Изоморфизм Чоя–Ямиолковского

В квантовой теории информации и теории операторов изоморфизм Чой-Ямиолковского относится к соответствию между квантовыми каналами (описываемыми полностью положительными отображениями ) и квантовыми состояниями (описываемыми матрицами плотности ), это введено Ман-Дуэном Чой и Анджей Ямиолковский . также называют это дуальностью состояний канала . Некоторые авторы в области квантовой информации но математически это более общее соответствие между положительными операторами и полными положительными супероператорами.

Определение

Изучить квантовый канал ${\mathcal {E}}$ из системы $S$ к $S'$, которое представляет собой полностью положительное отображение операторных пространств, сохраняющее след ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})$ к ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})$, введем вспомогательную систему $A$ с тем же размером, что и система $S$. Рассмотрим максимально запутанное состояние :

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes |d-1\rangle )$

в пространстве ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S}$. С ${\mathcal {E}}$ полностью положительный, $(I_{A}\otimes {\mathcal {E}})(|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|)$ является неотрицательным оператором. Обратно, для любого неотрицательного оператора на ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S'}$, мы можем связать полностью положительную карту из ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})$к ${\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})$. Такое соответствие называется изоморфизмом Чоя-Ямиолковского.

Состав государств Цой

Изоморфизм Чоя-Ямиолковского — это математическая концепция, которая связывает квантовые вентили или операции с квантовыми состояниями, называемыми состояниями Чоя. Это позволяет нам представлять свойства и поведение ворот как состояние Чоя.

В обобщенной схеме телепортации ворот мы можем телепортировать квантовые ворота из одного места в другое, используя запутанные состояния и локальные операции. Вот как это работает:

1. Отправитель хочет применить определенный вентиль к входному квантовому состоянию.
2. Вместо того, чтобы напрямую применять шлюз, отправитель создает запутанное состояние с получателем.
3. Отправитель выполняет измерения своего входного состояния и своей части запутанного состояния.
4. Результаты измерений передаются приемнику посредством классической связи.
5. По результатам измерений приемник выполняет локальные операции над своей долей запутанного состояния.
6. Эти локальные операции восстанавливают эффект вентиля на стороне получателя.

Объединив возможности запутанности, измерений и локальных операций, эффект ворот эффективно переносится на местоположение приемника.

Этот процесс позволяет телепортировать информацию о воротах или применять сами ворота, что делает его интересным методом распределенного управления квантовыми воротами.

Моделирование состава ворот с использованием обобщенной телепортации ворот

Чистое состояние Чой

Давайте сначала рассмотрим унитарный случай, когда состояние Чой является чистым . Предположим, у нас есть два состояния Чой, представленные как $\vert \psi _{U}\rangle _{i}$, и $\vert \psi _{V}\rangle _{i}$ и соответствующие системы обозначены как A, B, C и D. Чтобы смоделировать состав вентилей $UV$ или $VU$, мы стремимся получить состояние $\vert \psi _{UV}\rangle _{i}$ или $\vert \psi _{VU}\rangle _{i}$.

Стандартная схема Белла

Стандартный подход – использовать схему Белла, где вентиль $V$ телепортируется из точки A в точку C с использованием измерения Белла в точках B и C, что приводит к состоянию $\vert \psi _{VU}\rangle _{i}$ на площадках А и D. Чтобы получить $\vert \psi _{UV}\rangle _{i}$, мы бы применили схему Белла к сайтам A и D. Однако это может привести к появлению побочных операторов Паули, таких как $UPV$, между двумя унитарными вентилями, которые, как правило, не поддаются корректировке и могут повлиять на желаемую композицию вентилей.

Косвенное измерение Белла

косвенное измерение Белла Чтобы решить эту проблему, вместо стандартной схемы Белла используется . Это измерение включает в себя дополнительный вспомогательный кубит . Косвенное измерение Белла выполняется путем применения вентиля. $U_{T}$, который представляет собой вентиль Тоффоли с кубитом с одним управлением, замененным кубитом с нулевым управлением, и вспомогательной функцией в качестве цели. Это измерение выражается как $G(\sigma )={\text{tr}}[U_{T}\circ U_{B}^{\dagger }(\sigma \otimes \vert 1\rangle \langle 1\vert )]$, где $U_{B}^{\dagger }$ представляет собой обратную операцию подготовки состояний Белла .

