Управляемые ворота НЕ

Классическим аналогом вентиля CNOT является обратимый вентиль XOR .

Как можно использовать вентиль CNOT (с вентилями Адамара ) в вычислениях.

В информатике управляемый вентиль НЕ (также C-NOT или CNOT ), управляемого X вентиль , вентиль управляемого переворота битов , вентиль Фейнмана или управляемый вентиль Паули-X — это квантовый логический вентиль , который является важным компонентом в конструкции на основе вентилей квантовый компьютер . Его можно использовать для запутывания и распутывания состояний Белла . Любую квантовую схему можно смоделировать с произвольной степенью точности, используя комбинацию вентилей CNOT и вращений одного кубита . Ворота иногда называют в честь Ричарда Фейнмана , который разработал первые обозначения диаграмм квантовых вентилей в 1986 году.

CNOT можно выразить в базисе Паули как:

${\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.$

Будучи одновременно унитарным и эрмитовым , CNOT обладает свойством $e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U$ и $U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-U)}$, и является инволютивным .

Вентиль CNOT можно дополнительно разложить на продукты вентилей оператора вращения и ровно одного вентиля взаимодействия двух кубитов , например

${\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).$

В общем, любой унитарный вентиль с одним кубитом можно выразить как $U=e^{iH}$, где H — эрмитова матрица , и тогда управляемый U — $CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}$.

Вентиль CNOT также используется в классических обратимых вычислениях .

Операция

Вентиль CNOT работает с квантовым регистром, состоящим из двух кубитов. Вентиль CNOT переворачивает второй кубит (целевой кубит) тогда и только тогда, когда первый кубит (управляющий кубит) $|1\rangle$.

До		После
Контроль	Цель	Контроль	Цель
$|0\rangle$	$|0\rangle$	$|0\rangle$	$|0\rangle$
$|0\rangle$	$|1\rangle$	$|0\rangle$	$|1\rangle$
$|1\rangle$	$|0\rangle$	$|1\rangle$	$|1\rangle$
$|1\rangle$	$|1\rangle$	$|1\rangle$	$|0\rangle$

Если $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ являются единственными разрешенными входными значениями для обоих кубитов, то выход TARGET вентиля CNOT соответствует результату классического вентиля XOR . Исправление CONTROL как $|1\rangle$выход TARGET вентиля CNOT дает результат классического вентиля NOT .

В более общем смысле, входные данные могут представлять собой линейную суперпозицию $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$. Ворота CNOT преобразуют квантовое состояние:

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$

в:

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle$

Действие вентиля CNOT можно представить матрицей ( форма матрицы перестановок ):

$\operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$

Первая экспериментальная реализация затвора CNOT была осуществлена ​​в 1995 году. Здесь одиночный ион бериллия в ловушке использовался . Два кубита были закодированы в оптическое состояние и в колебательное состояние иона внутри ловушки. На момент эксперимента надежность работы CNOT составила порядка 90%.

В дополнение к обычному управляемому вентилю НЕ можно построить управляемый функцией вентиль НЕ, который принимает на вход произвольное число n +1 кубитов, где n +1 больше или равно 2 ( квантовый регистр ). Этот вентиль переворачивает последний кубит регистра тогда и только тогда, когда встроенная функция с первыми n кубитами на входе возвращает 1.Вентиль НЕ с функциональным управлением является важным элементом алгоритма Дойча-Йожы .

Поведение в преобразованном Адамаре базисе

Если рассматривать только в вычислительной основе $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$поведение C _NOT похоже на эквивалентный классический вентиль. Однако простота обозначения одного кубита как управляющего , а другого как целевого не отражает сложности того, что происходит с большинством входных значений обоих кубитов.

Вентиль CNOT в преобразованной базе Адамара.

Понимание можно получить, выражая вентиль CNOT относительно преобразованного Адамара базиса. $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$. Преобразованный базис Адамара однокубитного регистра определяется выражением

$|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),$

и соответствующий базис двухкубитного регистра равен

$|++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$,

и т. д. Если рассматривать CNOT в этом базисе, состояние второго кубита остается неизменным, а состояние первого кубита инвертируется в соответствии с состоянием второго бита. (Подробнее см. ниже.) «Таким образом, в этом базисе смысл того, какой бит является управляющим , а какой целевой бит изменился. Но мы вообще не изменили преобразование, а только то, как мы об этом думаем».

«Вычислительная» основа $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ является собственным базисом спина в направлении Z, тогда как базис Адамара $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ является собственным базисом для вращения в направлении X. Переключение X и Z и кубитов 1 и 2 восстанавливает исходное преобразование». Это выражает фундаментальную симметрию вентиля CNOT.

Наблюдение того, что оба кубита (в равной степени) затрагиваются взаимодействием C _NOT , имеет важное значение при рассмотрении потока информации в запутанных квантовых системах.

