Штат Белл

В квантовой информатике или состояния Белла пары ЭПР. ^[1]^: 25 — это особые квантовые состояния двух кубитов , которые представляют собой простейшие примеры квантовой запутанности . Состояния Белла представляют собой форму запутанных и нормализованных базисных векторов . Эта нормировка означает, что общая вероятность нахождения частицы в одном из упомянутых состояний равна 1: $\langle \Phi |\Phi \rangle =1$ . Запутанность — это независимый от базиса результат суперпозиции . ^[2] Из-за этой суперпозиции измерение кубита « схлопнет » его в одно из базисных состояний с заданной вероятностью. ^[1] Из-за запутанности измерение одного кубита «схлопнет» другой кубит в состояние, измерение которого даст одно из двух возможных значений, причем значение зависит от того, в каком состоянии Белла оба кубита находятся изначально. Состояния Белла можно обобщить на определенные квантовые состояния многокубитных систем, например состояние GHZ для трех или более подсистем.

Понимание состояний Белла полезно при анализе квантовой коммуникации, такой как сверхплотное кодирование и квантовая телепортация . ^[3] Теорема об отсутствии связи не позволяет такому поведению передавать информацию со скоростью, превышающей скорость света. ^[1]

Белл заявляет

Состояния Белла — это четыре конкретных максимально запутанных квантовых состояния двух кубитов . Они находятся в суперпозиции 0 и 1 – линейной комбинации двух состояний. Их запутывание означает следующее:

Кубит, принадлежащий Алисе (индекс «А»), может находиться в суперпозиции 0 и 1. Если бы Алиса измерила свой кубит на стандартной основе, результат был бы либо 0, либо 1, каждое с вероятностью 1/2; если бы Боб (индекс «B») также измерил свой кубит, результат был бы таким же, как и для Алисы. Таким образом, Алиса и Боб, казалось бы, имели бы случайный результат. Благодаря общению они обнаружили, что, хотя их результаты по отдельности казались случайными, они прекрасно коррелировали.

Эта идеальная корреляция на расстоянии является особенной: возможно, две частицы «договорились» заранее, когда пара была создана (до того, как кубиты были разделены), какой результат они покажут в случае измерения.

Следовательно, следуя Эйнштейну , Подольскому и Розену в их знаменитой « ЭПР- статье» 1935 года, в приведенном выше описании пары кубитов чего-то не хватает, а именно этого «соглашения», более формально называемого скрытой переменной . В своей знаменитой статье 1964 года Джон С. Белл показал с помощью простых аргументов теории вероятностей , что эти корреляции (одна для базиса 0, 1, а другая для базиса +, -) не могут быть одновременно доведены до совершенства с помощью каких-либо предварительное соглашение», хранящееся в некоторых скрытых переменных, но квантовая механика предсказывает идеальные корреляции. В более уточненной формулировке, известной как неравенство Белла – CHSH , показано, что определенная мера корреляции не может превышать значение 2, если предположить, что физика соблюдает ограничения локальной теории «скрытых переменных» (своего рода формулировка здравого смысла). того, как передается информация), но некоторые системы, разрешенные в квантовой механике, могут достигать значений, достигающих $2{\sqrt {2}}$ . Таким образом, квантовая теория нарушает неравенство Белла и идею локальных «скрытых переменных».

Основа колокола

Четыре конкретных двухкубитных состояния с максимальным значением $2{\sqrt {2}}$ обозначаются как «состояния Белла». Они известны как четыре максимально запутанных двухкубитных состояния Белла и образуют максимально запутанный базис, известный как базис Белла, четырехмерного гильбертова пространства для двух кубитов: ^[1]

|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (1)

|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (2)

|\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (3)

|\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (4)

Создание состояний Белла с помощью квантовых схем

Хотя существует множество возможных способов создания запутанных состояний Белла с помощью квантовых схем , самый простой принимает в качестве входных данных вычислительную основу и содержит вентиль Адамара и вентиль CNOT (см. рисунок). В качестве примера изображенная квантовая схема принимает на вход два кубита. $|00\rangle$ и преобразует его в первое состояние Белла $|\Phi ^{+}\rangle .$ Явно ворота Адамара преобразуются $|00\rangle$ в суперпозицию $(|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}$ . Затем это будет действовать как управляющий вход для вентиля CNOT, который инвертирует цель (второй кубит) только тогда, когда управление (первый кубит) равно 1. Таким образом, вентиль CNOT преобразует второй кубит следующим образом: ${\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle$ .

