Столько же, сколько инструмент

В квантовой физике квантовый инструмент — это математическое описание квантового измерения, фиксирующее как классические , так и квантовые выходные данные. ^[1] Его можно эквивалентно понимать как квантовый канал , который принимает на вход квантовую систему и имеет на выходе две системы: классическую систему, содержащую результат измерения, и квантовую систему, содержащую состояние после измерения. ^[2]

Определение

Позволять $X$ — счетное множество, описывающее результаты квантового измерения, и пусть $\{{\mathcal {E}}_{x}\}_{x\in X}$ Обозначим совокупность невозрастающих по следу вполне положительных отображений таких, что сумма всех ${\mathcal {E}}_{x}$ сохраняет следы, т.е. ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\right)=\operatorname {tr} (\rho )}$ для всех положительных операторов $\rho .$

Теперь об описании измерения прибором. ${\mathcal {I}}$ , карты ${\mathcal {E}}_{x}$ используются для моделирования отображения из входного состояния $\rho$ к выходному состоянию измерения, обусловленному классическим результатом измерения $x$ . Следовательно, вероятность того, что конкретный результат измерения $x$ происходит в состоянии $\rho$ дается ^[3] $p(x|\rho )=\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho )).$

Состояние после измерения с конкретным результатом $x$ дается ^[3]

$\rho _{x}={\frac {{\mathcal {E}}_{x}(\rho )}{\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho ))}}.$

Если результаты измерений записываются в классический регистр, состояния которого моделируются набором ортонормированных проекций ${\textstyle |x\rangle \langle x|\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})}$ , то действие инструмента ${\mathcal {I}}$ задается квантовым каналом ${\mathcal {I}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{1})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{2})\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})$ с ^[2]

${\mathcal {I}}(\rho ):=\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\otimes \vert x\rangle \langle x|.$

Здесь ${\mathcal {H}}_{1}$ и ${\mathcal {H}}_{2}\otimes \mathbb {C} ^{|X|}$ – гильбертовы пространства, соответствующие входной и выходной системам прибора.

Редукции и индукции

Подобно тому, как полностью положительное сохраняющее след (CPTP) отображение всегда можно рассматривать как редукцию унитарной эволюции системы с изначально незапутанным вспомогательным устройством, так и квантовые инструменты представляют собой редукции проективного измерения с условным унитарным, а также сводятся к CPTP-картам и POVM игнорируют результаты измерений и эволюцию состояния соответственно. ^[3] По терминологии Джона Смолина , это пример «выхода в Церковь Большого Гильбертова пространства».

Как редукция проективного измерения и условного унитарного

Любой квантовый прибор в системе ${\mathcal {S}}$ можно смоделировать как проективное измерение ${\mathcal {S}}$ и (совместно) некоррелированный вспомогательный ${\mathcal {A}}$ за которым следует унитарное условие на результат измерения. ^[3] Позволять $\eta$ (с $\eta >0$ и $\mathrm {Tr} \,\eta =1$ ) — нормированное начальное состояние ${\mathcal {A}}$ , позволять $\{\Pi _{i}\}$ (с $\Pi _{i}=\Pi _{i}^{\dagger }=\Pi _{i}^{2}$ и $\Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}$ ) быть проективным измерением на ${\mathcal {SA}}$ , и пусть $\{U_{i}\}$ (с $U_{i}^{\dagger }=U_{i}^{-1}$ ) быть унитарными на ${\mathcal {SA}}$ . Тогда можно это проверить

{\mathcal {E}}_{i}(\rho ):=\mathrm {Tr} _{\mathcal {A}}\left(U_{i}\Pi _{i}(\rho \otimes \eta )\Pi _{i}U_{i}^{\dagger }\right)

определяет квантовый инструмент. ^[3] Кроме того, можно также проверить, что любой выбор квантового прибора $\{{\mathcal {E}}_{i}\}$ можно получить с помощью этой конструкции при некотором выборе $\eta$ и $\{U_{i}\}$ . ^[3]

В этом смысле квантовый инструмент можно рассматривать как редукцию проективного измерения в сочетании с условным унитарным.

Приведение к карте CPTP

Любой квантовый прибор $\{{\mathcal {E}}_{i}\}$ немедленно индуцирует CPTP-карту, т. е. квантовый канал: ^[3]

{\mathcal {E}}(\rho ):=\sum _{i}{\mathcal {E}}_{i}(\rho ).

Это можно рассматривать как общий эффект измерения на квантовую систему, если отбросить результат измерения.

Приведение к ПОВМ

Любой квантовый прибор $\{{\mathcal {E}}_{i}\}$ немедленно вызывает положительное операторно-значное измерение (POVM):

M_{i}:=\sum _{a}K_{a}^{(i)\dagger }K_{a}^{(i)}

где $K_{a}^{(i)}$ любой выбор операторов Крауса для ${\mathcal {E}}_{i}$ , ^[3]

{\mathcal {E}}_{i}(\rho )=\sum _{a}K_{a}^{(i)}\rho K_{a}^{(i)\dagger }.

Операторы Крауса $K_{a}^{(i)}$ не определяются однозначно CP-картами ${\mathcal {E}}_{i}$ , но приведенное выше определение элементов POVM $M_{i}$ одинаково для любого выбора. ^[3] POVM можно рассматривать как измерение квантовой системы, если отбросить информацию о том, как измерение влияет на систему.

Ссылки

^ Альтер, Орли; Ямамото, Ёсихиса (2001). Квантовые измерения одиночной системы . Нью-Йорк: Уайли. дои : 10.1002/9783527617128 . ISBN 9780471283089 .
^ Jump up to: ^а ^б Джордан, Эндрю Н.; Сиддики, Ирфан А. (2024). Квантовые измерения: теория и практика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1009100069 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Буш, Пол; Лахти, Пекка; Пеллонпяя, Юха-Пекка; Юлинен, Кари (2016). Квантовые измерения . Том 23. Спрингер. п.п. 261--262. дои : 10.1007/978-3-319-43389-9 . ISBN 978-3-319-43387-5 .

[Alter2001-1] Альтер, Орли; Ямамото, Ёсихиса (2001). Квантовые измерения одиночной системы . Нью-Йорк: Уайли. дои : 10.1002/9783527617128 . ISBN 9780471283089 .

[Jordan2024-2] Jump up to: ^а ^б Джордан, Эндрю Н.; Сиддики, Ирфан А. (2024). Квантовые измерения: теория и практика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1009100069 .

[Busch2016-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Буш, Пол; Лахти, Пекка; Пеллонпяя, Юха-Пекка; Юлинен, Кари (2016). Квантовые измерения . Том 23. Спрингер. п.п. 261--262. дои : 10.1007/978-3-319-43389-9 . ISBN 978-3-319-43387-5 .

[1]

[2]

[3]