CHSH неравенство

«ЧШ» перенаправляется сюда. Информацию о команде Unix см. в chsh .

В физике может неравенство CHSH быть использовано в доказательстве теоремы Белла , которая утверждает, что некоторые последствия запутанности в квантовой механике не могут быть воспроизведены локальными теориями скрытых переменных . Экспериментальная проверка нарушения неравенства рассматривается как подтверждение того, что природа не может быть описана такими теориями. CHSH означает Джона Клаузера , Майкла Хорна , Эбнера Шимони и Ричарда Холта , которые описали его в широко цитируемой статье, опубликованной в 1969 году. Они вывели неравенство CHSH, которое, как и Джона Стюарта Белла , исходное неравенство - это ограничение на статистическое появление «совпадений» в тесте Белла , которое обязательно верно, если существует лежащая в основе локальная теория скрытых переменных . На практике неравенство обычно нарушается в современных экспериментах по квантовой механике.

Заявление

Обычная форма неравенства CHSH имеет вид

$$|S|\leq 2,$$ ( 1 )

где

$$S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).$$ ( 2 )

$a$ и $a'$ настройки детектора на стороне $A$, $b$ и $b'$ на стороне $B$, четыре комбинации тестируются в отдельных подэкспериментах. Условия $E(a,b)$ и т. д. — это квантовые корреляции пар частиц, где квантовая корреляция определяется как математическое ожидание продукта «результатов» эксперимента, т. е. среднее статистическое значение $A(a)\times B(b)$, где $A,B$ представляют собой отдельные результаты с использованием кодирования +1 для канала «+» и -1 для канала «-». Клаузер и др., 1969 г. вывод был ориентирован на использование «двухканальных» детекторов, да и вообще именно для них он обычно применяется, но при их методе единственно возможными исходами были +1 и -1. Чтобы адаптироваться к реальным ситуациям, что в то время означало использование поляризованного света и одноканальных поляризаторов, им пришлось интерпретировать «-» как означающее «необнаружение в канале «+», т.е. либо «-» или ничего. В оригинальной статье они не обсуждали, как двухканальное неравенство можно применить в реальных экспериментах с реальными несовершенными детекторами, хотя позже это было доказано. что само неравенство также справедливо. Однако появление нулевых результатов означает, что уже не так очевидно, как значения E оценивать на основе экспериментальных данных.

Математический формализм квантовой механики предсказывает, что значение $S$ превышает 2 для систем, подготовленных в подходящих запутанных состояниях, и при соответствующем выборе настроек измерения (см. ниже). Максимальное нарушение, предсказанное квантовой механикой, равно $2{\sqrt {2}}$ ( граница Цирельсона ) и может быть получено из максимального запутанного состояния Белла .

Эксперименты

Многие тесты Белла, проведенные после второго эксперимента Алена Аспекта в 1982 году, использовали неравенство CHSH, оценивая члены с помощью (3) и предполагая справедливую выборку. Сообщалось о некоторых серьезных нарушениях неравенства.

Схема «двухканального» теста Белла
Источник S производит пары фотонов, посланных в противоположных направлениях. Каждый фотон сталкивается с двухканальным поляризатором ( a и b ), ориентацию которого может задавать экспериментатор. Появляющиеся сигналы из каждого канала обнаруживаются и совпадения подсчитываются монитором совпадений CM .

На практике в большинстве реальных экспериментов использовался свет, а не электроны, которые первоначально имел в виду Белл. В наиболее известных экспериментах интересующее свойство состоит в том, направление поляризации, хотя можно использовать и другие свойства. На схеме изображен типичный оптический эксперимент. Совпадения (одновременные обнаружения) записываются, результаты классифицируются как «++», «+-», «-+» или «--», и соответствующие подсчеты накапливаются.

Проводятся четыре отдельных подэксперимента, соответствующие четырем условиям. $E(a,b)$ в тестовой статистике S ( 2 , выше). На практике обычно выбираются настройки a = 0° , a ′ = 45° , b = 22,5° и b ′ = 67,5° — «углы теста Белла» — это те углы, для которых квантовомеханическая формула дает наибольшую величину. нарушение неравенства.

Для каждого выбранного значения $a,b$, количество совпадений в каждой категории $\left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}$ записаны. Экспериментальная оценка $E(a,b)$ тогда рассчитывается как:

$$E(a,b)={\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}$$ ( 3 )

После того, как все E оценены, экспериментальную оценку S (уравнение 2 можно найти ). Если оно численно больше 2, это нарушает неравенство CHSH, и объявляется, что эксперимент подтвердил предсказание квантовой механики и исключил все локальные теории скрытых переменных.

