Квантовая теория игр
Квантовая теория игр — это расширение классической теории игр на квантовую область. Она отличается от классической теории игр тремя основными способами:
- Наложенные начальные состояния,
- Квантовая запутанность начальных состояний,
- Суперпозиция стратегий, которые будут использоваться в начальных состояниях.
Эта теория основана на физике информации, очень похожей на квантовые вычисления .
История
[ редактировать ][1] В 1999 году профессор математического факультета Калифорнийского университета в Сан-Диего по имени Дэвид А. Мейер впервые опубликовал книгу «Квантовые стратегии» , в которой подробно описана квантовая версия классической игры по теории игр, уравнивающей монеты . В квантовой версии игрокам разрешен доступ к квантовым сигналам посредством явления квантовой запутанности. [2]
Наложенные начальные состояния
[ редактировать ]Передачу информации, происходящую во время игры, можно рассматривать как физический процесс.В простейшем случае классической игры между двумя игроками, каждый из которых имеет по две стратегии, оба игрока могут использовать бит («0» или «1»), чтобы сообщить о своем выборе стратегии. Популярным примером такой игры является « Дилемма заключенных» , где каждый из осужденных может либо сотрудничать , либо отступить : скрыть информацию или раскрыть, что другой совершил преступление. В квантовой версии игры бит заменяется кубитом , который представляет собой квантовую суперпозицию двух или более базовых состояний. В случае игры с двумя стратегиями это может быть физически реализовано с помощью такого объекта, как электрон, который имеет суперпозицию спинового состояния, при этом базовые состояния равны +1/2 (плюс половина) и -1/2 (минус половина). Каждое из состояний вращения может использоваться для представления каждой из двух стратегий, доступных игрокам. Когда производится измерение электрона, он переходит в одно из базовых состояний, тем самым передавая стратегию, используемую игроком.
Запутанные начальные состояния
[ редактировать ]Набор кубитов, которые изначально предоставляются каждому из игроков (чтобы использовать их для передачи выбора стратегии), может быть запутанным. Например, запутанная пара кубитов подразумевает, что операция, выполняемая с одним из кубитов, влияет и на другой кубит, тем самым изменяя ожидаемые выигрыши в игре. Простым примером этого является квантовая версия. [3] игры «Два монеты», в которой монеты запутались.
Суперпозиция стратегий, которые будут использоваться в начальных состояниях
[ редактировать ]Задача игрока в игре — выбрать стратегию. С точки зрения битов это означает, что игрок должен выбирать между «переворотом» бита в противоположное состояние или оставлением текущего состояния нетронутым. При распространении на квантовую область это означает, что игрок может перевести кубит в новое состояние, изменяя тем самым амплитуды вероятности каждого из базовых состояний. Такие операции над кубитами должны быть унитарными преобразованиями начального состояния кубита. Это отличается от классической процедуры, которая выбирает стратегии с некоторыми статистическими вероятностями.
Многопользовательские игры
[ редактировать ]Введение квантовой информации в многопользовательские игры позволяет создать новый тип «стратегии равновесия», которого нет в традиционных играх. Запутывание выбора игроков может иметь эффект контракта , других игроков не позволяя игрокам получать прибыль от предательства . [4]
Дилемма квантового узника
Классическая дилемма узника — это игра, в которую играют два игрока, у которых есть выбор: сотрудничать или предать своего противника. Классически доминирующая стратегия — всегда выбирать предательство. Когда оба игрока выбирают эту стратегию каждый ход, каждый из них обеспечивает неоптимальную прибыль, но не может проиграть, и говорят, что игра достигла равновесия Нэша . Прибыль была бы максимальной для обоих игроков, если бы каждый из них решал сотрудничать на каждом ходу, но это не рациональный выбор, поэтому доминирующим результатом является неоптимальное решение. В дилемме квантового узника решение обеих сторон предать друг друга по-прежнему является равновесием, однако также может существовать несколько состояний равновесия Нэша, которые различаются в зависимости от запутанности начальных состояний. В случае, когда состояния лишь слегка запутаны, для Алисы существует некая унитарная операция, так что если Боб на каждом ходу выбирает предательство, Алиса фактически получит больше прибыли, чем Боб, и наоборот. Таким образом, прибыльное равновесие может быть достигнуто двумя дополнительными способами. Случай, когда начальное состояние наиболее запутано, демонстрирует наибольшее отличие от классической игры. В этой версии игры у Алисы и Боба есть оператор Q, который позволяет получить выплату, равную взаимному сотрудничеству, без риска предательства. Это равновесие Нэша, которое также оказывается Парето-оптимум . [5]
Кроме того, квантовая версия дилеммы узника сильно отличается от классической версии, когда игра имеет неизвестную или бесконечную длину. Классически бесконечная дилемма узника не имеет определенной фиксированной стратегии, но в квантовой версии можно разработать равновесную стратегию. [6]
Квантовые шахматы
Квантовые шахматы были впервые разработаны аспирантом Университета Южной Калифорнии Крисом Кэнтуэллом. Его мотивацией для разработки игры было познакомить нефизиков с миром квантовой механики. [7]
В игре используются те же фигуры, что и в классических шахматах (8 пешек, 2 коня, 2 слона, 2 ладьи, 1 ферзь, 1 король), и выигрыш достигается таким же образом (путем захвата короля противника). Однако кусочкам разрешено подчиняться законам квантовой механики, таким как суперпозиция. Благодаря разрешенному введению суперпозиции фигуры могут занимать более одной клетки в экземпляре. Правила движения каждой фигуры такие же, как и в классических шахматах.
