Полуортогональная матрица

В линейной алгебре полуортогональная матрица — это неквадратная матрица с вещественными элементами , где: если количество столбцов превышает количество строк, то строки являются ортонормированными векторами ; но если количество строк превышает количество столбцов, то столбцы являются ортонормированными векторами.

Эквивалентно, неквадратная матрица A является полуортогональной, если либо

$A^{\operatorname {T} }A=I{\text{ or }}AA^{\operatorname {T} }=I.\,$

Далее рассмотрим случай, когда A — матрица размера m × n для m > n .Затем

$A^{\operatorname {T} }A=I_{n},{\text{ and}}$

$AA^{\operatorname {T} }={\text{the matrix of the orthogonal projection onto the column space of }}A.$

Тот факт, что ${\textstyle A^{\operatorname {T} }A=I_{n}}$ подразумевает изометрии свойство

$\|Ax\|_{2}=\|x\|_{2}\,$ для всех x в R ^н .

Например, ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ является полуортогональной матрицей.

Полуортогональная матрица A является полуунитарной (либо A ^† А = Я или АА ^† = I ) и либо обратимый влево, либо обратимый вправо (обратимый влево, если строк больше, чем столбцов, в противном случае обратимый вправо). В качестве линейного преобразования, применяемого слева, полуортогональная матрица с большим количеством строк, чем столбцов, сохраняет скалярное произведение векторов и, следовательно, действует как изометрия евклидова пространства , например вращение или отражение .