В документе CHSH перечислено множество предварительных условий (или «разумных и/или предполагаемых предположений») для вывода упрощенной теоремы и формулы. Например, чтобы метод был действительным, необходимо предположить, что обнаруженные пары представляют собой достаточную выборку излучаемых пар. В реальных экспериментах детекторы никогда не бывают эффективными на 100%, поэтому детектируется только выборка излучаемых пар. Тонкое связанное с этим требование заключается в том, чтобы скрытые переменные не влияли и не определяли вероятность обнаружения таким образом, чтобы это приводило к получению разных образцов в каждой ветви эксперимента.

Неравенство CHSH было нарушено с парами фотонов , парами ионов бериллия , парами ионов иттербия , парами атомов рубидия , целыми парами облаков атомов рубидия, вакансиями азота в алмазах и Джозефсона фазовыми кубитами .

Вывод

Первоначальный вывод 1969 года здесь не будет приводиться, поскольку ему нелегко следовать, и он предполагает предположение, что все результаты равны +1 или -1, но никогда не равны нулю. Вывод Белла 1971 года является более общим. Он фактически исходит из «объективной локальной теории», позже использованной Клаузером и Хорном. Предполагается, что любые скрытые переменные, связанные с самими детекторами, независимы с обеих сторон и могут быть усреднены с самого начала. Другой вывод процентов дан в статье Клаузера и Хорна 1974 года, в которой они исходят из неравенства CH74.

Вывод Белла 1971 года

Следующее основано на странице 37 книги Bell's Speakable and Unspeakable . Основное изменение заключается в использовании символа « E » вместо « P » для обозначения ожидаемого значения квантовой корреляции. Это позволяет избежать любых предположений о том, что квантовая корреляция сама по себе является вероятностью.

Мы начинаем со стандартного предположения о независимости двух сторон, что позволяет нам получить совместные вероятности пар результатов путем умножения отдельных вероятностей для любого выбранного значения «скрытой переменной» λ. Предполагается, что λ извлекается из фиксированного распределения возможных состояний источника, причем вероятность нахождения источника в состоянии λ для любого конкретного испытания задается функцией плотности ρ(λ), интеграл от которой по полному скрытому пространство переменных равно 1. Таким образом, мы предполагаем, что можем написать: $$E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda$$ где A и B — исходы. Поскольку возможные значения A и B равны −1, 0 и +1, отсюда следует, что:

$\left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1$ ( 4 )

Тогда, если a , a ′, b и b ′ являются альтернативными настройками детекторов,

${\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}$

Взяв абсолютные значения обеих сторон и применив неравенство треугольника к правой части, получим

$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|$

Мы используем тот факт, что $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )$ и $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )$ оба неотрицательны, поэтому правую часть этого выражения можно переписать как $$\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|$$

По ( 4 ) это должно быть меньше или равно $$\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda$$ что, учитывая тот факт, что интеграл от ρ ( λ ) равен 1, равен $$2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]$$ что равно $2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$.

Сложив это вместе с левой частью, мы имеем: $$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$$ что означает, что левая часть меньше или равна обеим $2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ и $2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$. То есть: $$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|$$ из чего мы получаем $$2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|$$ ( снова неравенством треугольника ), которое представляет собой неравенство CHSH.

Вывод из неравенства Клаузера и Хорна 1974 года.

В своей статье 1974 г. Клаузер и Хорн показывают, что неравенство CHSH можно вывести из неравенства CH74. Как нам говорят, в двухканальном эксперименте одноканальный тест CH74 все еще применим и дает четыре набора неравенств, определяющих вероятности p совпадений.

Исходя из неоднородной версии неравенства, мы можем написать: $$-1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0$$ где j и k обозначают «+» или «-», указывая, какие детекторы рассматриваются.

Чтобы получить статистику теста CHSH S ( 2 ), все, что нужно, — это умножить неравенства, для которых j отличается от k, на -1 и добавить их к неравенствам, для которых j и k одинаковы.

Оптимальное нарушение общего квантового состояния

В экспериментальной практике две частицы не являются идеальной ЭПР-парой . Существует необходимое и достаточное условие двухкубитной матрицы плотности $\rho$ нарушить неравенство CHSH, выраженное максимально достижимым полиномом S _max, определенным в уравнении. 2 . Это важно при квантовом распределении ключей на основе запутанности , где скорость секретного ключа зависит от степени корреляции измерений.