Самая большая разница между квантовыми шахматами и классическими шахматами — это правило проверки. Шах не включен в квантовые шахматы, поскольку король, как и все другие фигуры, может одновременно занимать несколько мест на сетке. Еще одним отличием является концепция перемещения в занятое пространство. Суперпозиция также позволяет двум объектам делить пространство или перемещаться друг через друга.
Захват фигуры противника в квантовых шахматах также немного отличается от классических. Квантовые шахматы используют квантовое измерение как метод захвата. При попытке захватить фигуру противника производится измерение, чтобы определить вероятность того, занято ли место и заблокирован ли путь. Если вероятность благоприятна, можно сделать ход на взятие. [8]
Квантовые минимаксные теоремы
[ редактировать ]Понятия квантового игрока, квантовой игры с нулевой суммой и связанного с ней ожидаемого выигрыша были определены А. Букасом в 1999 г. (для конечных игр) и в 2020 г. Л. Аккарди и А. Букасом (для бесконечных игр) в рамках спектральной теоремы для самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. квантовые версии теоремы фон Неймана о минимаксе . Доказаны [9] [10]
См. также
[ редактировать ]- Квантовые крестики-нолики : не квантовая игра в указанном выше смысле, а педагогический инструмент, основанный на метафорах квантовой механики.
- Квантовая псевдотелепатия
- Квантовая судейская игра
- игра ЧШШ
- Ян Сладковски
- Йенс Эйсерт
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мейер, Дэвид А. (1 февраля 1999 г.). «Квантовые стратегии». Письма о физических отзывах . 82 (5): 1052–1055. arXiv : Quant-ph/9804010 . Бибкод : 1999PhRvL..82.1052M . дои : 10.1103/PhysRevLett.82.1052 . ISSN 0031-9007 . S2CID 7361611 .
- ^ Бранденбургер, Адам (01 мая 2010 г.). «Взаимосвязь между квантовой и классической корреляцией в играх» . Игры и экономическое поведение . Специальный выпуск в честь Роберта Ауманна. 69 (1): 175–183. дои : 10.1016/j.geb.2009.10.009 . ISSN 0899-8256 .
- ^ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.QuantumGamesLLC.QuantumTwoUp
- ^ Саймон К. Бенджамин; Патрик М. Хайден (13 августа 2001 г.), «Многопользовательские квантовые игры», Physical Review A , 64 (3): 030301, arXiv : quant-ph/0007038 , Bibcode : 2001PhRvA..64c0301B , doi : 10.1103/PhysRevA.64.030301 , S2CID 32056578
- ^ Сяньи Хан, Жундянь (2003). Ли , Цзянфэн ; Хуэй ; Ду ,
- ^ Икеда, Кадзуки; Аоки, Шото (17 ноября 2021 г.). «Бесконечно повторяющиеся квантовые игры и стратегическая эффективность» . Квантовая обработка информации . 20 (12): 387. arXiv : 2005.05588 . Бибкод : 2021QuIP...20..387I . дои : 10.1007/s11128-021-03295-7 . ISSN 1573-1332 . S2CID 244354791 .
- ^ Кэнтуэлл, Кристофер (10 июля 2019 г.). «Квантовые шахматы: разработка математической основы и методологии проектирования для создания квантовых игр». arXiv : 1906.05836 [ квант-ph ].
- ^ «Правила квантовых шахмат» . Игры квантового мира . 2020.
- ^ Букас, А. (2000). «Квантовая формулировка классических игр двух лиц с нулевой суммой». Открытые системы и информационная динамика . 7 :19–32. дои : 10.1023/A:1009699300776 . S2CID 116795672 .
- ^ Аккарди, Луиджи; Букас, Андреас (2020). «Теорема фон Неймана о минимаксе для непрерывных квантовых игр» . Журнал стохастического анализа . 1 (2). Статья 5. arXiv : 2006.11502 . дои : 10.31390/josa.1.2.05 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Болл, Филип (18 октября 1999 г.). «В квантовых играх выигрывают все» . Природа . дои : 10.1038/news991021-3 . ISSN 0028-0836 . Архивировано из оригинала 29 апреля 2005 года.
- Пиотровский, EW; Сладковски, Дж. (2003). «Приглашение к квантовой теории игр» (PDF) . Международный журнал теоретической физики . 42 (5). Спрингер Природа: 1089–1099. дои : 10.1023/а:1025443111388 . ISSN 0020-7748 . S2CID 13630647 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2012 г. Проверено 17 августа 2009 г.
