Квантовая операция

В квантовой механике квантовая операция (также известная как квантовая динамическая карта или квантовый процесс ) — это математический формализм, используемый для описания широкого класса преобразований, которым может подвергаться квантовомеханическая система. Впервые это обсуждалось как общее стохастическое преобразование матрицы плотности Джорджем Сударшаном . Формализм квантовых операций описывает не только унитарную эволюцию во времени или преобразования симметрии изолированных систем, но также эффекты измерения и переходных взаимодействий с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом .

Обратите внимание, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» для обозначения полностью положительных (CP) и невозрастающих следов отображений в пространстве матриц плотности, а термин « квантовый канал » — для обозначения подмножества тех, которые являются строго следоохраняющий.

Квантовые операции формулируются в терминах описания оператором плотности квантовомеханической системы. Строго говоря, квантовая операция — это линейное , полностью положительное отображение множества операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации часто накладывают дополнительное ограничение, согласно которому квантовая операция ${\mathcal {E}}$ должно быть физическим , то есть удовлетворить $0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1$ для любого государства $\rho$.

Некоторые квантовые процессы невозможно уловить в рамках формализма квантовых операций; в принципе, матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную эволюцию во времени. Квантовые операции обобщаются квантовыми инструментами , которые улавливают классическую информацию, полученную в ходе измерений, в дополнение к квантовой информации .

Фон

Картина Шредингера дает удовлетворительное объяснение времени эволюции состояния квантовой механической системы во при определенных предположениях. Эти предположения включают в себя

• Система нерелятивистская.
• Система изолирована.

Картина Шредингера для эволюции во времени имеет несколько математически эквивалентных формулировок. Одна из таких формулировок выражает скорость изменения состояния во времени через уравнение Шрёдингера . Более подходящая формулировка для этого изложения выражается следующим образом:

Влияние прохождения t единиц времени на состояние изолированной системы S задается унитарным оператором U _t на гильбертовом пространстве H, ассоциированном с S .

система находится в состоянии, соответствующем v ∈ H Это означает, что если в момент времени s единиц времени состояние , то через t будет U _t v . Для релятивистских систем не существует универсального параметра времени, но мы все же можем сформулировать влияние некоторых обратимых преобразований на квантовомеханическую систему. Например, преобразования состояния, связывающие наблюдателей в разных системах отсчета, задаются унитарными преобразованиями. В любом случае, эти преобразования состояний переводят чистые состояния в чистые состояния; это часто формулируют, говоря, что в этой идеализированной структуре не существует декогеренции .

Для взаимодействующих (или открытых) систем, например тех, которые подвергаются измерениям, ситуация совершенно иная. Начнем с того, что изменения состояний, испытываемые такими системами, не могут быть объяснены исключительно преобразованием множества чистых состояний (то есть тех, которые связаны с векторами нормы 1 в H ). После такого взаимодействия система в чистом состоянии φ может уже не находиться в чистом состоянии φ. В общем, это будет статистическая смесь последовательности чистых состояний φ ₁ , ..., φ _k с соответствующими вероятностями λ ₁ , ..., λ _k . Переход из чистого состояния в смешанное называется декогеренцией.

Для рассмотрения случая взаимодействующей системы были созданы многочисленные математические формализмы. Формализм квантовых операций возник примерно в 1983 году из работы Карла Крауса , который опирался на более ранние математические работы Ман-Дуэна Чоя . Его преимущество состоит в том, что он выражает такие операции, как измерение, как отображение состояний плотности в состояния плотности. В частности, эффект квантовых операций остается в пределах набора состояний плотности.

Определение

Напомним, что оператор плотности — это неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве с единичным следом.

Математически квантовая операция — это линейное отображение Φ между пространствами ядерных операторов в гильбертовых пространствах H и G такое, что

• Если S — оператор плотности, Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ полностью положителен , то есть для любого натурального числа n и любой квадратной матрицы размера n, элементы которой являются операторами ядерного класса. $${\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}$$ и что неотрицательно, то $${\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}$$ также неотрицательен. Другими словами, Φ вполне положителен, если $\Phi \otimes I_{n}$ положительно для всех n , где $I_{n}$ обозначает тождественное отображение на C* -алгебре $n\times n$ матрицы.

Заметим, что по первому условию квантовые операции могут не сохранять свойство нормализации статистических ансамблей. В вероятностных терминах квантовые операции могут быть субмарковскими . Чтобы квантовая операция сохраняла набор матриц плотности, нам необходимо дополнительное предположение о том, что она сохраняет следы.