Введем действительную матрицу 3×3. $T_{\rho }$ с элементами $t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]$, где $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ — матрицы Паули . Затем находим собственные значения и собственные векторы вещественной симметричной матрицы $U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }$, $$U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,$$ где индексы отсортированы по $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}$. Тогда максимальный полином CHSH определяется двумя наибольшими собственными значениями: $$S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.$$

Оптимальные базы измерений

Существует оптимальная конфигурация баз измерения a, a', b, b' для заданного $\rho$ что дает S _max хотя бы с одним свободным параметром.

Проективное измерение, которое дает либо +1, либо -1 для двух ортогональных состояний. $|\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle$ соответственно, может быть выражено оператором $\mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|$. Выбор этой основы измерения может быть параметризован действительным единичным вектором. ${\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1$ и вектор Паули ${\boldsymbol {\sigma }}$ выражая $\mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$. Тогда ожидаемая корреляция в базисах a, b равна $$E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.$$ Численные значения базисных векторов, если они найдены, могут быть напрямую преобразованы в конфигурацию проективных измерений.

Оптимальный набор основ государства $\rho$ находится путем взятия двух наибольших собственных значений $\lambda _{1,2}$ и соответствующие собственные векторы ${\boldsymbol {e}}_{1,2}$ из $U_{\rho }$и нахождение вспомогательных единичных векторов $${\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}$$ где $\varphi$ является свободным параметром. Также вычисляем острый угол $$\theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}$$ чтобы получить базы, которые максимизируют уравнение. 2 , $${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}$$

на основе запутанности При квантовом распределении ключей существует другая основа измерения, используемая для передачи секретного ключа ( ${\boldsymbol {a}}_{0}$ предполагая, что Алиса использует сторону А). Базы ${\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}$ тогда необходимо минимизировать частоту ошибок квантовых битов Q , которая представляет собой вероятность получения различных результатов измерений (+1 для одной частицы и -1 для другой). Соответствующие основания $${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}$$ Полином CHSH S также необходимо максимизировать, что вместе с приведенными выше базисами создает ограничение $\varphi =\pi /4$.

игра ЧШШ

Игра CHSH — это мысленный эксперимент с участием двух сторон, разделенных на большом расстоянии (достаточно далеком, чтобы исключить классическое общение со скоростью света), каждая из которых имеет доступ к половине запутанной двухкубитной пары. Анализ этой игры показывает, что никакая классическая локальная теория скрытых переменных не может объяснить корреляции, которые могут возникнуть в результате запутанности. Поскольку эта игра действительно физически реализуема, это дает убедительное доказательство того, что классическая физика принципиально неспособна объяснить некоторые квантовые явления, по крайней мере, «локальным» способом.

В игре CHSH участвуют два сотрудничающих игрока, Алиса и Боб, и судья Чарли. Эти агенты будут сокращенно обозначаться $A,B,C$ соответственно. В начале игры Чарли выбирает биты. $x,y\in \{0,1\}$ равномерно случайным образом, а затем отправляет $x$ Алисе и $y$ Бобу. Затем Алиса и Боб должны ответить Чарли битами. $a,b\in \{0,1\}$ соответственно. Теперь, как только Алиса и Боб отправят свои ответы Чарли, Чарли проверяет, $a\oplus b=x\land y$, где ∧ обозначает логическую операцию И , а ⊕ обозначает логическую операцию исключающее ИЛИ . Если это равенство выполнено, то Алиса и Боб выигрывают, а если нет, то проигрывают.

Также требуется, чтобы ответы Алисы и Боба могли зависеть только от битов, которые они видят: поэтому ответ Алисы $a$ зависит только от $x$, и то же самое для Боба. Это означает, что Алисе и Бобу запрещено напрямую сообщать друг другу о значениях битов, отправленных им Чарли. Однако Алисе и Бобу разрешено принять общую стратегию до начала игры.

В следующих разделах показано, что если Алиса и Боб используют только классические стратегии, включающие их локальную информацию (и, возможно, некоторые случайные подбрасывания монеты), они не смогут выиграть с вероятностью выше 75%. Однако если Алисе и Бобу разрешено совместно использовать одну запутанную пару кубитов, то существует стратегия, которая позволит Алисе и Бобу добиться успеха с вероятностью ~ 85%.