Результаты и результирующие состояния

Результат непрямого измерения Белла соответствует либо синглетному , либо триплетному состоянию . Если результатом является синглет на сайтах B и C, ворота U на сайте C телепортируются в сайт A, что приводит к состоянию $\vert \psi _{VU}\rangle _{i}$. С другой стороны, если результатом является триплет, который имеет полную симметрию соответствующей унитарной группы, ворота V модифицируются путем применения вращения T к состоянию триплета, что эквивалентно действию $V^{\dagger }$ на сайте C. Это приводит к состоянию $\vert \psi _{VtU}\rangle _{i}$, где t представляет собой сопряженную операцию.

Достижение желаемых состояний

Применяя обобщенную схему телепортации врат, состояния $\vert \psi _{VU}\rangle _{i}$ или $\vert \psi _{VtU}\rangle _{i}$ может быть реализовано объявленным образом, в зависимости от результата измерения вспомогательного кубита. Объединив эту схему со схемой POVM (положительная операторно-значная мера) на сайте D, ворота $VU$ или $VtU$ можно моделировать с выводом на объекте А для окончательного считывания.

Как избежать проблемы транспозиции

Хотя обобщенная схема телепортации врат позволяет составлять состояния Чоя и моделировать желаемые врата, существует очевидная проблема транспозиции. Однако этой проблемы можно избежать, если представить любой унитарный оператор как произведение двух симметричных унитарных операторов. Следовательно, для любого унитарного U существует только два состояния программы Чоя: $\vert \psi _{UL}\rangle _{i}$ и $\vert \psi _{UR}\rangle _{i}$, необходимы для детерминированной телепортации U.

Смешанное состояние Чой

В случае каналов, чьи состояния Чоя являются смешанными состояниями , условие симметрии не обобщает напрямую, как это происходит для унитарных операторов. Однако для преодоления этого препятствия можно использовать схему, основанную на расширении прямой суммы.

Для канала Е с набором операторов Крауса ${K_{i}}$, каждый оператор Крауса можно расширить до унитарного оператора $U_{K}i$. Расширение определяется выражением $U_{K}i=[[K_{i},q],[1-K_{i}^{\dagger }K_{i},-K_{i}]]$, где $U_{K}i$ действует в пространстве размерности 2d.

Схема на основе расширения

В этой схеме каждый оператор Крауса расширяется до более крупного унитарного оператора, что позволяет использовать методы, основанные на симметрии. Рассматривая более крупные унитарные операторы, можно обойти проблему работы со смешанными состояниями Чоя, и вычисления могут продолжаться с использованием унитарных преобразований.

Унитарное расширение

Канал $E$ можно смоделировать с использованием случайно-унитарного канала, где управляемо-унитарный вентиль U̘ действует на совместную систему входного состояния ρ и вспомогательного кубита. Вспомогательный кубит, первоначально подготовленный в состоянии |e⟩, позже отслеживается. Состояние σ представляет собой комбинацию ρ и 0, где 0 представляет состояние вспомогательного устройства в расширенном подпространстве. Действие E(ρ) получается ограничением эволюции системным подпространством.

Моделирование канала

В этой схеме моделирование канала E включает применение управляемо-унитарного вентиля U̘ к входному состоянию ρ и вспомогательному кубиту, подготовленному в состоянии |e⟩. Ворота U̘ объединяют операторы Крауса $U_{K}i$ со вспомогательным кубитом. После отслеживания вспомогательного кубита результирующее состояние σ представляет собой комбинацию ρ и 0, где 0 представляет состояние вспомогательного кубита в расширенном подпространстве. Наконец, действие канала E на входное состояние ρ получается путем рассмотрения эволюции, ограниченной подпространством системы.

Телепортация управляемо-унитарных ворот

По сравнению с унитарным случаем, здесь задача состоит в том, чтобы телепортировать управляемо-унитарные ворота вместо унитарных. Этого можно добиться, расширив схему, использованную в унитарном случае. Для каждого $U_{K}i$ в U̘ существует ворота $T_{i}$ который может телепортировать его. $T_{i}$ Ворота контролируются тем же помощником, который используется для $U_{K}i$. При получении синглета канал E телепортируется. Чтобы избежать проблемы транспозиции, каждый $U_{K}i$ разлагается как произведение двух симметричных унитарных матриц, $U_{K}i$ = $U_{L}KiU_{R}Ki$. Используя тот же провод управления для $U_{L}Ki$ и $U_{R}Ki$ и используя два программных состояния, ворота U̘ могут быть телепортированы, тем самым телепортируя канал E.

