Тень нормальная

В математике , особенно в функциональном анализе , Шаттена норма (или норма Шаттена-фон-Неймана ) возникает как обобщение p -интегрируемости, аналогичной нулевого класса норме и норме Гильберта-Шмидта .

Определение

Позволять $H_{1}$, $H_{2}$ будут гильбертовыми пространствами и $T$ (линейный) ограниченный оператор из $H_{1}$ к $H_{2}$. Для $p\in [1,\infty )$ Шаттена , определим p -норму $T$ как

$\|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},$

где $|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$, используя оператор квадратный корень .

Если $T$ компактен и $H_{1},\,H_{2}$ разделимы, то

$\|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}$

для $s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0$ сингулярные значения ​ $T$, т. е. собственные значения эрмитова оператора $|T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}$.

Характеристики

Далее мы формально расширяем диапазон $p$ к $[1,\infty ]$ с соглашением, что $\|\cdot \|_{\infty }$ является нормой оператора. Двойной индекс для $p=\infty$ тогда $q=1$.

• Нормы Шаттена унитарно-инвариантны: для унитарных операторов $U$ и $V$ и $p\in [1,\infty ]$,

$\|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.$

• Они удовлетворяют неравенству Гёльдера : для всех $p\in [1,\infty ]$ и $q$ такой, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$и операторы $S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$ определенный между гильбертовыми пространствами $H_{1},H_{2},$ и $H_{3}$ соответственно,

$\|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.$

Если $p,q,r\in [1,\infty ]$ удовлетворить ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}$, тогда мы имеем

$\|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}$.

Последний вариант неравенства Гельдера доказывается в более высокой общности (для некоммутативных $L^{p}$ пространства вместо классов Шаттен-п) в. (Для матриц последний результат находится в .)

• Субмультипликативность: для всех $p\in [1,\infty ]$ и операторы $S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})$ определенный между гильбертовыми пространствами $H_{1},H_{2},$ и $H_{3}$ соответственно,

$\|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.$

• Монотонность: Для $1\leq p\leq p'\leq \infty$,

$\|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.$

• Двойственность: Пусть $H_{1},H_{2}$ — конечномерные гильбертовы пространства, $p\in [1,\infty ]$ и $q$ такой, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$, затем

$\|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,$

где $\langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)$ обозначает скалярное произведение Гильберта–Шмидта .

• Позволять $(e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}$ — два ортонормированных базиса гильбертовых пространств $H_{1},H_{2}$, то для $p=1$

$\|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.$

Примечания

Обратите внимание, что $\|\cdot \|_{2}$ – норма Гильберта–Шмидта (см. оператор Гильберта–Шмидта ), $\|\cdot \|_{1}$ — норма класса трассировки (см. класс трассировки ), а $\|\cdot \|_{\infty }$ — операторная норма (см. операторная норма ).

Для $p\in (0,1)$ функция $\|\cdot \|_{p}$ является примером квазинормы .

Оператор, имеющий конечную норму Шаттена, называется оператором класса Шаттена , а пространство таких операторов обозначается через $S_{p}(H_{1},H_{2})$. С этой нормой $S_{p}(H_{1},H_{2})$ является банаховым пространством и гильбертовым пространством при p = 2.

Обратите внимание, что $S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})$, алгебра компактных операторов . Это следует из того факта, что если сумма конечна, то спектр будет конечным или счетным с началом в качестве предельной точки и, следовательно, компактным оператором (см. Компактный оператор в гильбертовом пространстве ).

Случай p = 1 часто называют ядерной нормой (также известной как норма следа или Кай Фана) . n -норма )

См. также

Матричные нормы

Ссылки

• Раджендра Бхатия, Матричный анализ, Том. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• Джон Уотрус , Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов , конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011.
• Иоахим Вайдманн, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, Vol. 20. Спрингер, Нью-Йорк, 1980.