Теорема Пуанкаре о разделении

В математике , теорема разделения Пуанкаре также известная как теорема переплетения Коши , ^{[ 1 ]} дает некоторые верхние и нижние границы собственных значений вещественной симметричной матрицы B'AB , которые можно рассматривать как ортогональную проекцию большей вещественной симметричной матрицы A на линейное подпространство, натянутое столбцами B . Теорема названа в честь Анри Пуанкаре .

Более конкретно, пусть A — размера n × n вещественная симметричная матрица , а B — размера n × r полуортогональная матрица такая, что B'B = I _r . Обозначим через $\lambda _{i}$ , я = 1, 2, ..., n и $\mu _{i}$ , i = 1, 2, ..., r собственные значения A и B'AB соответственно (в порядке убывания). У нас есть

\lambda _{i}\geq \mu _{i}\geq \lambda _{n-r+i},

Доказательство

Алгебраическое доказательство, основанное на вариационной интерпретации собственных значений , было опубликовано в книге Магнуса « Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике» . ^{[ 2 ]} С геометрической точки зрения B'AB можно рассматривать как ортогональную проекцию A , на линейное подпространство, натянутое на B поэтому приведенные выше результаты следуют немедленно. ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Min-max_theorem#Cauchy_interlacing_theorem
^ Магнус, Ян Р.; Нойдекер, Хайнц (1988). Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике . Джон Уайли и сыновья. п. 209. ИСБН 0-471-91516-5 .
^ Ричард Беллман (1 декабря 1997 г.). Введение в матричный анализ: второе издание . СИАМ. стр. 118–. ISBN 978-0-89871-399-2 .

[1] Min-max_theorem#Cauchy_interlacing_theorem

[2] Магнус, Ян Р.; Нойдекер, Хайнц (1988). Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике . Джон Уайли и сыновья. п. 209. ИСБН 0-471-91516-5 .

[Bellman1997-3] Ричард Беллман (1 декабря 1997 г.). Введение в матричный анализ: второе издание . СИАМ. стр. 118–. ISBN 978-0-89871-399-2 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]