POVM и дизайн канала

Чтобы выполнить действие канала на состояние, необходимо POVM (положительная операторно-значная мера) и канал, основанный на состоянии. $\rho \oplus 0$ необходимо спроектировать. Канал $R_{0}$, расширение канала R, содержит три оператора Крауса : $K_{0}=[p\rho t,0],K_{1}=[p1-\rho t,0]$ и $K_{2}=[0,1]$. Для этого канала требуется вспомогательная кутрита, и когда результат равен 2, что указывает на возникновение $E^{\dagger }(1)$, который равен 1 из-за условия сохранения трассировки, симуляцию необходимо перезапустить.

Особые случаи

Для особых типов каналов схема может быть существенно упрощена. Случайные унитарные каналы, которые представляют собой широкий класс каналов, могут быть реализованы с использованием упомянутой ранее управляемой унитарной схемы без необходимости расширения прямой суммы. Унитальные каналы, сохраняющие идентичность, представляют собой случайные унитарные каналы для кубитов и их можно легко смоделировать. Другой тип канала — это канал, разрушающий запутанность, характеризующийся двудольными разделимыми состояниями Чоя. Эти каналы и состояния программы тривиальны, поскольку нет перепутывания , и их можно смоделировать с помощью схемы подготовки измерений.

Подготовка состояний программы

Сейчас изучаем подготовку состояний программы, если они не даются бесплатно.

Состояния Чой и подготовка программных состояний

Состояние C Чоя нелегко подготовить с самого начала, а именно, это может потребовать операции E над состоянием Белла. $\vert \omega _{i}\rangle$, а реализация самого E (например, с помощью расширенного унитарного) является нетривиальной задачей. Из расширения Стайнспринга мы знаем, что для этого требуется форма операторов Крауса, которую в общем случае нелегко найти с учетом состояния Чоя.

Выпуклость и крайние каналы

Набор каналов qudit образует выпуклое тело. Это означает, что выпуклая сумма каналов все равно приводит к каналу, и существуют крайние каналы, не являющиеся выпуклыми суммами других. Из Чоя канал является крайним, если существует представление Крауса ${K_{i}}$ такой, что набор ${K_{i}^{\dagger }K_{j}}$ линейно независима. Для кудита это означает, что ранг крайнего канала не превышает $d$. Каналы ранга $r\leq d$ называются обобщенно-экстремальными каналами, которые здесь называются «ген-экстремальными каналами».

Разложение выпуклой суммы и случайные биты

Понятно, что ген-крайний, но не крайний канал представляет собой выпуклую сумму крайних каналов нижних рангов. Было высказано предположение и численно подтверждено, что произвольный канал можно записать как выпуклую сумму не более $d$ каналы Gen Extreme $E=\sum _{i=1}^{d}p_{i}E_{{\text{g}}_{i}}$. Для этого требуется случайное изменение. В худшем случае верхняя оценка такой выпуклой суммы равна $d{\frac {4-d}{2}}$ из теоремы Каратеодори о выпуклых множествах, которая просто требует большего количества случайных чисел.

Снижение сложности квантовой схемы

Моделирование композиции ген-экстремальных каналов

Имитировать композицию $Q_{i}E_{i}$, с каждым $E_{i}$ рангом больше, чем $d$, следовательно, допуская разложение по выпуклой сумме, необходимо выбрать состав экстремальных каналов гена. Мы обнаружили, что существует краткая форма состояний Чоя для ген-экстремальных каналов, которую можно использовать для непосредственного нахождения схемы, а также операторов Крауса.

Квантовая схемная реализация каналов и состояний Чоя для ген-крайних каналов

Государство Чой $C$ для канала Gen-Extreme $E$ имеет ранг $r\leq d$ и ${\text{tr}}AC=1,{\text{tr}}BC=E(1)$.

Оказывается $C=\sum {ij}\vert ii\rangle \langle jj\vert \otimes C{ij}$ для $C_{ij}:=E^{\dagger }(\vert ii\rangle \langle jj\vert )=\sum _{i}C_{i}U_{i}^{\dagger }U_{j}C_{j}$ для $C_{i}\equiv C_{ii}$, и $U_{i},U_{j}\in SU(d)$ .

Обратите внимание, что $E^{\dagger }(\rho )=\sum _{ij}\rho _{ij}C_{ij}=V^{\dagger }(\rho \otimes 1)V$, для изометрии $V=\sum _{i}\vert ii\rangle U_{i}{\sqrt {C_{i}}}$.