В контексте квантовой информации определенные здесь квантовые операции, т.е. полностью положительные карты, не увеличивающие след, также называются квантовыми каналами или стохастическими картами . Формулировка здесь ограничена каналами между квантовыми состояниями; однако его можно расширить, включив в него и классические состояния, что позволяет обрабатывать квантовую и классическую информацию одновременно.

Операторы Крауса

Крауса Теорема ) (названная в честь Карла Крауса характеризует полностью положительные отображения , которые моделируют квантовые операции между квантовыми состояниями. Неформально теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции $\Phi$ о состоянии $\rho$ всегда можно записать как ${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$, для некоторого набора операторов $\{B_{k}\}_{k}$ удовлетворяющий ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$, где $\mathbf {1}$ является идентификационным оператором.

Формулировка теоремы

Теорема . Позволять ${\mathcal {H}}$ и ${\mathcal {G}}$ будут гильбертовыми пространствами размерности $n$ и $m$ соответственно, и $\Phi$ быть квантовой операцией между ${\mathcal {H}}$ и ${\mathcal {G}}$. Тогда есть матрицы $$\{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}$$ картографирование ${\mathcal {H}}$ к ${\mathcal {G}}$ такое, что для любого состояния $\rho$, $$\Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.$$ И наоборот, любая карта $\Phi$ этой формы является квантовой операцией при условии ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$.

Матрицы $\{B_{i}\}$ называются операторами Крауса . (Иногда их называют операторами шума или операторами ошибок , особенно в контексте квантовой обработки информации , где квантовая операция представляет собой шумные, вызывающие ошибки эффекты окружающей среды.) Теорема факторизации Стайнспринга расширяет приведенный выше результат до произвольного сепарабельного Гильберта. пространства H и G. ​Здесь S заменяется оператором трассировочного класса и $\{B_{i}\}$ последовательностью ограниченных операторов.

Унитарная эквивалентность

Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией $\Phi$ в общем. Например, разные факторизации Холецкого матрицы Чоя могут давать разные наборы операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием:

Теорема . Позволять $\Phi$ быть квантовой операцией (не обязательно сохраняющей след) в конечномерном гильбертовом пространстве H с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса $\{B_{i}\}_{i\leq N}$ и $\{C_{i}\}_{i\leq N}$. Тогда существует унитарная операторная матрица $(u_{ij})_{ij}$ такой, что $$C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.$$

В бесконечномерном случае это обобщается на связь между двумя минимальными представлениями Стайнспринга .

Следствием теоремы Стайнспринга является то, что все квантовые операции могут быть реализованы путем унитарной эволюции после присоединения подходящей вспомогательной системы к исходной системе.

Примечания

Эти результаты могут быть также получены из теоремы Чоя о вполне положительных отображениях , характеризующей вполне положительное конечномерное отображение единственным эрмитово-положительным оператором плотности ( матрицей Чоя ) относительно следа. Среди всех возможных представлений Крауса данного канала существует каноническая форма, отличающаяся соотношением ортогональности операторов Крауса: $\operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}$. Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса можно получить путем диагонализации соответствующей матрицы Чоя и преобразования ее собственных векторов в квадратные матрицы.

Существует также бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя, известное как «теорема Радона-Никодима Белявкина для вполне положительных отображений», которое определяет оператор плотности как «производную Радона-Никодима» квантового канала относительно доминирующего полностью положительная карта (опорный канал). Он используется для определения относительной точности и взаимной информации для квантовых каналов.

Динамика

Для нерелятивистской квантово-механической системы ее эволюция во времени описывается однопараметрической группой автоморфизмов {α _t } _t группы Q . Это можно сузить до унитарных преобразований: при определенных слабых технических условиях (см. статью о квантовой логике и ссылку Варадараджана) существует сильно непрерывная однопараметрическая группа { U _t } _t унитарных преобразований основного гильбертова пространства такая, что элементы E из Q развиваются по формуле

$\alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.$

Временную эволюцию системы можно также рассматривать двойственно, как временную эволюцию статистического пространства состояний. Эволюция статистического состояния задается семейством операторов {β _t } _t такой, что $$\operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).$$

, что для каждого значения t S Очевидно → U * _t S U _t является квантовой операцией. Более того, эта операция обратима .