Для четырех основных двухкубитных входов: $|00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle$ , схема выводит четыре состояния Bell ( перечисленные выше ). В более общем смысле схема преобразует входной сигнал в соответствии с уравнением

$|\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),$

где ${\bar {y}}$ это отрицание $y$ . ^[1]

Свойства состояний Белла

Результат измерения одного кубита в состоянии Белла не определен, но при измерении первого кубита в z -базисе результат измерения второго кубита гарантированно даст то же значение (для $\Phi$ Белл утверждает) или противоположное значение (для $\Psi$ Белл утверждает). Это означает, что результаты измерений коррелируют. Джон Белл был первым, кто доказал, что корреляции измерений в состоянии Белла сильнее, чем когда-либо могли существовать между классическими системами. Это намекает на то, что квантовая механика позволяет обрабатывать информацию сверх того, что возможно с помощью классической механики. Кроме того, состояния Белла образуют ортонормированный базис и поэтому могут быть определены с помощью соответствующего измерения. Поскольку состояния Белла являются запутанными состояниями, может быть известна информация обо всей системе, но при этом скрывается информация об отдельных подсистемах. Например, состояние Белла — чистое состояние , а вот оператор приведенной плотности первого кубита — смешанное состояние . Смешанное состояние подразумевает, что не вся информация об этом первом кубите известна. ^[1] Состояния Белла либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к подсистемам. ^[2] Состояния Белла максимально запутаны в том смысле, что их приведенные операторы плотности максимально смешаны, многочастное обобщение состояний Белла в этом духе называется абсолютно максимально запутанным (АМЕ) состоянием .

Измерение состояния колокола

Измерение Белла — важная концепция в квантовой информатике : это совместное квантовомеханическое измерение двух кубитов , которое определяет, в каком из четырех состояний Белла находятся два кубита.

Полезный пример квантового измерения в базисе Белла можно увидеть в квантовых вычислениях. Если вентиль CNOT к кубитам A и B применяется , а затем вентиль Адамара к кубиту A, измерение может быть выполнено на вычислительной основе. Вентиль CNOT выполняет распутывание двух ранее запутанных кубитов. Это позволяет преобразовать информацию из квантовой информации в измерение классической информации.

Квантовые измерения подчиняются двум ключевым принципам. Первый, принцип отложенного измерения , гласит, что любое измерение можно перенести в конец схемы. Второй принцип, принцип неявного измерения, гласит, что в конце квантовой схемы измерение может осуществляться для любых незавершенных проводов. ^[1]

Ниже приведены приложения измерений состояния Белла:

Измерение состояния Белла является решающим шагом в квантовой телепортации . Результат измерения состояния Белла используется сообщником для восстановления исходного состояния телепортированной частицы по половине запутанной пары («квантовый канал»), которая ранее была разделена между двумя концами.

Эксперименты, в которых используются методы так называемой «линейной эволюции, локального измерения», не могут реализовать полное измерение состояния Белла. Линейная эволюция означает, что устройство обнаружения воздействует на каждую частицу независимо от состояния или эволюции другой, а локальное измерение означает, что каждая частица локализуется на определенном детекторе, регистрирующем «щелчок», указывающий на то, что частица была обнаружена. Такие устройства могут быть изготовлены, например, из зеркал, светоделителей и волновых пластин – и они привлекательны с экспериментальной точки зрения, поскольку просты в использовании и имеют высокое измерительное сечение .

При использовании таких линейных оптических методов для запутанности в одной кубитной переменной из четырех состояний Белла можно различить только три различных класса. Это означает, что два состояния Белла невозможно отличить друг от друга, что ограничивает эффективность протоколов квантовой связи, таких как телепортация . Если состояние Белла измеряется из этого неоднозначного класса, событие телепортации завершается неудачно.

