P,Q\geq 0$ положительные полуопределенные матрицы с ортогональным носителем. С помощью этих операторов мы можем кратко написать $|\rho -\sigma |=P+Q$. Более того $\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P),\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q)\geq 0$, и таким образом $|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)-\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))|\leq \operatorname {Tr} (\Pi _{i}P)+\operatorname {Tr} (\Pi _{i}Q))$. Таким образом, мы имеем $$\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|=\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P-Q))|\leq \sum _{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(P+Q))=\operatorname {Tr} |\rho -\sigma |.$$Это показывает, что $$\max _{\Pi }\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })\leq T(\rho ,\sigma ),$$где $P_{\Pi ,\rho }$ обозначает классическое распределение вероятностей, возникающее в результате измерения $\rho$ с ПОВМ $\Pi$, $(P_{\Pi ,\rho })_{i}\equiv \operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho )$, а максимум выполняется по всем POVM $\Pi \equiv \{\Pi _{i}\}_{i}$.

Чтобы сделать вывод о насыщении неравенства некоторой ПОВМ, нам достаточно рассмотреть проективное измерение с элементами, соответствующими собственным векторам $\rho -\sigma$. Благодаря этому выбору, $$\delta (P_{\Pi ,\rho },P_{\Pi ,\sigma })={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\operatorname {Tr} (\Pi _{i}(\rho -\sigma ))|={\frac {1}{2}}\sum _{i}|\lambda _{i}|=T(\rho ,\sigma ),$$где $\lambda _{i}$ являются собственными значениями $\rho -\sigma$.

Физическая интерпретация

Используя двойственность Гёльдера для норм Шаттена , расстояние следа можно записать в вариационной форме как

$T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].$

Что касается его классического аналога, расстояние следа может быть связано с максимальной вероятностью различения двух квантовых состояний:

Например, предположим, что Алиса готовит систему либо в состоянии $\rho$ или $\sigma$, каждый с вероятностью ${\frac {1}{2}}$ и отправляет его Бобу, который должен различать два состояния, используя двоичное измерение. Пусть Боб назначит результат измерения $0$ и POVM элемент $P_{0}$ например, результат $1$ и элемент POVM $P_{1}=1-P_{0}$ чтобы определить состояние $\rho$ или $\sigma$, соответственно. Его ожидаемая вероятность правильно определить входящее состояние тогда определяется выражением

$p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0|\rho )+{\frac {1}{2}}p(1|\sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).$

Следовательно, при применении оптимального измерения Боб имеет максимальную вероятность

$p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))$

правильно определить, в каком состоянии Алиса подготовила систему.

Характеристики

Расстояние трассировки имеет следующие свойства

• Это метрика в пространстве матриц плотности, т. е. она неотрицательна, симметрична и удовлетворяет неравенству треугольника , и $T(\rho ,\sigma )=0\Leftrightarrow \rho =\sigma$
• $0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1$ и $T(\rho ,\sigma )=1$ тогда и только тогда, когда $\rho$ и $\sigma$ иметь ортогональные опоры
• Он сохраняется при унитарных преобразованиях : $T(U\rho U^{\dagger },U\sigma U^{\dagger })=T(\rho ,\sigma )$
• Оно является сжимающим при отображении CP, сохраняющем следы , т.е. если $\Phi$ является отображением CPT, тогда $T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )$
• Оно выпукло на каждом из своих входов. Например $T(\sum _{i}p_{i}\rho _{i},\sigma )\leq \sum _{i}p_{i}T(\rho _{i},\sigma )$
• В чистых состояниях это можно однозначно выразить через внутренний продукт состояний: $T(|\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |)={\sqrt {1-|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}}}$

Для кубитов расстояние следа равно половине евклидова расстояния в представлении Блоха .

Связь с другими мерами расстояния

Верность

Точность состояний двух квантовых $F(\rho ,\sigma )$ связано с расстоянием следа $T(\rho ,\sigma )$ по неравенствам

$1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.$

Неравенство верхней границы становится равенством, когда $\rho$ и $\sigma$ являются чистыми состояниями . [Обратите внимание, что используемое здесь определение верности представляет собой квадрат определения, использованного Нильсеном и Чуангом]

Общее расстояние изменения

Расстояние следа является обобщением общего расстояния вариации и для двух коммутирующих матриц плотности имеет то же значение, что и общее расстояние вариации двух соответствующих распределений вероятностей.