Оптимальная классическая стратегия

Сначала мы установим, что любая детерминированная классическая стратегия имеет вероятность успеха не более 75% (где вероятность берется за равномерно случайный выбор Чарли $x,y$). Под детерминированной стратегией мы подразумеваем пару функций $f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}$, где $f_{A}$ — это функция, определяющая ответ Алисы в зависимости от сообщения, которое она получает от Чарли, и $f_{B}$ — это функция, определяющая ответ Боба на основе того, что он получает. Чтобы доказать, что любая детерминированная стратегия терпит неудачу по крайней мере в 25% случаев, мы можем просто рассмотреть все возможные пары стратегий для Алисы и Боба, которых не более 8 (для каждой стороны есть 4 функции $\{0,1\}\mapsto \{0,1\}$). Можно проверить, что для каждой из этих 8 стратегий всегда существует хотя бы одна из четырех возможных входных пар. $(x,y)\in \{0,1\}^{2}$ что приводит к провалу стратегии. Например, в стратегии, где оба игрока всегда отвечают 0, Алиса и Боб выигрывают во всех случаях, кроме случая, когда $x=y=1$, поэтому при использовании этой стратегии вероятность их выигрыша составляет ровно 75%.

Теперь рассмотрим случай рандомизированных классических стратегий, где Алиса и Боб имеют доступ к коррелирующим случайным числам. Их можно получить, совместно подбросив монету несколько раз до того, как игра начнется и Алисе и Бобу еще будет разрешено общаться. Результат, который они дают в каждом раунде, является функцией как сообщения Чарли, так и результата соответствующего подбрасывания монеты. Такую стратегию можно рассматривать как распределение вероятностей по детерминированным стратегиям, и, таким образом, ее вероятность успеха представляет собой взвешенную сумму вероятностей успеха детерминированных стратегий. Но поскольку каждая детерминированная стратегия имеет вероятность успеха не более 75%, эта взвешенная сумма также не может превышать 75%.

Оптимальная квантовая стратегия

Теперь представьте, что Алиса и Боб находятся в запутанном состоянии двух кубитов: ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$, обычно называемая парой EPR . Алиса и Боб будут использовать эту запутанную пару в своей стратегии, как описано ниже. Тогда оптимальность этой стратегии следует из оценки Цирельсона .

Получив бит $x$ от Чарли Алиса измерит свой кубит в базисе $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ или в основе $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$, при условии, что $x=0$ или $x=1$, соответственно. Затем она обозначит два возможных результата, возникающих в результате каждого выбора измерения, как $a=0$ если наблюдается первое состояние в базе измерения, и $a=1$ в противном случае.

Боб также использует биту $y$ получено от Чарли, чтобы решить, какое измерение выполнить: если $y=0$ он измеряет в базисе $\{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}$, а если $y=1$ он измеряет в базисе $\{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}$, где $${\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}$$с $\theta =\pi /8$.

Чтобы проанализировать вероятность успеха, достаточно проанализировать вероятность того, что они выведут пару выигрышных значений на каждом из четырех возможных входов. $(x,y)$, а затем возьмем среднее значение. Разберем случай, когда $x=y=0$ здесь: В этом случае выигрышными парами ответов являются $a=b=0$ и $a=b=1$. На входе $x=y=0$, мы знаем, что Алиса будет измерять в базисе $|0\rangle ,|1\rangle$, а Боб будет измерять в базисе $|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle$. Тогда вероятность того, что они оба выдадут 0, равна вероятности того, что их измерения дадут результат. $|0\rangle ,|a_{0}\rangle$ соответственно, так точно ${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$. Аналогично, вероятность того, что они оба выведут 1, точно равна ${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$. Таким образом, вероятность того, что произойдет любой из этих успешных исходов, равна ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$.

В случае трех других возможных входных пар по существу идентичный анализ показывает, что Алиса и Боб будут иметь одинаковую вероятность выигрыша $\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)$, поэтому в целом средняя вероятность выигрыша для случайно выбранного входного сигнала равна ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$. С ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$, это строго лучше того, что было возможно в классическом случае.

Моделирование общих квантовых стратегий

Произвольную квантовую стратегию для игры CHSH можно смоделировать как тройку ${\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)$ где

• $|\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}$ является двусторонним государством для некоторых $d$,
• $A_{0}$ и $A_{1}$ Алисы соответствуют ли наблюдаемые получению $x\in \{0,1\}$ от рефери и
• $B_{0}$ и $B_{1}$ являются наблюдаемыми Боба, каждая из которых соответствует получению $y\in \{0,1\}$ от рефери.