Это можно легко обобщить: если G — связная группа Ли симметрий Q , удовлетворяющая тем же слабым условиям непрерывности, то действие любого элемента g из G задается унитарным оператором U : $$g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.$$ отображение g → Ug _Это известно как представление группы G. проективное Отображения S → U * _g S U _g являются обратимыми квантовыми операциями.

Квантовые измерения

Квантовые операции можно использовать для описания процесса квантового измерения . Представленное ниже описание описывает измерение в терминах самосопряженных проекций на сепарабельное комплексное гильбертово пространство H , то есть в терминах PVM ( Проекционнозначной меры ). В общем случае измерения можно проводить с использованием неортогональных операторов, используя понятия POVM . Неортогональный случай интересен тем, что может повысить общую эффективность квантового прибора .

Двоичные измерения

Квантовые системы можно измерить, применив серию вопросов типа «да-нет» . Можно понимать, что этот набор вопросов выбран из ортодополненной решетки Q предложений квантовой логики . Решетка эквивалентна пространству самосопряженных проекторов на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H .

Рассмотрим систему в некотором состоянии S с целью определить, обладает ли она некоторым свойством E , где E — элемент решетки квантовых вопросов «да-нет» . Измерение в этом контексте означает подчинение системы некоторой процедуре, чтобы определить, удовлетворяет ли государство свойство. Ссылке на состояние системы в этом обсуждении можно придать операциональное значение , рассматривая статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает определенное значение 0 или 1; более того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния задается квантовой операцией $$S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).$$ Здесь E можно понимать как оператор проектирования .

Общий случай

В общем случае измерения проводятся на наблюдаемых, принимающих более двух значений.

Когда наблюдаемая A имеет чисто точечный спектр , ее можно записать в терминах ортонормированного базиса собственных векторов. То есть A имеет спектральное разложение $$A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )$$ где E _A (λ) — семейство попарно ортогональных проекторов , каждый на соответствующее собственное пространство A, связанное с измерительным значением λ.

Измерение наблюдаемой A дает собственное значение A . Повторные измерения, выполненные на статистическом ансамбле S систем, приводят к распределению вероятностей по спектру собственных значений A . Это дискретное распределение вероятностей и определяется выражением $$\operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).$$

Измерение статистического состояния S дается картой $$S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .$$ То есть сразу после измерения статистическое состояние представляет собой классическое распределение по собственным пространствам, связанным с возможными значениями λ наблюдаемой: S — смешанное состояние .

Не полностью положительные карты

Шаджи и Сударшан в статье Physical Review Letters утверждали, что при внимательном рассмотрении полная положительность не является требованием для хорошего представления открытой квантовой эволюции. Их расчеты показывают, что если начать с некоторых фиксированных начальных корреляций между наблюдаемой системой и окружающей средой, карта, ограниченная самой системой, не обязательно будет даже положительной. Однако оно не является положительным только для тех состояний, которые не удовлетворяют предположению о виде исходных корреляций. Таким образом, они показывают, что для полного понимания квантовой эволюции следует учитывать и не полностью положительные отображения.

См. также

• Квантовая динамическая полугруппа
• Супероператор

Ссылки

• Нильсен, Майкл А.; Чуанг, Исаак Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107002173 . OCLC   665137861 .
• Чой, Ман-Дуэн (1975). «Вполне положительные линейные отображения на комплексных матрицах» . Линейная алгебра и ее приложения . 10 (3). Эльзевир Б.В.: 285–290. дои : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN   0024-3795 .
• Сударшан, ЭКГ; Мэтьюз, премьер-министр; Рау, Джаясита (1 февраля 1961 г.). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Физический обзор . 121 (3). Американское физическое общество (APS): 920–924. Бибкод : 1961PhRv..121..920S . дои : 10.1103/physrev.121.920 . ISSN   0031-899X .
• Белавкин, вице-президент; Сташевский, П. (1986). «Теорема Радона-Никодима для вполне положительных отображений». Доклады по математической физике . 24 (1). Эльзевир Б.В.: 49–55. Бибкод : 1986РпМП...24...49Б . дои : 10.1016/0034-4877(86)90039-х . ISSN   0034-4877 .
• К. Краус, Состояния, эффекты и операции: фундаментальные понятия квантовой теории , Springer Verlag, 1983 г.
• В. Ф. Стайнспринг, Положительные функции в C*-алгебрах , Труды Американского математического общества, 211–216, 1955 г.
• В. Варадараджан, Геометрия квантовой механики, том 1 и 2, Springer-Verlag, 1985 г.