Здесь $1$ является вспомогательным государством. Теперь мы покажем это $V$ может быть использован для поиска квантовой схемы для реализации $E$. Данный $V$, мы можем найти унитарное расширение $U$ такой, что $U\vert 0\rangle =V$, и он относится к каналу соотношением $E^{\dagger }(\rho )=\langle 0\vert U^{\dagger }(\rho \otimes 1)U\vert 0\rangle$, а окончательная проекция $\vert 0\rangle \langle 0\vert$ есть в системе. Определять $W={\text{swap}}\cdot U^{\dagger }$ для шлюза обмена между системой и вспомогательной системой, которые имеют одно и то же измерение.

Затем мы находим $E(\rho )={\text{tr}}_{W}(\rho \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert )$, что означает $W$ это схема для реализации канала $E$ как в стандартной схеме дилатации. Из него можно получить операторы Крауса как $K_{i}=\langle i\vert W\vert 0\rangle$.

Снижение сложности схемы

По сравнению со стандартным методом расширения (тензорное произведение) для моделирования общего канала, для которого требуются две вспомогательные кудиты, описанный выше метод требует более низкой стоимости схемы, поскольку для него требуется только одна вспомогательная вспомогательная кудит вместо двух. Хотя разложение выпуклой суммы, которое является своего рода обобщенным разложением по собственным значениям , поскольку экстремальное состояние Чоя может быть отображено в чистое состояние, трудно решить для каналов большой размерности, оно должно быть сравнимо с разложением по собственным значениям состояния Чоя для нахождения множества операторов Крауса. Оба разложения разрешимы для меньших систем.

Важно отметить, что это обсуждение сосредоточено на основных компонентах модели и не касается отказоустойчивости, поскольку оно выходит за рамки данной модели. Мы предполагаем отказоустойчивые кубиты, вентили и измерения, чего можно достичь с помощью квантовых кодов, исправляющих ошибки . Кроме того, мы выделяем два интригующих вопроса, которые устанавливают связь со стандартными рамками и результатами.

Связи со стандартными рамками и результатами

Телепортация универсального набора врат

Вычисление универсально, если группа $SU(2^{n})$ может быть реализовано для любого целого числа $n$. Общий подход к достижению универсальности заключается в компиляции элементов на основе универсальных наборов элементов. Наш метод можно использовать для телепортации унитарных универсальных ворот. Рассмотрим популярные ворота Адамара. $H$, фазовый вентиль $S$, так называемый $Z^{1/4}$ ворота $T$, CNOT , CZ и ворота Тоффоли . Сразу бросается в глаза, что все эти элементы представляют собой симметричные матрицы . Выше мы видим, что симметричные унитарные операторы, для которых $U=U^{\dagger }$, можно телепортировать детерминированно, а побочным продуктом являются операторы Паули . Обратите внимание, что произведение симметричных матриц, вообще говоря, не является симметричным.

Легко проверить, что аффинные формы $H$, $S$, CNOT и CZ являются (обобщенными) перестановками, поскольку они являются воротами Клиффорда , которые сохраняют группу Паули . Обобщенная перестановка — это перестановка, которая также допускает ввод модуля 1 помимо самого 1. $T$ ворота и ворота Тоффоли не являются воротами Клиффорда, а их аффинные формы не являются перестановками. Вместо этого их аффинные формы содержат в качестве подматрицы вентиль типа Адамара, что означает, что в картине Гейзенберга они способны генерировать суперпозиции операторов Паули . Этот факт также обобщается на случай qudit с заменой Адамара операторами преобразования Фурье . Это служит интригующим фактом относительно происхождения вычислительной мощности квантовых вычислений .

Квантовые вычисления с хранимой программой

В этом подходе вводится модификация, позволяющая моделировать операцию $U\vert d_{i}\rangle$ используя обобщенную схему телепортации ворот. Предлагаемый метод позволяет провести унитарное моделирование $U\vert d_{i}\rangle$ с помощью процессора $G$ это зависит от состояния входной программы.

Для симметричных матриц $U$, состояние программы $\vert \psi _{U}\rangle _{i}$ достаточно для достижения желаемых результатов. Однако в общих случаях, когда $U=U_{L}U_{R}$, оба состояния программы $\vert \psi _{UL}\rangle _{i}$ и $\vert \psi _{UR}\rangle _{i}$ необходимы для детерминированной телепортации и композиции.