Описанную выше оптимальную квантовую стратегию можно переформулировать в этих обозначениях следующим образом: $|\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$ это пара ЭПР ${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$, наблюдаемый $A_{0}=Z$ (соответствует измерению Алисой в $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ основе), наблюдаемая $A_{1}=X$ (соответствует измерению Алисой в $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$ основе), где $X$ и $Z$ являются матрицами Паули . Наблюдаемые ${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$ и ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$ (соответствует каждому выбору Бобом основы для измерения). Обозначим вероятность успеха стратегии ${\mathcal {S}}$ в игре CHSH $\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})$, и мы определяем смещение стратегии ${\mathcal {S}}$ как $\beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1$, которая представляет собой разницу между вероятностями выигрыша и проигрыша ${\mathcal {S}}$.

В частности, у нас есть $$\beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .$$ Смещение квантовой стратегии, описанной выше, ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

Неравенство Цирельсона и жесткость CHSH

Смотрите также: Граница Цирельсона

Неравенство Цирельсона, открытое Борисом Цирельсоном в 1980 году, утверждает, что для любой квантовой стратегии ${\mathcal {S}}$ для игры CHSH смещение ${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$. Аналогично, это утверждает, что вероятность успеха $$\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$$ для любой квантовой стратегии ${\mathcal {S}}$ для игры CHSH. В частности, отсюда следует оптимальность описанной выше квантовой стратегии для игры CHSH.

Неравенство Цирельсена устанавливает, что максимальная вероятность успеха любой квантовой стратегии равна ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$, и мы увидели, что эта максимальная вероятность успеха достигается с помощью квантовой стратегии, описанной выше. Фактически, любая квантовая стратегия, которая достигает этой максимальной вероятности успеха, должна быть изоморфна (в точном смысле) канонической квантовой стратегии, описанной выше; это свойство называется жесткостью игры CHSH и впервые приписывалось Саммерсу и Вернеру. Более формально мы имеем следующий результат:

Теорема (точная жесткость CHSH) — Пусть ${\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)$ быть квантовой стратегией для игры CHSH, где $|\psi \rangle \in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ такой, что ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$. Тогда существуют изометрии $V:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ и $W:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$ где ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}$ изоморфны $\mathbb {C} ^{2}$ такое, что позволяешь $|\theta \rangle =(V\otimes W)|\psi \rangle$ у нас есть $$|\theta \rangle =|\Phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}\otimes |\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}$$ где ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)}$ обозначает пару ЭПР и $|\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}$ обозначает некоторое чистое состояние, а $${\begin{aligned}(V\otimes W)A_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle ,\\(V\otimes W)A_{1}|\psi \rangle =X_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{1}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle .\end{aligned}}$$

Неформально приведенная выше теорема утверждает, что для произвольной оптимальной стратегии игры CHSH существует локальная смена базиса (задаваемая изометриями $V,W$) для Алисы и Боба так, что их общее состояние $|\psi \rangle$ факторы в тензор пары ЭПР $|\Phi \rangle$ и дополнительное вспомогательное состояние $|\phi \rangle$. Кроме того, наблюдаемые Алисы и Боба $(A_{0},A_{1})$ и $(B_{0},B_{1})$ ведут себя с точностью до унитарных преобразований так же, как $Z$ и $X$ наблюдаемые на соответствующих кубитах из пары EPR. Приблизительная . или количественная версия жесткости CHSH была получена McKague et al который доказал, что если у вас есть квантовая стратегия ${\mathcal {S}}$ такой, что ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$ для некоторых $\epsilon >0$, то существуют изометрии, при которых стратегия ${\mathcal {S}}$ является $O({\sqrt {\epsilon }})$-близко к канонической квантовой стратегии. Известны также теоретико-представления доказательства аппроксимативной жесткости.

Приложения

Обратите внимание, что игру CHSH можно рассматривать как тест на квантовую запутанность и квантовые измерения, и что жесткость игры CHSH позволяет нам проверять конкретную запутанность, а также конкретные квантовые измерения. Это, в свою очередь, можно использовать для тестирования или даже проверки целых квантовых вычислений — в частности, жесткость игр CHSH была использована для создания протоколов для проверяемого квантового делегирования. сертифицированное расширение случайности, и аппаратно-независимая криптография.

См. также

• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь
• Неравенство Леггетта – Гарга
• Квантовая теория игр

Внешние ссылки

• Неравенство Белла — Виртуальная лаборатория от Quantum Flytrap , интерактивное моделирование нарушения неравенства Белла CHSH