Запутывание частиц в нескольких переменных кубита, таких как (для фотонных систем) поляризация и двухэлементное подмножество состояний орбитального углового момента , позволяет экспериментатору отслеживать одну переменную и достигать полного измерения состояния Белла в другой. ^[4] Таким образом, использование так называемых сверхзапутанных систем имеет преимущество при телепортации. Он также имеет преимущества для других протоколов, таких как сверхплотное кодирование , в котором сверхзапутывание увеличивает пропускную способность канала.

В общем, для гиперзапутывания в $n$ переменных, можно различить не более $2^{n+1}-1$ занятия из $4^{n}$ Белл утверждает, используя линейные оптические методы. ^[5]

Корреляции состояния Белла

Независимые измерения, выполненные на двух кубитах, запутанных в состояниях Белла, идеально коррелируют, если каждый кубит измеряется в соответствующем базисе. Для $|\Phi ^{+}\rangle$ состоянии, это означает выбор одной и той же основы для обоих кубитов. Если экспериментатор решил измерить оба кубита в $|\Phi ^{-}\rangle$ Если использовать состояние Белла на той же основе, кубиты будут иметь положительную корреляцию при измерении в $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ основе, антикоррелированные в $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ основа ^[а], и частично (вероятностно) коррелируют в других базисах.

The $|\Psi ^{+}\rangle$ Корреляции можно понять, измеряя оба кубита на одной основе и наблюдая совершенно антикоррелированные результаты. В более общем смысле, $|\Psi ^{+}\rangle$ можно понять, измерив первый кубит в базисе $b_{1}$ , второй кубит в базисе $b_{2}=X.b_{1}$ и наблюдая совершенно положительно коррелированные результаты.

Штат Белл	Основа $b_{2}$
$\|\Phi ^{+}\rangle$	$b_{1}$
$\|\Phi ^{-}\rangle$	$Z.b_{1}$
$\|\Psi ^{+}\rangle$	$X.b_{1}$
$\|\Psi ^{-}\rangle$	$X.Z.b_{1}$

Приложения

Сверхплотное кодирование

Сверхплотное кодирование позволяет двум людям передавать два бита классической информации, отправляя только один кубит. В основе этого явления лежат запутанные состояния или состояния Белла двухкубитной системы. В этом примере Алиса и Боб находятся очень далеко друг от друга, и каждому из них присвоен один кубит запутанного состояния.

$|\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}$ .

В этом примере Алиса пытается передать два бита классической информации, одну из четырех двухбитовых строк: $'00','01','10',$ или $'11'$ . Если Алиса решит отправить двухбитовое сообщение $'01'$ , она выполнила бы фазовый переворот $Z$ к ее кубиту. Аналогично, если Алиса хочет отправить $'10'$ , она применит вентиль НЕ; если бы она хотела отправить $'11'$ , она применит $iY$ ворота в ее кубит; и, наконец, если Алиса захочет отправить двухбитовое сообщение $'00'$ , она ничего не сделает со своим кубитом. Алиса выполняет эти преобразования квантовых вентилей локально, преобразуя начальное запутанное состояние. $|\psi \rangle$ в один из четырех штатов Белла.

Приведенные ниже шаги показывают необходимые преобразования квантовых вентилей, и в результате Белл заявляет, что Алисе необходимо обратиться к своему кубиту для каждого возможного двухбитового сообщения, которое она желает отправить Бобу.

$00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle$

$01:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle$

$10:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle$

$11:-iY=XZ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle$ .

После того, как Алиса применит желаемые преобразования к своему кубиту, она отправляет его Бобу. Затем Боб выполняет измерение состояния Белла, которое проецирует запутанное состояние на один из четырех двухкубитных базисных векторов, один из которых будет совпадать с исходным двухбитовым сообщением, которое пыталась отправить Алиса.

Квантовая телепортация

Квантовая телепортация – это перенос квантового состояния на расстояние. Этому способствует запутанность между А, дающим, и Б, получателем этого квантового состояния. Этот процесс стал фундаментальной темой исследований в области квантовой связи и вычислений. Совсем недавно ученые тестировали его применение при передаче информации по оптическим волокнам. ^[6] Процесс квантовой телепортации определяется следующим образом:

Алиса и Боб имеют общую пару EPR, и каждый из них занял один кубит, прежде чем они разделились. Алиса должна доставить кубит информации Бобу, но она не знает состояния этого кубита и может отправлять Бобу только классическую информацию.