Детали расчета

Теперь перейдем к подробному описанию вычислений. При рассмотрении каждого из состояний базиса Адамара результаты в правом столбце показывают, что первый кубит переключается между $|+\rangle$ и $|-\rangle$ когда второй кубит $|-\rangle$:

Начальное состояние в базисе Адамара	Эквивалентное состояние в вычислительной основе	Применить оператор	Состояние в вычислительной основе после C NOT	Эквивалентное состояние в базисе Адамара
$|++\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )$	С НЕ	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|11\rangle +|10\rangle )$	$|++\rangle$
$|+-\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )$	С НЕ	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|11\rangle -|10\rangle )$	$|--\rangle$
$|-+\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|10\rangle -|11\rangle )$	С НЕ	${\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle -|11\rangle -|10\rangle )$	$|-+\rangle$
$|--\rangle$	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle )$	С НЕ	${\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle -|11\rangle +|10\rangle )$	$|+-\rangle$

Квантовая схема, которая выполняет преобразование Адамара, за которым следует C _NOT , а затем еще одно преобразование Адамара, можно описать как выполнение вентиля CNOT в базисе Адамара (т. е. смену базиса ):

(ЧАС ₁ ⊗ ЧАС ₁ ) ⁻¹ . С _НЕТ . (ЧАС ₁ ⊗ ЧАС ₁ )

Однокубитное преобразование Адамара H ₁ является эрмитовым и, следовательно, самообратным. Тензорное произведение двух преобразований Адамара, действующих (независимо) на два кубита, обозначается H ₂ . Поэтому мы можем записать матрицы как:

Н ₂ . С _НЕТ . Ч ₂

При умножении это дает матрицу, которая меняет местами $|01\rangle$ и $|11\rangle$ условия истекли, оставив при этом $|00\rangle$ и $|10\rangle$ термины одни. Это эквивалентно вентилю CNOT, где кубит 2 является управляющим кубитом, а кубит 1 — целевым кубитом:

$${\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$$

Построение состояния колокола

Дополнительная информация: штат Белл.

Обычное применение вентиля C _NOT — максимально запутать два кубита в $|\Phi ^{+}\rangle$ Штат Белл ; это является частью алгоритмов сверхплотного кодирования , квантовой телепортации и запутанной квантовой криптографии .

Чтобы построить $|\Phi ^{+}\rangle$, входы A (управление) и B (цель) вентиля C _NOT :

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}$ и $|0\rangle _{B}$

После применения C _NOT результирующее состояние Белла ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ обладает тем свойством, что отдельные кубиты могут быть измерены с использованием любого базиса, и вероятность разрешения каждого состояния всегда составляет 50/50. По сути, отдельные кубиты находятся в неопределенном состоянии. Корреляция между двумя кубитами — это полное описание состояния двух кубитов; если мы оба выберем одну и ту же основу для измерения обоих кубитов и сравнения результатов, измерения будут идеально коррелировать.

Если посмотреть на вычислительную основу, то окажется, что кубит A влияет на кубит B. Изменение нашей точки зрения на базис Адамара показывает, что кубит B симметрично влияет на кубит A.

Состояние входа можно альтернативно рассматривать как:

$|+\rangle _{A}$ и ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}$

С точки зрения Адамара, управляющий и целевой кубиты концептуально поменялись местами, и кубит A инвертируется, когда кубит B $|-\rangle _{B}$. Состояние выхода после применения вентиля C _NOT : ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )}$ что можно показать следующим образом:

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})$

$={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))$

$={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$.

Ворота C-ROT

Ворота C-ROT (управляемое вращение Раби ) эквивалентны воротам C-NOT, за исключением $\pi /2$ вращение ядерного спина вокруг оси z.

Реализации

Квантовые компьютеры с захваченными ионами :

• Вентиль Сирака – Золлера «Управляемое НЕ»
• Ворота Мёльмер-Сёренсен

Регулирование

В мае 2024 года Канада ввела экспортные ограничения на продажу квантовых компьютеров, содержащих более 34 кубитов и уровень ошибок ниже определенного порога ошибок CNOT , а также ограничения для квантовых компьютеров с большим количеством кубитов и более высоким уровнем ошибок. Такие же ограничения быстро появились в Великобритании, Франции, Испании и Нидерландах. Они предложили мало объяснений этому действию, но все они являются государствами Вассенаарских соглашений , и ограничения, похоже, связаны с проблемами национальной безопасности, потенциально включая квантовую криптографию или защиту от конкуренции .

См. также

• Ворота Тоффоли (ворота контролируемые-управляемые-НЕ)

Внешние ссылки

• C _not Майкл Уэстморленд: «Изоляция и поток информации в квантовой динамике» - дискуссия вокруг вентиля