Единственное значение

В математике , в частности в функциональном анализе , сингулярные значения компактного оператора $T:X\rightarrow Y$ действующий между гильбертовыми пространствами $X$ и $Y$ , являются квадратными корнями из (обязательно неотрицательных) собственных значений самосопряженного оператора $T^{*}T$ (где $T^{*}$ обозначает сопряженное $T$ ).

Сингулярные значения — это неотрицательные действительные числа , обычно перечисленные в порядке убывания ( σ ₁ ( T ), σ ₂ ( T ), …). Наибольшее сингулярное значение σ1 _T ( операторной ) равно норме T теорему (см. Мин-Макса ).

Если T действует в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , существует простая геометрическая интерпретация сингулярных значений: рассмотрим изображение $T$ единичной сферы ; это эллипсоид , а длины его полуосей являются сингулярными значениями $T$ (на рисунке приведен пример $\mathbb {R} ^{2}$ ).

Сингулярные значения являются абсолютными значениями собственных значений нормальной матрицы A , поскольку спектральную теорему можно применить для получения унитарной диагонализации $A$ как $A=U\Lambda U^{*}$ . Поэтому, ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}$ .

Большинство изучаемых норм операторов гильбертового пространства определяются с использованием сингулярных значений. Например, норма Кай Фана - k - это сумма первых k сингулярных значений, норма следа - это сумма всех сингулярных значений, а норма Шаттена - это корень p -й степени из суммы p -х степеней единственного числа. ценности. Обратите внимание, что каждая норма определена только для специального класса операторов, поэтому сингулярные значения могут быть полезны при классификации различных операторов.

В конечномерном случае матрицу всегда можно разложить в виде $\mathbf {U\Sigma V^{*}}$ , где $\mathbf {U}$ и $\mathbf {V^{*}}$ являются унитарными матрицами и $\mathbf {\Sigma }$ представляет собой прямоугольную диагональную матрицу , сингулярные значения которой лежат на диагонали. Это разложение по сингулярным значениям .

Основные свойства

Для $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ , и $i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}$ .

Теорема Мин-Макса для сингулярных значений . Здесь $U:\dim(U)=i$ является подпространством $\mathbb {C} ^{n}$ размера $i$ .

{\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}

Транспонирование и сопряжение матриц не изменяют сингулярные значения.

\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).

Для любого унитарного $U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.$

\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).

Связь с собственными значениями:

\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).

Отношение к трассировке :

\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A

.

Если $A^{\top }A$ имеет полный ранг, произведение сингулярных значений равно ${\sqrt {\det A^{\top }A}}$ .

Если $AA^{\top }$ имеет полный ранг, произведение сингулярных значений равно ${\sqrt {\det AA^{\top }}}$ .

Если $A$ имеет полный ранг, произведение сингулярных значений равно $|\det A|$ .

Неравенства относительно сингулярных значений

См. также. ^[1]

Сингулярные значения подматриц

Для $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.$

Позволять $B$ обозначать $A$ с удалением одной из строк или столбцов. Затем $\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$
Позволять $B$ обозначать $A$ с удалением одной из строк и столбцов. Затем $\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$
Позволять $B$ обозначают $(m-k)\times (n-l)$ подматрица $A$ . Затем $\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$

Сингулярные значения A + B

Для $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

$\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}$
$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$

Сингулярные значения AB

Для $A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

${\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}$
$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$

Для $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ ^[2] $2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.$

Сингулярные значения и собственные значения

Для $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ .

Видеть ^[3] $\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$
Предполагать $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$ $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$ . Тогда для $k=1,2,\ldots ,n$ $k=1,2,\ldots,n$ :
1. Теорема Вейля $\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).$
2. Для $p>0$ . $\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$

История

Эта концепция была введена Эрхардом Шмидтом в 1907 году. В то время Шмидт называл сингулярные значения «собственными значениями». Название «единственное число» впервые было процитировано Смитисом в 1937 году. В 1957 году Аллахвердиев доказал следующую характеристику n- го единственного числа: ^[4]

\sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.

Эта формулировка позволила распространить понятие сингулярных значений на операторы в банаховом пространстве . Обратите внимание, что существует более общее понятие s-числа , включающее также гелфандовскую и колмогоровскую ширину.

См. также

Ссылки

^ Р. А. Хорн и Ч. Р. Джонсон . Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1991. Глава. 3
^ Х. Жан. Матричные неравенства. Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 2002. стр.28.
^ Р. Бхатия. Матричный анализ. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. Предложение III.5.1.
^ IC Gohberg и MG Kerin . Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1969. Перевод с русского А. Файнштейна. Переводы математических монографий, Vol. 18.

[1] Р. А. Хорн и Ч. Р. Джонсон . Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1991. Глава. 3

[2] Х. Жан. Матричные неравенства. Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 2002. стр.28.

[3] Р. Бхатия. Матричный анализ. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. Предложение III.5.1.

[4] IC Gohberg и MG Kerin . Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1969. Перевод с русского А. Файнштейна. Переводы математических монографий, Vol. 18.

[1]

[2]

[3]

[4]