Поэтапно это выполняется следующим образом:

Алиса отправляет свои кубиты через шлюз CNOT .
Затем Алиса отправляет первый кубит через ворота Адамара .
Алиса измеряет свои кубиты, получая один из четырех результатов, и отправляет эту информацию Бобу.
Учитывая измерения Алисы, Боб выполняет одну из четырех операций со своей половиной пары ЭПР и восстанавливает исходное квантовое состояние. ^[1]

Следующая квантовая схема описывает телепортацию:

Квантовая криптография

Квантовая криптография — это использование квантово-механических свойств для безопасного кодирования и отправки информации. Теория, лежащая в основе этого процесса, заключается в том, что невозможно измерить квантовое состояние системы, не нарушая ее. Это можно использовать для обнаружения подслушивания внутри системы.

Наиболее распространенной формой квантовой криптографии является квантовое распределение ключей . Это позволяет двум сторонам создать общий случайный секретный ключ, который можно использовать для шифрования сообщений. Его закрытый ключ создается между двумя сторонами через общедоступный канал. ^[1]

Квантовую криптографию можно рассматривать как состояние запутанности между двумя многомерными системами, также известное как запутанность двух кудитов (квантовых цифр). ^[2]

См. также

Примечания

^ $|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Нильсен, Майкл (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781139495486 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Сыч, Денис (7 января 2009 г.). «Полный базис обобщенных состояний Белла» . Новый журнал физики . 11 (1): 013006. Бибкод : 2009NJPh...11a3006S . doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 – через IOP Science.
^ Заман, Фахар; Чон, Ёнмин (2 октября 2018 г.). «Контрфактический анализ состояния колокола» . Научные отчеты . 8 (1): 14641. Бибкод : 2018NatSR...814641Z . дои : 10.1038/s41598-018-32928-8 . ПМК 6168595 . ПМИД 30279547 .
^ Квиат, Вайнфуртер. «Встроенный анализ состояния колокола»
^ Пизенти, Геблер, Линн. «Различительность сверхзапутанных состояний колокола посредством линейной эволюции и локальных измерений»
^ Хо, Мейру (19 октября 2018 г.). «Детерминированная квантовая телепортация по оптоволоконным каналам» . Достижения науки . 4 (10): eaas9401. Бибкод : 2018SciA....4.9401H . дои : 10.1126/sciadv.aas9401 . ПМК 6195333 . ПМИД 30345350 .

Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5 , стр. 25 .
Кэй, Филипп; Лафламм, Раймонд ; Моска, Мишель (2007), Введение в квантовые вычисления , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-857049-3 , стр. 75 .
О парадоксе Эйнштейна-Подольского и Розена , Технический журнал Bell System , 1964 .

[6] $|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )$

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Нильсен, Майкл (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781139495486 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с Сыч, Денис (7 января 2009 г.). «Полный базис обобщенных состояний Белла» . Новый журнал физики . 11 (1): 013006. Бибкод : 2009NJPh...11a3006S . doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 – через IOP Science.

[3] Заман, Фахар; Чон, Ёнмин (2 октября 2018 г.). «Контрфактический анализ состояния колокола» . Научные отчеты . 8 (1): 14641. Бибкод : 2018NatSR...814641Z . дои : 10.1038/s41598-018-32928-8 . ПМК 6168595 . ПМИД 30279547 .

[4] Квиат, Вайнфуртер. «Встроенный анализ состояния колокола»

[5] Пизенти, Геблер, Линн. «Различительность сверхзапутанных состояний колокола посредством линейной эволюции и локальных измерений»

[7] Хо, Мейру (19 октября 2018 г.). «Детерминированная квантовая телепортация по оптоволоконным каналам» . Достижения науки . 4 (10): eaas9401. Бибкод : 2018SciA....4.9401H . дои : 10.1126/sciadv.aas9401 . ПМК 6195333 . ПМИД 30345350 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]